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1、2007年普通高等学校招生全国统一考试数学（江苏卷）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共计50分在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1下列函数中，周期为的是（）2已知全集，则为（）3在平面直角坐标系中，双曲线的中心在坐标原点，焦点在轴上，一条渐近线的方程为，则它的离心率为（）4已知两条直线，两个平面给出下面四个命题：，；，；，；，其中正确命题的序号是（）、5函数的单调递增区间是（）6设函数定义在实数集上，它的图像关于直线对称，且当时，则有（）7若对于任意的实数，有，则的值为（）8设是奇函数，则使的的取值范围是（）9已知二次函数的导数为，对于任意实数，有，则的最小值为（）1
2、0在平面直角坐标系中，已知平面区域，则平面区域的面积为（）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共计分不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上11若，则_12某校开设门课程供学生选修，其中三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定，每位同学选修门，共有_种不同的选修方案（用数值作答）13已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，则_14正三棱锥的高为，侧棱与底面成角，则点到侧面的距离为_15在平面直角坐标系中，已知的顶点和，顶点在椭圆上，则_16某时钟的秒针端点到中心点的距离为，秒针均匀地绕点旋转，当时间时，点与钟面上标的点重合将两点间的距离表示成的函数，则_，其中三、解答题：本大
3、题共5小题，共计70分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（本题满分12分）某气象站天气预报的准确率为，计算（结果保留到小数点后第2位）：（1）5次预报中恰有2次准确的概率；（4分）（2）5次预报中至少有2次准确的概率；（4分）（3）5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率（4分）18（本题满分12分）如图，已知是棱长为的正方体，点在上，点在上，且（1）求证：四点共面；（4分）（2）若点在上，点在上，垂足为，求证：平面；（4分）（3）用表示截面和侧面所成的锐二面角的大小，求（4分）ABCPQOxyl19（本题满分14分）如图，在平面直角坐标系中，过轴
4、正方向上一点任作一直线，与抛物线相交于两点一条垂直于轴的直线，分别与线段和直线交于点（1）若，求的值；（5分）（2）若为线段的中点，求证：为此抛物线的切线；（5分）（3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由（4分）20（本题满分16分）已知是等差数列，是公比为的等比数列，记为数列的前项和（1）若（是大于的正整数），求证：；（4分）（2）若（是某个正整数），求证：是整数，且数列中的每一项都是数列中的项；（8分）（3）是否存在这样的正数，使等比数列中有三项成等差数列？若存在，写出一个的值，并加以说明；若不存在，请说明理由（4分）21（本题满分16分）已知是不全为零的实数，函数，方程有实数根，且的实
5、数根都是的根；反之，的实数根都是的根（1）求的值；（3分）（2）若，求的取值范围；（6分）（3）若，求的取值范围（7分）2007年普通高等学校招生全国统一考试数学（江苏卷）参考答案一、选择题：本题考查基本概念和基本运算每小题5分，共计50分12345678910二、填空题：本题考查基础知识和基本运算每小题5分，共计30分111213141516 三、解答题17本小题主要考查概率的基本概念、互斥事件有一个发生及相互独立事件同时发生的概率的计算方法，考查运用概率知识解决实际问题的能力满分12分解：（1）次预报中恰有次准确的概率为（2）次预报中至少有次准确的概率为（3）“次预报中恰有次准确，且其中第
6、次预报准确”的概率为18本小题主要考查平面的基本性质、线线平行、线面垂直、二面角等基础知识和基本运算，考查空间想象能力、逻辑推理能力和运算能力满分12分解法一：（1）如图，在上取点，使，连结，则，因为，所以四边形，都为平行四边形从而，又因为，所以，故四边形是平行四边形，由此推知，从而因此，四点共面（2）如图，又，所以，因为，所以为平行四边形，从而又平面，所以平面（3）如图，连结因为，所以平面，得于是是所求的二面角的平面角，即因为，所以，解法二：（1）建立如图所示的坐标系，则，所以，故，共面又它们有公共点，所以四点共面（2）如图，设，则，而，由题设得，得因为，有，又，所以，从而，故平面（3）设向
7、量截面，于是，而，得，解得，所以又平面，所以和的夹角等于或（为锐角）于是故19本小题主要考查抛物线的基本性质、直线与抛物线的位置关系、向量的数量积、导数的应用、简易逻辑等基础知识和基本运算，考查分析问题、探索问题的能力满分14分ABCPQOxyl解：（1）设直线的方程为，将该方程代入得令，则因为，解得，或（舍去）故（2）由题意知，直线的斜率为又的导数为，所以点处切线的斜率为，因此，为该抛物线的切线（3）（2）的逆命题成立，证明如下：设若为该抛物线的切线，则，又直线的斜率为，所以，得，因，有故点的横坐标为，即点是线段的中点20本小题主要考查等差、等比数列的有关知识，考查运用方程、分类讨论等思想方
8、法进行分析、探索及论证问题的能力满分16分解：（1）设等差数列的公差为，则由题设得，且由得，所以，故等式成立（2）（）证明为整数：由得，即，移项得因，得，故为整数（）证明数列中的每一项都是数列中的项：设是数列中的任一项，只要讨论的情形令，即，得因，当时，为或，则为或；而，否则，矛盾当时，为正整数，所以为正整数，从而故数列中的每一项都是数列中的项（3）取，所以，成等差数列21本小题主要考查函数、方程、不等式的基本知识，考查综合运用分类讨论、等价转化等思想方法分析问题及推理论证的能力满分16分解：（1）设为方程的一个根，即，则由题设得于是，即所以，（2）由题意及（1）知，由得是不全为零的实数，且，则方程就是方程就是（）当时，方程、的根都为，符合题意（）当，时，方程、的根都为，符合题意（）当，时，方程的根为，它们也都是方程的根，但它们不是方程的实数根由题意，方程无实数根，此方程根的判别式，得综上所述，所求的取值范围为（3）由，得，由可以推得，知方程的根一定是方程的根当时，符合题意当时，方程的根不是方程的根，因此，根据题意，方程应无实数根那么当，即时，符合题意当，即或时，由方程得，即，则方程应无实数根，所以有且当时，只需，解得，矛盾，舍去当时，只需，解得因此，综上所述，所求的取值范围为
