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1、二面角的平面角的四种基本求法及训练O（1）定义法在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。注：o点在棱上，用定义法。A图3OBl(2)垂线法（三垂线定理法）利用三垂线定理作出平面角，通过解直角三角形求角的大小。注：o点在一个半平面上，用三垂线定理法。O图5lCBA(3)垂面法通过做二面角的棱的垂面，两条交线所成的角即为平面角。注：点O在二面角内，用垂面法。ABCDO(4)射影面积法若多边形的面积是S，它在一个平面上的射影图形面积是S，则二面角q的大小为COS q= S S例1 如图，四面体ABCD中，O是BD的中点，ABD和BCD均为等边三角形，A
2、B=2，AC=求二面角A-BC-D的余弦值（三垂线定理法）例2 在60二面角MaN内有一点P，P到平面M、平面N的距离分别为1和2，求点P到直线a的距离。（垂面法） 例3 如图在三棱锥 S-ABC中，SA底面ABC，ABBC，DE 垂直平分SC，且分别交 AC、SC于D、E，又SA =AB，BS =BC， 求以BD为棱，BDE与BDC为面的二面角的度数。（定义法）EDBASCA例4如图ABC与BCD所在平面垂直，且AB =BC =BD，ABC =DBC =，求二面角 A-BD-C的余弦值。（补棱法和射影面积法） CBD例5.在四棱锥P-ABCD中，ABCD为正方形，PA平面ABCD，PAABa
3、，求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小。（补棱法和射影面积法） 练习题1如图，二面角-l-的大小是60，线段ABBl，AB与l所成的角为30则AB与平面所成的角的正弦值是 2.山坡与水平面成30角，坡面上有一条与坡角水平线成30角的直线小路，某人沿小路上坡走了一段路程后升高了100米，则此人行走的路程为 3在一个二面角的一个面内有一个点，它到棱的距离等于到另一个面的距离的2倍，则二面角的度数为 。4.在600的二面角的棱上有两点A、B，AC、BD分别是在这个二面角的两个面内垂直于AB的线段，已知：AB=6，AC=3，BD=4，则CD= 。5若二面角内一点到二面角的两个面的距离分别为a和，到
4、棱的距离为2a，则此二面角的度数是 。6. 的二面角内有一点，点到面的距离为2，点到面的距离为11，则点到棱的距离为 7.二面角的面内有一条直线,它与的夹角为，与平面的夹角为，则二面角的大小 8.在300的二面角的一个面内有一个点，若它到另一个面的距离是10，则它到棱的距离是( ) A 5 B 20 C D9.在直二面角-l-中，RtABC在平面内，斜边BC在棱l上，若AB与面所成的角为600，则AC与平面所成的角为（ ） A 300 B 450 C 600 D 120010. 如图，三棱锥P-ABC中，已知PA平面ABC，PA=3，PB=PC=BC=6，求二面角P-BC-A的正弦值 11.如
5、图，平面ABCD平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形，且AF=AD=a，G是EF的中点，（1）求证：AG平面BGC；（2）求二面角B-AC-G的正弦值12.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA底面ABCD，M为PD的中点，PA=AB（I）求直线BC与平面ACM所成角的正弦值；（II）求平面PAB与平面ACM所成锐二面角的余弦值13.如图，在四面体ABCD中，AB平面ACD，BC=BD=5，AC=4，CD=（）求该四面体的体积；（）求二面角A-BC-D大小的正弦值作二面角的平面角的四种基本方法O（1）定义法在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角
6、的大小就是二面角的平面角。注：o点在棱上，用定义法。A图3OBl(2)垂线法（三垂线定理法）利用三垂线定理作出平面角，通过解直角三角形求角的大小。注：o点在一个半平面上，用三垂线定理法。O图5lCBA(3)垂面法通过做二面角的棱的垂面，两条交线所成的角即为平面角。注：点O在二面角内，用垂面法。ABCDO(4)射影面积法若多边形的面积是S，它在一个平面上的射影图形面积是S，则二面角q的大小为COS q= S S例1 如图PC平面ABC，ABBC=CAPC，求二面角BPAC的平面角的正切值。（三垂线定理法）解 PC平面ABC 平面PAC平面ABC，交线为AC作BDAC于D点，据面面垂直性质定理，B
7、D平面PAC，作DEPA于E，连BE，据三垂线定理，则BEPA，从而BED是二面角BPAC的平面角。设PCa，依题意知三角形ABC是边长为a的正三角形， D是PC = CA=a，PCA=90， PAC45 在RtDEA例2 在60二面角MaN内有一点P，P到平面M、平面N的距离分别为1和2，求点P到直线a的距离。（图1126）（垂面法） 分析 设PA、PB分别为点P到平面M、N的距离，过PA、PB作平面，分别交M、N于AQ、BQ.同理，有PBa， PAPB=P， a面PAQB于Q 又 AQ、BQ平面PAQB AQa，BQa. AQB是二面角MaN的平面角。 AQB60 连PQ，则PQ是P到a的
8、距离，在平面图形PAQB中，有 PAQPBQ=90 P、A、Q、B四点共圆，且PQ是四边形PAQB的外接圆的直径2R，在PAB中， PA=1，PB=2，BPA180-60=120，由余弦定理得AB214-212cos1207由正弦定理： 例3 如图在三棱锥 S-ABC中，SA底面ABC，ABBC，DE 垂直平分SC，且分别交 AC、SC于D、E，又SA =AB，BS =BC， 求以BD为棱，BDE与BDC为面的二面角的度数。（定义法）EDBASC解： BS =BC，又DE垂直平分SC BESC，SC面BDE BDSC，又SA面ABC SABD，BD面SAC BDDE，且BDDC（定义法）则 E
9、DC就是所要求的平面角 设 SA =AB =a，则 BC =SB =a 且 AC = 易证 SACDEC CDE =SAC =60例4如图ABC与BCD所在平面垂直，且AB =BC =BD，ABC =DBC =，求二面角 A-BD-C的余弦值。（补棱法和射影面积法）DBAEC解：过 A作 AECB的延长线于E， 连结 DE， 面ABC面BCD AE面BCD E点即为点A在面BCD内的射影 EBD为ABD在面BCD内的射影 设 AB =a 则AE =DE =ABsin60= AD = ， sinABD = 又 考虑到我们求的是二面角 A-BD-E，而二面角 A-BD-C与A-BD-C互补 二面角
10、 A-BD-C的余弦值为。 例5.在四棱锥P-ABCD中，ABCD为正方形，PA平面ABCD，PAABa，求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小。【法一】（面积法）如图同时，BC平面BPA于B ，故PBA是PCD在平面PBA上的射影，设平面PBA与平面PDC所成二面角大小为，则cos= =45【法二】（补形化为定义法）如图，将四棱锥P-ABCD补形得正方体ABCD-PQMN，则PQPA、PD，于是APD是两面所成二面角的平面角。在RtPAD中，PA=AD，则APD=45。即平面BAP与平面PDC所成二面角的大小为45练习题1如图，二面角-l-的大小是60，线段ABBl，AB与l所成的角为30
11、则AB与平面所成的角的正弦值是 2.山坡与水平面成30角，坡面上有一条与坡角水平线成30角的直线小路，某人沿小路上坡走了一段路程后升高了100米，则此人行走的路程为 400米3.在一个二面角的一个面内有一个点，它到棱的距离等于到另一个面的距离的2倍，则二面角的度数为 。4.在600的二面角的棱上有两点A、B，AC、BD分别是在这个二面角的两个面内垂直于AB的线段，已知：AB=6，AC=3，BD=4，则CD= 。7cm5若二面角内一点到二面角的两个面的距离分别为a和，到棱的距离为2a，则此二面角的度数是 。700或16506. 的二面角内有一点，点到面的距离为2，点到面的距离为11，则点到棱的距
12、离为 7.二面角的面内有一条直线,它与的夹角为，与平面的夹角为，则二面角的大小 8.在300的二面角的一个面内有一个点，若它到另一个面的距离是10，则它到棱的距离是( B ) A 5 B 20 C D9在直二面角-l-中，RtABC在平面内，斜边BC在棱l上，若AB与面所成的角为600，则AC与平面所成的角为（ A ） A 300 B 450 C 600 D 120010. 如图，三棱锥P-ABC中，已知PA平面ABC，PA=3，PB=PC=BC=6，求二面角P-BC-A的正弦值11.如图，平面ABCD平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形，且AF=AD=a，G是EF的中点，（1）求证：AG平面BGC；（2）求二面角B-AC-G的正弦值（1）证明：G是矩形ABEF的边EF的中点AG=BG=AG2+BG2=AB2 AGBG又平面ABCD平面ABEF，平面ABCD平面ABEF=AB，且BCABBC平面ABEF，又AG平面ABEF，BCAGBCBG=BAG平面BGC；（2）解：作GMAB于M，则M为AB中点，M为G的射影，作GHAC于H，连接MH，则所求角GHM GM=a，MH=BD=a GH=a sinGHM=12.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA底面ABCD，M为PD的中点，PA=AB（I）求直线BC与平面ACM所成角的正弦值；（II）求平面PAB
