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1、基于FPGA的复指数转换模块设计摘要：复指数运算会运用在许多通信数字处理领域中，例如ofdm系统的调制、加扰等。CORDIC算法是在许多角度计算方面有着广泛应用的经典算法，本文通过考虑FPGA的结构、精度局限和速度要求，采用流水线技术(pipeline)，在FPGA上用CORDIC算法实现对复数处理。关键词: 坐标旋转数字计算; FPGA; 复指数1 引言FPGA以其灵活性和使用方便在现今的数字领域已经得到了广泛的应用。但FPGA实现数字系统也有其自身的局限性，其一是器件资源的门阵列规模的限制，其二是单元延迟限制。所以，这就需要设计者充分考虑器件的实际工作能力。复数的计算在数字领域尤其是数字通
2、信领域是一种应用非常广泛的计算，如果用传统的除法器、乘法器等计算方法，需要占用大量的FPGA资源，这样就不能满足设计者的要求，需要设计者考虑其他的算法实现这种类型的计算。CORDIC算法在硬件电路的实现上只用到了加法器和移位器，这样就大大节约了FPGA的资源，从而可以满足设计者的要求。2 CORDIC算法简介CORDIC(CoordinateRotationDigital Computer)，又名：坐标旋转数字计算，是J. Voider等人于1959年在设计美国航空导航控制系统的过程中提出来的一种算法。下面就简要地介绍一下CORDIC算法的基本数学思想。如图1所示，将向量旋转角，得到一个新的向
3、量，那么有： (1)式中R为圆周的半径，为旋转角度。写成矩阵形式： (2)如果假设是由n个角度叠加而成的，那么根据式(2)得出每一步的叠加操作需要按照式(3)操作。 (3)利用式子(3)经过n步叠加可以表示由向量旋转到向量，如下表示： (4)由于计算机进行计算采用二进制形式，所以我们选取，这样选取方便了的计算，即，式（4）前面的可以去累积乘的极限即： 如果我们在设计的系统中提前计算K，那么当抛开K不算时，式(3)就可以表示成式(5)： (5)至此，我们可以得出结论，由向量，在先计算K的情况下，我们可以由式（5）逐步的计算旋转角度后得出向量。计算的精度由n的大小决定,式(5)中的由每一步的具体情
4、况而定。3 CORDIC算法的复数计算应用Y复指数可以表示为，由欧拉恒等式知，只要知道角度，就可以计算正余弦的值来表示这个复数。已知角度，如何求：、。这个问题我们可以转换为利用CORDIC这种向量旋转的思想进行解析，建模如下（见图2）：OX 图2 向量旋转坐标图起始向量为，终止向量为，由经过n步旋转到，即可得到、。设：Zn表示经过n步旋转后，得到的结果与的差值，即：，通过这样的假设，就可以得到： (6)将(5)和(6)式结合，就可以得到它的逻辑表述：计算所得的、即为所求的、。4 复指数转换模块的FPGA实现4.1 关键问题分析(1) 复数，其中。由下列变换关系 计算、时采用将转换成锐角计算，然
5、后在根据是第几象限来确定、的正负。关系如表1： 表1第一象限（）第二象限（）第三象限（）第四象限（）-(2) 采用锐角的形式后，有，在fpga的实现中，角度我们采用比例缩放变换成。我们用16位二进制数表示这个角度，最高两位表示象限，其余14位表示相位值。0100100110000000第几象限(2bit) 相位值(14bit)我们知道，用二进制表示的小数点后第1为0，所以我们表示相位值时从小数点第2位开始表示，这样可以提高表示精度。(3) 由前面规定我们选取，那么。Fpga实现中，我们采用13级迭代，我们可以得表2： 表2n实际角度相位值十六进制表示145deg16h2000226.565de
6、g16h12E4314.036deg16h09FB47.125deg16h051153.576deg16h051161.789deg16h014570.895deg16h00A280.447deg16h005190.223deg16h0028100.112deg16h0014110.056deg16h000A120.028deg16h0005130.014deg16h00024.2 复数转换模块框图图3 复数转换模块框图4.3 端口定义说明端口类型描述clkinput时钟信号rst_ninput复位信号，低电平有效enainput使能信号phase_ininput输入相位，高两位表示在第几象限
7、，低14位表示相位角中pi的系数的第二位小数开始的数。sin_outoutput输出正弦值cos_outoutput输出余弦值epsoutput表示第i次旋转后剩余未旋转的角度p_flagoutput正余弦值输出标志4.4 模块详细流程图5 仿真验证根据以上分析编写cos_sin_value.v模块代码，见附件。然后建立向量波形文件cos_sin_value.vwf（见工程），根据要求在cos_sin_value.vwf文件中编辑激励信号。仿真一：当输入相位角为30时，即，系数为1/6=0.0010101010101010，那么输入的16位相位角phase_in = 0001_0101_010
8、1_0101。仿真结果得：sin_out = 0011_1111_1111_1110，cos_out = 0110_1110_1101_1100仿真结果如下图 图5 仿真结果图 表3 仿真结果分析理论值(第1位表示正负)仿真结果误差0100_0000_0000_0000(1/2=0.50)0011_1111_1111_1110(0.4999)-0.00010110_1110_1101_1001()0110_1110_1101_1100(0.86608)0.00003仿真二：当输入相位角为135时，即，变换成第一象限角为，系数为1/4=0.0100000000000，那么输入的16位相位角pha
9、se_in = 0110_0000_0000_0000。仿真结果得：sin_out = 0101_1010_0000_0100，cos_out = 1010_0101_1111_1111仿真结果如下图 图6 仿真结果图 表4 仿真结果分析理论值(第1位表示正负)仿真结果误差0101_1010_1000_0010() 0101_1010_0000_0100(0.7032)-0.00391010_0101_0111_1101()1010_0101_1111_1111(-0.7031)-0.0040由上实验结果可知：仿真结果与理论结果基本一致，误差还是比较小的；如果想进一步缩小误差，可以增加迭代次数
10、。附件:模块名：cos_sin_value.v 模块代码：timescale 1ns / 100ps/ Company: / Engineer: / Create Date:17/01/2013 / Design Name: / Module Name: / Project Name: / Target Devices: / Tool versions: / Description: / Dependencies: / Revision: / Revision 0.01 - File Created/ Additional Comments: /module cos_sin_value(clk
11、,rst_n,ena,phase_in,sin_out,cos_out, eps,puc_zc_cordic_flag);parameter DATA_WIDTH=16;/定义数据位宽为16parameter PIPELINE=16;/流水线级数为16input clk;input rst_n;input ena;input DATA_WIDTH-1:0 phase_in;/输入相位output DATA_WIDTH-1:0 sin_out;/输出正弦值output DATA_WIDTH-1:0 cos_out;/输出余弦值output DATA_WIDTH-1:0 eps;/表示第i次旋转后
12、剩余未旋转的角度output puc_zc_cordic_flag;/正余弦值输出标志reg DATA_WIDTH-1:0 sin_out;reg DATA_WIDTH-1:0 cos_out;reg DATA_WIDTH-1:0 eps;reg puc_zc_cordic_flag;reg DATA_WIDTH-1:0 phase_in_reg;/输入相位缓存/这里的相位表示是这样的：最高位和次高位这两位表示象限/（如00代表的第一象限，01代表的第二象限,10代表的第三象限，11代表的第四象限）/，剩下的低十四位代表相位值（这里一个单位代表的度数是90/16384=0.005493)/ 矩阵相乘中间寄存器变量，用于13次迭代计算reg DATA_WIDTH-1:0 x0,y0,z0;reg DATA_WIDTH-1:0 x1,y1,z1;reg DATA_WIDTH-1:0 x2,y2,z2;reg DATA_WIDTH-1:0 x3,y3,z3;reg DAT
