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1、1. 如题（ a ）图所示，在 z 0 的下半空间是介电常数为 的介质，上半空间为空气，距离介质平面距为 h处有一点电荷 q 。求（1） z0 和 z0 的两个半空间内的电位；（2）介质表面上的极化电荷密度，并证明表面上极化电荷总电量等于镜像电荷 q 。zzzqqqqR1hPhhR20oo0hRoP0图2.13q题4.24 图（ a ）题4.24 图（ b ）题4.24 图（ c ）解 （1）在点电荷 q 的电场作用下，介质分界面上出现极化电荷，利用镜像电荷替代介质分界面上的极化电荷。根据镜像法可知，镜像电荷分布为（如题图（ b ）、（ c ）所示）q0q ，位于 zh0q0q ， 位于 z
2、h0上半空间内的电位由点电荷 q 和镜像电荷 q 共同产生，即1qq40R14 0 Rq10140r 2 ( z h)20r2 (z h)2下半空间内的电位由点电荷 q 和镜像电荷 q 共同产生，即q qq122 (0) r 2 (z h)24 R2（2）由于分界面上无自由电荷分布，故极化电荷面密度为pn ? P1 P2 z 0 0(E1zE2z ) z 00 (21) z 0(0 )hqzz2 (0 )(r 2h2 )3 21极化电荷总电量为qPPdS(0)hqr3 2 drP 2 rdr00 (r22S0h )(0 )qq02. 一个半径为 R 的导体球带有电荷量为 Q ，在球体外距离球心
3、为 D 处有一个点电荷 q 。（1）求点电荷 q 与导体球之间的静电力；（2）证明当 q 与 Q 同号，且3QRDR成立时， F 表现为吸引力。DdQ q o qqzR解 （1）导体球上除带有电荷量 Q 之外，点电荷 q 还要在导体球上感应出等量异号的两种不同电荷。根据镜像法，像电荷 q 和 q 的大小和位置分别为（如题图所示）qRR2Dq ， dDqqR q ， d 0D导体球自身所带的电荷 Q 则与位于球心的点电荷 Q 等效。故点电荷 q 受到的静电力为F FqqFq qFQ qqqq( Dq )40 ( D d )240D 2qQ ( R D )qRq4 0D222D DR D（2）当
4、q与 Q 同号，且 F 表现为吸引力，即 F0 时，则应有2Q (R D )qRqD2R DD D220由此可得出3QRDRz3. 如题 5.8 所示图，无限长直线电流 I 垂直于磁导率分别为1 和2 的两种磁介质的分界面，试求（1）两种磁介质中的磁感应强度 B1 和 B2 ；（2）I磁化电流分布。10x2解 （1）由安培环路定理，可得HeI2 r所以得到B10 He0 Ir2B2HeIr2（2）磁介质在的磁化强度1B2H e(0 ) IM20r0则磁化电流体密度1d(0 )I 1 d1JmMez r d r (rM )ez20 r d r (rr ) 0在 r0处， B2 具有奇异性，所以在
5、磁介质中 r0 处存在磁化线电流 I m 。以 z 轴为中心、 r 为半径作一个圆形回路 C ，由安培环路定理，有I I m1?B d lIH 1(P1)H 2 (P1)00C故得到lhH1(P2) H 2(P2)312题5.9图(1)II m0在磁介质的表面上，磁化电流面密度为er(0 )IJ mS = M ? ez z= 020r4.如题图所示，一环形螺线管的平均半径 r015 cm，其圆形截面的半径 a2 cm，鉄芯的相对磁导率r1400 ，环上绕 N 1000匝线圈，通过电流 I 0.7 A 。（1）计算螺旋管的电感；（2）在鉄芯上开一个 l0 0.1cm 的空气隙，再计算电感。（假设
6、开口后鉄芯的r 不变）（3）求空气隙和鉄芯内的磁场能量的比值。解 （1）由于 a r0 ，可认为圆形截面上的磁场是均匀的，且等于截面的中心处的磁场。由安培环路定律，可得螺线管内的磁场为NIH2 r0与螺线管铰链的磁链为ar0oa2 N 2 Il 0NS H2r0I故螺线管的电感为L题 5.12 图a2 N 2I2r01400410 70.02 21000220.152.346 H（2）当铁芯上开有小空气隙时，由于可隙很小，可忽略边缘效应，则在空气隙与鉄芯的分界面上，磁场只有法向分量。根据边界条件，有B0 BB，但空气隙中的磁场强度H 0与铁芯中的磁场强度H不同。根据安培环路定律，有H 0l0H
7、 (2 r0l0 ) NI又由于B00 H 0、B0 r H及B0BB，于是可得4B0r NIr l0 (2r0l0 )所以螺线管内的磁链为NSB0r a2 N 2 I(2 r0 l0 )r l0故螺线管的电感为L0r a2 N 2r l 0(2r0l 0 )I4210 714000.0221000214000.00120.150.944 H0.001（3）空气隙中的磁场能量为Wm010 H 02Sl02鉄芯中的磁场能量为Wm10 r H 2 S(2r0 l0 )2故Wm0r l014000.0011.487Wm2r0 l02 0.15 0.0015.一根半径为 a 的长圆柱形介质棒放入均匀磁
8、场 BezB0 中与 z 轴平行。设棒以角速度绕轴作等速旋转，求介质内的极化强度、体积内和表面上单位长度的极化电荷。解介质棒内距轴线距离为 r 处的感应电场为E v B e rez B0 er r B0故介质棒内的极化强度为P Xe 0 E er ( r 1) 0r B0 er (0 )r B0极化电荷体密度为PP1(rP )1(0 )r 2 B0rrrr2(0 )B05极化电荷面密度为PP ner (0 )rB0 er r a(0 )a B0则介质体积内和表面上同单位长度的极化电荷分别为QPa2 1 P2 a2 (0) B0QPS2 a 1P 2 a2 (0) B06. 一圆柱形电容器，内导体半径为 a，外导体内半径为 b，长为 l。设外加电压为U 0 sint ，试计算电容器极板间的总位移电流，证明它等于电容器的传导电流。解当外加电压的频率不是很高时，圆柱形电容器两极板间的电场分布与外加直流电压时的电场分布可视为相同（准静态电场），即E erU 0 sintr ln (ba)故电容器两极板间的位移电流密度为J dDU 0 costerr ln (b a)t则i dJ d2lU 0 costdSr ln (ba)er er rd dzs002lt CU 0 costU 0 cosln (b a)2lCa) 是长为 l
