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1、单元检测卷(七)立体几何与空间向量(理科)时间：90分钟满分：150分一、选择题(共8小题，每小题7分，满分56分)1图(1)中的几何体是由哪个平面图形绕虚线旋转得到的()答案A2已知(2,4,5)，(3，x，y)，若，则()Ax6，y15Bx3，yCx3，y15 Dx6，y解析，x6，y.答案D3若l，m，n是互不相同的空间直线，是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是()A若，l，n，则lnB若，l，则lC若ln，mn，则lmD若l，l，则答案D4如果一个空间几何体的主视图与左视图均为全等的等边三角形，俯视图为一个半径为1的圆及其圆心，那么这个几何体的体积为()A. B.C. D.解析由三
2、视图知，该几何体是底半径为1的圆锥，轴截面是边长为2的正三角形，高为，体积V.答案A5在正四面体PABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中不成立的是()ABC平面PDFBDF平面PAEC平面PDF平面ABCD平面PAE平面ABC解析如图，BCDF，BC平面PDF.A正确由图象知BCPE，BCAE，BC平面PAE.DF平面PAE.B正确平面ABC平面PAE(BC平面PAE)D正确答案C6(2009全国，7)已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为()A. B.C. D.答案D7如图，
3、平面平面，A，B，AB与两平面、所成的角分别为和.过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A、B，则ABAB()A21 B31C32 D43解析在RtABB中，ABABsinAB.在RtABA中，AAABsinAB.在RtAAB中，ABAB.ABAB21，选A.答案A8(2009重庆，9)已知二面角l的大小为50，P为空间中任意一点，则过点P且与平面和平面所成的角都是25的直线的条数为()A2 B3C4 D5答案B二、填空题(共6小题，每小题7分，满分42分)9一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位：cm)，则该几何体的侧面积及体积分别为_，_.解析如图，由三视图可得该几何体为一正四棱锥SABCD
4、，其中底面是边长为8的正方形，侧面上的高SH5，在RtSOH中，OH4，所以SO3，所以ABC的面积为：BCSH8520，故侧面积为20480，其体积为88364.答案80 cm264 cm310(2008福建文、理)若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是_答案911正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1 cm，过AC作平行于对角线BD1的截面，则截面面积为_解析如图，截面ACEBD1，平面BDD1平面ACEEF，其中F为AC与BD的交点，E为DD1的中点，易求SACEcm2.答案cm212已知a、b是两条不重合的直线，、是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：若a
5、，a，则若，则若，a，b，则ab若，a，b，则ab其中正确命题的序号有_答案13在正三棱柱ABCA1B1C1中，若AB2，AA11，则点A到平面A1BC的距离为_解析解法一：取BC中点E，连接AE、A1E，过点A作AFA1E，垂足为F.A1A平面ABC，A1ABC，ABAC，AEBC.BC平面AEA1.BCAF，又AFA1E，AF平面A1BCAF的长即为所求点面距离AA11，AE，AF.解法二：VA1ABCSABCAA11.又A1BA1C，在A1BE中，A1E2.SA1BC222.VAA1BCSA1BChh.h，h.点A到平面A1BC距离为.答案14(2009湖南，14)在半径为13的球面上有
6、A、B、C三点，AB6，BC8，CA10，则(1)球心到平面ABC的距离为_；(2)过A、B两点的大圆面与平面ABC所成二面角(锐角)的正切值为_答案(1)12(2)3三、解答题(共4小题，满分52分)15(本小题满分12分)一个多面体的直观图和三视图(正视图、侧视图、俯视图)如图所示，M、N分别为A1B、B1C1的中点求证：(1)MN平面ACC1A1；(2)MN平面A1BC.证明由题意可知，这个几何体是直三棱柱，且ACBC，ACBCCC1.(1)连接AC1，AB1.由直三棱柱的性质得AA1平面A1B1C1，所以AA1A1B1，则四边形ABB1A1为矩形由矩形性质得AB1过A1B的中点M.在A
7、B1C1中，由中位线性质得MNAC1，又AC1平面ACC1A1，MN平面ACC1A1，所以MN平面ACC1A1.(2)因为BC平面ACC1A1，AC1平面ACC1A1，所以BCAC1.在正方形ACC1A1中，A1CAC1.又因为BCA1CC，所以AC1平面A1BC.由MNAC1，得MN平面A1BC.16(2009重庆，19)(本小题满分12分)如图，在四棱锥SABCD中，ADBC且ADCD，平面CSD平面ABCD，CSDS，CS2AD2，E为BS的中点，CE，AS.求：(1)点A到平面BCS的距离；(2)二面角ECDA的大小解解法一：(1)因为ADBC，且BC平面BCS，所以AD平面BCS，从
8、而A点到平面BCS的距离等于D点到平面BCS的距离因为平面CSD平面ABCD，ADCD，故AD平面CSD，从而ADDS.由ADBC，得BCDS.又由CSDS知DS平面BCS，从而DS为点A到平面BCS的距离因此，在RtADS中，DS.(1)(2)如图(1)，过E点作EGCD，交CD于点G，又过G点作GHCD，交AB于H，故EGH为二面角ECDA的平面角，记为.过E点作EFBC，交CS于点F，连接GF.因平面ABCD平面CSD，GHCD，易知GHGF，故EGF.由于E为BS边中点，故CFCS1，RtCFE中，EF1.因EF平面CSD，又EGCD，故由三垂线定理的逆定理得FGCD，从而又可得CGF
9、CSD，因此，而在RtCSD中，CD，故GFDS.在RtEFG中，tanEGF，可得EGF，故所求二面角的大小为.(2)解法二：(1)如图(2)，以S(O)为坐标原点，射线OD，OC分别为x轴，y轴正向，建立空间坐标系设A(xA，yA，zA)，因平面COD平面ABCD，ADCD，故AD平面COD，即点A在xOz平面上，因此yA0，zA|1.又x12|23，xA0解得xA.从而A(，0,1)因ADBC，故BC平面CSD，即平面BCS与平面yOz重合，从而点A到平面BCS的距离为xA.(2)易知C(0,2,0)，D(，0,0)因E为BS的中点，BCS为直角三角形，知|2|2.设B(0,2，zB)，
10、zB0，则zB2，故B(0,2,2)，所以E(0,1,1)在CD上取点G，设为G(x1，y1,0)，使GECD.由(，2,0)，(x1，y11,1)，0，故x12(y11)0.又点G在直线CD上，即，由(x1，y12,0)，则有.联立，解得G(，0)故(，1)，又由ADCD，所以二面角ECDA的平面角为向量与向量所成的角，记此角为.因为|，(0,0,1)，|1，1，所以cos.故所求的二角面的大小为.17(2008广州二模)(本小题满分14分)如右图所示，在三棱锥PABC中，PA平面ABC，ABBCCA3，M为AB的中点，四点P、A、M、C都在球O的球面上(1)证明：平面PAB平面PCM；(2
11、)证明：线段PC的中点为球O的球心；(3)若球O的表面积为25，求三棱锥PABC的体积(1)证明因为ACBC，M为AB的中心，所以CMAB.因为PA平面ABC，CM平面ABC，所以PACM.因为ABPAA，AB平面PAB，PA平面PAB.所以CM平面PAB.因为CM平面PCM.所以平面PAB平面PCM.(2)证明由(1)知CM平面PAB.因为PM平面PAB，所以CMPM.因为PA平面ABC，AC平面ABC，所以PAAC.取PC的中心N，连接MN、AN.在RtPAC中，点N的斜边PC的中心，所以ANPNNC.在RtPCM中，点N为斜边PC的中心，所以MNPNNC.所以PNNCANMN.所以点N是
12、球O的球心，即线段PC的中点为球O的球心(注：本题答案中符号“”等价于“”)(3)解依题意得4NC225，解得NC.所以PC5，PA4.因为ABACBC3，所以ABC的面积SABC32.所以三棱锥PABC的体积为VSABCPA43.18(本小题满分14分)如图所示，在矩形ABCD中，AB2BC2a，E为AB上一点，将B点沿线段EC折起至点P，连接PA、PC、PD，取PD的中点F，若有AF平面PEC.(1)试确定E点位置；(2)若异面直线PE、CD所成的角为60，并且PA的长度大于a，求证：平面PEC平面AECD.(1)解E为AB的中点证明如下：取PC的中点G，连接GE，GF.由条件知GFCD，EACD，GFEA.则G、E、A、F四点共面AF平面PEC，平面GEAF平面PECGE，FAGE.则四边形GEAF为平行四边形GFAE，GFCD，EACDBA.即E为AB的中点(2)证明EACD，PE、CD所成的角为60，且PA的长度大于a.PEA120.PEBEEAa，PAa.取CE的中点M，连接PM，AM，BM，在AEM中，AMa.PMBM
