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1、第二章2.1.试叙述多元联合分布和边际分布之间的关系。解：多元联合分布讨论多个随机变量联合到一起的概率分布状况，X = (X, X2,| Xp)，的联合分布密度函数是一个p维的函数，而边际分布讨论是X =(Xi,X2,|Xp)，的子向量的概率分布，其概率密度函数的维数小于p。2.2设二维随机向量(Xi X2) 服从二元正态分布，写出其联合分布。/ 2 、 rIC3 d o解：设(X, X2)的均值向量为口 =(气 巴)，协方差矩阵为1；，则其联I。21 G2 J合分布密度函数为f(X)二严 f 2口12 ；1 12 exp-：(x_ 以口 2 (21口2112 /討22.3已知随机向量(X1X
2、2) 的联合密度函数为f (X1,X2)2(d -c)(x1 -a) (b -a)(x2 -c) - 2(论 -a)(x2 - c)2 2(b-a) (d -c)其中 a-b , c_x2_d。求(1) 随机变量X1和X2的边缘密度函数、均值和方差;(2) 随机变量X1和X2的协方差和相关系数;(3)判断X1和X2是否相互独立。(1)解：随机变量 X1和X2的边缘密度函数、均值和方差;2(d - c)(x - a) X2(b -a)2(d -c)2d 2(b a)(x2 c) 2(xi 3)(X2 c)c(b -a)2(d -c)2dx22(d -c)(x1 -a)x2(ba)2(d -c)2
3、2(d -c)(xi -a)X22 2(ba) (d-c)所以d-c2(ba)t2(xi a)tdt(b-a)2(dc)2(b-a)t2 -2(捲-a)t22 2(ba) (d-c)由于Xi服从均匀分布，则均值为以，方差为2d _cb -a.2b-aoi2同理，由于X2服从均匀分布 打(x2)= d-c10Xi飞d 1则均值为口，2其它212(2)解：随机变量Xi和X2的协方差和相关系数;2 2(b-a) (d -c)&(%) = f 2(d c)(Xi a) +(b a)X2 c)2(Xi -a)(X2 -c) dxcov(Xi, X2)2 X2dxidx2d c 2(d 6(论-a) (b
4、 - a)(x2 -c) - 2(捲 一 a)(x2 - c)2(b-a)2(d -c)2(c-d)(b-a)36、_COV(Xi,X2)cr crXi X2(3) 解：判断Xi和X2是否相互独立。Xi 和 X2 由于 f (Xi, X2P fxi(Xi) fx2(X2)，所以不独立。2.4设X =(Xi,X2,ll|Xp)服从正态分布，已知其协方差矩阵为对角阵，证明其分量是相互独立的随机变量。解：因为X =(X1,X2,|Xp的密度函数为(1 Y , -1/21.1f(X1心话厂沏尹-以左(-叮2-1又由于艺二2-P12-112-212P丿则 f (Xi，,Xp):2r1 J_(X_ / 艺
5、=2r 1、a1212+(X- m)121 = X1n ,S=X I n 1 n1n)X其中1 n =nn|C在SPSS求样本均值向量的操作步骤如下:0111. 选择菜单项 Analyze Descriptive Statistics Descriptives 打开 Descriptives对话框。将待估计的四个变量移入右边的Variables列表框中，如图2.1。图 2.1Descriptives对话框2.单击Options按钮，打开Options子对话框。在对话框中选择Mean复选框，即计算样本均值向量，如图2.2所示。单击 Continue按钮返回主对话框。图2.2 Options子对话
6、框3.单击0K按钮，执行操作。则在结果输出窗口中给出样本均值向量，如表2.1，即样本均值向量为(35.3333，12.3333，17.1667, 1.5250E2)。M均值X1635650.0000X2612.3333X3617325 0000)(4有效的忖仔I康状杰)6152.5000表2.1样本均值向量在SPSS中计算样本协差阵的步骤如下：1.选择菜单项Analyze 宀 Correlate 宀 Bivariate，打开Bivariate Correlations对话框。将三个变量移入右边的Variables列表框中，如图2.3。图 2.3 Bivariate Correlations对话
7、框2.单击Options按钮，打开 Options子对话框。选择Cross-product deviations and covariances复选框，即计算样本离差阵和样本协差 阵，如图2.4。单击Continue按钮，返回主对话框。IyH Bivariate Correlations OptionsrSttlStEfi匚Mean空 and standard cflevistions回ggpoact de 曲 low 皐 nd oqf 日曲 ncesMng vaiiisi Exclude cs?es rwiseC Exclude ewes list-wiseContinueCencelHel
8、p图2.4 Options子对话框3.单击OK按钮，执行操作。则在结果输出窗口中给出相关分析表，见表2.2。表中 Covariance给出样本协差阵。(另外，PearsonCorrelation为皮尔逊相关系数矩阵,Sum of Squares and Cross-products 为样本离差阵。)nk2x3k4Pearson1758.975，P-.02显若性GSM】.0S1.DOI.430平肓与叉孵和1.nO9E9194500.0G04.106EB-aeuono.ooolb锻2.01 GEB38900.000B.372E7-736800.000Ns666Pearson 相君1_751764叭
9、DM（HIM】0fi1.077.朋5平肓旨取鮒和194500.00005.33383550. DOO-179.00030900.00013.06716710.00035.800N666BisPearsen相关性.975s7641.2563511 （础D-001.077.625平肓与艮鮒和4 186E883560.0001I.029E6999375.000lb肓差0.372E716710.0003.657E7199875.000N6S66x4Pearson相关性-402-.077-J5BKSf（）-430.685.625平方与題鮒和-3684000 000179.000-999375.00003
10、475.500协方星736800 000-33JBOO199875.00016695.100N66662.6渐近无偏性、有效性和一致性；2.7设总体服从正态分布，X Np(口，习，有样本X1, X 2,，Xn。由于X是相互独立的正态分布随机向量之和，所以 X也服从正态分布。又E(X)=e Xi AKz E(Xi)/n= 占二卩lim / 丿 ii/i =1 /_inI nyD(X)=D|XJn =右送 D(Xi )二右瓦 y二一(g / 丿 n =n 曰 n所以 x Np(w y。1 n _ _2.8 方法 1 :?(X 匚一 X)(X 匚一 X)n 1 yn -1nE( XiXi -nXX
11、)i 4占E XiXi -nE XXn - i i 41 n艺 1石2-打命2)3。n方法 2:. (X i - X)(X i -X)i 4(1-(X - 口)n=、X i - - (X - 卩)X i- i -nn=S (Xi - 0(xi -即2瓦(Xi -讯X - / + n(X-山(X 卩X 卩)ii=1n=H (Xi - u)(Xi -以2n(X 血(X 以 + n(X-山(X 汀i dn=E (Xi - 口)(Xi - / n(X-讪(X m)i dE(-S-)n T1 E (X i n -1.id)(Xi - M -n(X- M(X - 2。M ) X i - M 卜-e X( M(X mS故一M为2的无偏估计。-1试求S2.9.设X (1), X,.,X()是从多元正态分布X Np(M 2)抽出的一个简单随机样本，的分布。证明：设厂*i I (* 、*川*r= * 川*=(人)为一正交矩阵，即令 z=(z ZIII Zn)= Xi X2 川 Xn r,由于Xi (i =1,2,3,4,|( n)独立同正态分布,且r为正交矩阵所以；寸=(,-】 心|(几)独立同正态分布。且有nE(Za) =E( raj Xj)(a =1,2,3,|l|, n -1)n(1_ n二、n 厂Gj hj二 0i
