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1、三角形内有关角的三角函数恒等式的证明张思明课型和教学模式：习题课，“导学探索，自主解决”模式教学目的：（1）掌握利用三角形条件进行角的三角函数恒等式证明的主要方法，使学生熟悉三角变换的一些常用方法和技巧（如定向变形，和积互换等）。（2）通过自主的发现探索，培养学生发散、创造的思维习惯和思维能力，体验数形结合、特殊一般转化的数学思想。并利用此题材做学法指导。（3）通过个人自学、小组讨论、互相启发、合作学习，培养学生自主与协作相结合的学习能力和敢于创新，不断探索的科学精神。教学对象：高一（5）班教学设计：一引题：（A，B环节）11复习提问：在三角形条件下，你能说出哪些有关角的三角恒等式？拟答：，这
2、些结果是诱导公式，的特殊情况。12今天开始的学习任务是解决这类问题：在三角形条件下，有关角的三角恒等式的证明。学习策略是先分若干个学习小组（四人一组），分头在课本P233-P238，P261-266的例题和习题中，找出有三角形条件的所有三角恒等式。13备考：期待找出有关ABC内角A、B、C的三角恒等式有：（1）P233：例题10：sinA+sinB+sinC=4cosA/2cosB/2cosC/2(2)P238:习题十七第6题：sinA+sinB-sinC=4sinA/2sinB/2cosC/2.(3) cosA+cosB+cosC=1+4sinA/2sinB/2sinC/2.(4) sin2
3、A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC.(5)cos2A+cos2B+cos2C=-1-4cosAcosBcosC.(6)P264:复参题三第22题：tgA+tgB+tgC = tgAtgBtgC.(7)也许有学生会找出:P264-（23）但无妨。14请各组学生分工合作完成以上恒等式的证明：提示：建议先自学例题10，注意题目之间的联系，以减少证明的重复劳动。二第一层次的问题解决（C，D环节）21让一个组上黑板，请学生自主地挑出有“代表性”的3题（不超过3题）书写证明过程。然后请其他某一个组评判或给出不同的证法。证法备考：（1）左到右：化积-提取-化积。（2）左到右：化积-提取-
4、化积sin(A+B)/2=cosC/2(3)左到右：化积-留“1”提取-化积（4）左到右：化积-提取-化积sin2C=sin2(A+B)(5)左到右：（6）左到右：tgA+tgB=tg(A+B)(1-tgAtgB)(7)左到右：通分后利用（4）的结果22教师注意记录学生的“选择”，问：为什么认为你们的选择有代表性？体现学法的“暗导”。选择的出发点可以多种多样，如从品种、不同的证法、逻辑源头等考虑。23另一组学生判定结果或给出其他解法，（解法可能多样。）也可对前一组学生所选择书写的“例题”的“代表性”进行评价。教师记录之。注意学生的书写中的问题（不当的跳步等）。24其他证法备考：1如右到左用积化
5、和差，（略）2利用已做的习题：先一般后特殊3几何直观：左式右式由此得证（4） 图 14用/2-A/2，/2-B/2，/2-C/2代换A，B，C（仍保持三个角之和为）可速由（4）推出（1）；由（5）推出（2）三探索发现练习（回朔与E环节）31请学生以小组为单位通过观察、联想、对比、猜想、发现解决以下几项任务（1）找出更多的三角恒等式。（2）用发散的方式寻求更多的结果。可以自主肯定的结论记为“定理”，还不能肯定的结论暂记为“猜想”32小组活动10分钟后，组代表上前表述“发现”，交流结果。33教师注意记录学生的发现结果，挖掘“再发现”的潜力。34结果的“予储”（1）结果一般化：如对cos, tg亦有
6、类似结果（2）变维发散三角形变四边形，如对四边形ABCD有，sinA+sinB+sinC+sinD=4sin(A+B)/2*cos(A-B)/2+cos(C-D)/2=4sin(A+B)/2*cos(A+C-B-D)/4*cos(A+D-B-C)/4=sin(A+B)/2*sin(B+C)/2*sin(C+A)/2两边换成cos亦正确进一步可探索四边形ABCD是平行四边形或是圆内接四边形时的相应结论。（3）逆序发散：如对（6），原等式成立，能推出A+B+C=吗？举反例可知不行，可推出A+B+C=k，k是整数。（4）变形式发散：再如对偶联想：上面的式子该成cos怎样？（5）批判式的发散：等式的反面是不等式，可以思考在三角形条件下有哪些三角函数的不等式？如对锐角三角形ABC，有sinA+sinB+sinCcosA+cosB+cosCsinAsinBsinCcosAcosBcosC。对一般三角形tgA+tgB+tgC=ctgA+ctgB+ctgC恒不成立特别注意记录“意外”。
