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1、最新五年级奥数第8讲 奇偶性(2)第8讲 奇偶性二例1用09这十个数码组成五个两位数，每个数字只用一次，要求它们的和是奇数，那么这五个两位数的和最大是多少？分析与解：有时题目的要求比拟多，可先考虑满足局部要求，然后再调整，使最后结果到达全部要求。这道题的几个要求中，满足“和最大是最容易的。暂时不考虑这五个数的和是奇数的要求。要使组成的五个两位数的和最大，应该把十个数码中最大的五个分别放在十位上，即十位上放5，6，7，8，9，而个位上放0，1，2，3，4。根据奇数的定义，这样组成的五个两位数中，有两个是奇数，即个位是1和3的两个两位数。要满足这五个两位数的和是奇数，根据奇、偶数相加减的运算规律，
2、这五个数中应有奇数个奇数。现有两个奇数，即个位数是1，3的两位数。所以五个数的和是偶数，不合要求，必须调整。调整的方法是交换十位与个位上的数字。要使五个数有奇数个奇数，并且五个数的和尽可能最大，只要将个位和十位上的一个奇数与一个偶数交换，并且交换的两个的数码之差尽可能小，由此得到交换5与4的位置。满足题设要求的五个两位数的十位上的数码是4，6，7，8，9，个位上的数码是0，1，2，3，5，所求这五个数的和是4+6+7+8+910+0+1+2+3+5=351。例2 7只杯子全部杯口朝上放在桌子上，每次翻转其中的2只杯子。能否经过假设干次翻转，使得7只杯子全部杯口朝下？分析与解：盲目的试验，可能总
3、也找不到要领。如果我们分析一下每次翻转后杯口朝上的杯子数的奇偶性，就会发现问题所在。一开始杯口朝上的杯子有7只，是奇数；第一次翻转后，杯口朝上的变为5只，仍是奇数；再继续翻转，因为只能翻转两只杯子，即只有两只杯子改变了上、下方向，所以杯口朝上的杯子数仍是奇数。类似的分析可以得到，无论翻转多少次，杯口朝上的杯子数永远是奇数，不可能是偶数0。也就是说，不可能使7只杯子全部杯口朝下。例3 有mm2只杯子全部口朝下放在桌子上，每次翻转其中的m-1只杯子。经过假设干次翻转，能使杯口全部朝上吗？分析与解：当m是奇数时，m-1是偶数。由例2的分析知，如果每次翻转偶数只杯子，那么无论经过多少次翻转，杯口朝上下
4、的杯子数的奇偶性不会改变。一开始m只杯子全部杯口朝下，即杯口朝下的杯子数是奇数，每次翻转m-1即偶数只杯子。无论翻转多少次，杯口朝下的杯子数永远是奇数，不可能全部朝上。当m是偶数时，m-1是奇数。为了直观，我们先从m= 4的情形入手观察，在下表中用表示杯口朝上，表示杯口朝下，每次翻转3只杯子，保持不动的杯子用*号标记。翻转情况如下：由上表看出，只要翻转4次，并且依次保持第1，2，3，4只杯子不动，就可到达要求。一般来说，对于一只杯子，要改变它的初始状态，需要翻奇数次。对于m只杯子，当m是偶数时，因为m-1是奇数，所以每只杯子翻转m-1次，就可使全部杯子改变状态。要做到这一点，只需要翻转m次，并
5、且依次保持第1，2，m只杯子不动，这样在m次翻转中，每只杯子都有一次没有翻转，即都翻转了m-1次。综上所述：m只杯子放在桌子上，每次翻转m-1只。当m是奇数时，无论翻转多少次，m只杯子不可能全部改变初始状态；当m是偶数时，翻转m次，可以使m只杯子全部改变初始状态。例4 一本论文集编入15篇文章，这些文章排版后的页数分别是1，2，3，15页。如果将这些文章按某种次序装订成册，并统一编上页码，那么每篇文章的第一面是奇数页码的最多有几篇？分析与解：可以先研究排版一本书，各篇文章页数是奇数或偶数时的规律。一篇有奇数页的文章，它的第一面和最后一面所在的页码的奇偶性是相同的，即排版奇数页的文章，第一面是奇
6、数页码，最后一面也是奇数页码，而接下去的另一篇文章的第一面是排在偶数页码上。一篇有偶数页的文章，它的第一面和最后一面所在的页码的奇偶性是相异的，即排版偶数页的文章，第一面是奇偶数页码，最后一面应是偶奇数页码，而紧接的另一篇文章的第一面又是排在奇偶数页码上。以上说明此题的解答主要是根据奇偶特点来处理。题目要求第一面排在奇数页码的文章尽量多。首先考虑有偶数页的文章，只要这样的第一篇文章的第一面排在奇数页码上如第1页，那么接着每一篇有偶数页的文章都会是第一面排在奇数页码上，共有7篇这样的文章。然后考虑有奇数页的文章，第一篇的第一面排在奇数页码上，第二篇的第一面就会排在偶数页码上，第三篇的第一面排在奇
7、数页码上，如此等等。在8篇奇数页的文章中，有4篇的第一面排在奇数页码上。因此最多有7+4=11篇文章的第一面排在奇数页码上。例5 有大、小两个盒子，其中大盒内装1001枚白棋子和1000枚同样大小的黑棋子，小盒内装有足够多的黑棋子。阿花每次从大盒内随意摸出两枚棋子，假设摸出的两枚棋子同色，那么从小盒内取一枚黑棋子放入大盒内；假设摸出的两枚棋子异色，那么把其中白棋子放回大盒内。问：从大盒内摸了1999次棋子后，大盒内还剩几枚棋子？它们都是什么颜色？分析与解：大盒内装有黑、白棋子共1001+1000=2001枚。因为每次都是摸出2枚棋子放回1枚棋子，所以每摸一次少1枚棋子，摸了1999次后，还剩2
8、001-1999=2枚棋子。从大盒内每次摸2枚棋子有以下两种情况：1所摸到的两枚棋子是同颜色的。此时从小盒内取一枚黑棋子放入大盒内。当所摸两枚棋子同是黑色，这时大盒内少了一枚黑棋子；当所摸两枚棋子同是白色，这时大盒内多了一枚黑棋子。2所摸到的两枚棋子是不同颜色的，即一黑一白。这时要把拿出的白棋子放回到大盒，大盒内少了一枚黑棋子。综合12，每摸一次，大盒内的黑棋子总数不是少一枚就是多一枚，即改变了黑棋子数的奇偶性。原来大盒内有1000枚即偶数枚黑棋子，摸了1999次，即改变了1999次奇偶性后，还剩奇数枚黑棋子。因为大盒内只剩下2枚棋子，所以最后剩下的两枚棋子是一黑一白。例6 一串数排成一行：1
9、，1，2，3，5，8，13，21，34，55，到这串数的第1000个数为止，共有多少个偶数？分析与解：首先分析这串数的组成规律和奇偶数情况。1+1=2，2+3=5，3+5=8， 5+8=13，这串数的规律是，从第三项起，每一个数等于前两个数的和。根据奇偶数的加法性质，可以得出这串数的奇偶性：奇，奇，偶，奇，奇，偶，奇，奇，偶，容易看出，这串数是按“奇，奇，偶每三个数为一组周期变化的。 10003=3331，这串数的前1000个数有333组又1个数，每组的三个数中有1个偶数，并且是第3个数，所以这串数到第1000个数时，共有333个偶数。 练习8 1.在11，111，1111，11111，这些数
10、中，任何一个数都不会是某一个自然数的平方。这样说对吗？2.一本书由17个故事组成，各个故事的篇幅分别是1，2，3，17页。这17个故事有各种编排法，但无论怎样编排，故事正文都从第1页开始，以后每一个故事都从新一页码开始。如果要求安排在奇数页码开始的故事尽量少，那么最少有多少个故事是从奇数页码开始的？3.桌子上放着6只杯子，其中3只杯口朝上，3只杯口朝下。如果每次翻转5只杯子，那么至少翻转多少次，才能使6只杯子都杯口朝上？4.70个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的3倍都恰好等于它两边的两个数的和，这一行数的最左边的几个数是这样的：0，1，3，8，21，问：最右边的一个数是奇数还是偶数？
11、5.学校组织运动会，小明领回自己的运发动号码后，小玲问他：“今天发放的运发动号码加起来是奇数还是偶数？小明说：“除开我的号码，把今天发的其它号码加起来，再减去我的号码，恰好是100。今天发放的运发动号码加起来，到底是奇数还是偶数？6.在黑板上写出三个整数，然后擦去一个换成所剩两数之和，这样继续操作下去，最后得到88，66，99。问：原来写的三个整数能否是1，3，5？7.将888件礼品分给假设干个小朋友。问：分到奇数件礼品的小朋友是奇数还是偶数？练习8 1.对。提示：因为平方数能被4整除或除以4余1，而形如11111的数除以4的余数与11除以4的余数相同，余3，所以不是平方数。2.5个。提示：与
12、例4类似分析可知，先排9个奇数页的故事，其中有5个从奇数页开始，再排8个偶数页的故事，都是从偶数页码开始。3.3次。提示：见下表。4.偶数。提示：这行数的前面假设干个数是：0，1，3，8，21，55，144，377，987，2584，这些数的奇偶状况是：偶，奇，奇，偶，奇，奇，偶，奇，奇，从前到后按一偶二奇的顺序循环出现。703=231，第70个数是第24组数的第一个数，是偶数。5.偶数。提示：号码总和等于100加上小明号码的2倍。6.不能。提示：如果原来写的是1，3，5，那么从第一次改变后，三个数永远是两个奇数一个偶数。7.偶数。提示：如果是奇数，那么分到奇数件礼品的小朋友得到的礼品总数是奇数，而分到偶数件礼品的小朋友得到的礼品总数是偶数，于是得出所有礼品总数是奇数，与888件礼品矛盾。
