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1、数学备课吧http:/免费下载三角函数线及其应用 教学目标1使学生理解并掌握三角函数线的作法，能利用三角函数线解决一些简单问题2培养学生分析、探索、归纳和类比的能力，以及形象思维能力3强化数形结合思想，发展学生思维的灵活性教学重点与难点三角函数线的作法与应用教学过程设计一、复习师：我们学过任意角的三角函数，角的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割是如何定义的？生：在的终边上任取一点P（x，y），P和原点O的距离是r（r0），那么角的六个三角函数分别是（教师板书）师：如果是象限角，能不能根据定义说出的各个三角函数的符号规律？生：由定义可知，sin和csc的符号由y决定，所以当是第一、二象限角时，s
2、in0，csc0；当是第三、四象限角时，sin0，csc0cos和sec的符号由x决定，所以当是第一、四象限角时，cos0，sec0；当是第二、三象限角时，cos0，sec0而tan，cot的符号由x，y共同决定，当x，y同号时，tan，cot为正；当x，y异号时，tan，cot为负也就是说当是第一、三象限角时，tan0，cot0；当是第二、四象限角时，tan0，cot0师：可以看到，正弦值的正负取决于P点纵坐标y，余弦值的正负取决于P点的横坐标x，而正切值的正负取决于x和y是否同号，那么正弦、余弦、正切的值的大小与P点的位置是否有关？生：三角函数值的大小与P的位置无关，只与角的终边的位置有关
3、师：既然三角函数值与P点在角的终边上的位置无关，我们就设法让P点点位于一个特殊位置，使得三角函数值的表示变为简单二、新课师：P点位于什么位置，角的正弦值表示最简单？生：如果r=1，sin的值就等于y了师：那么对于余弦又该怎么处理呢？生：还是取r=1师：如果r=1，那么P点在什么位置？生：P点在以原点为圆心，半径为1的圆上师：这个圆我们会经常用到，给它起个名字，叫单位圆，单位圆是以原点为圆心，以单位长度为半径的圆（板书）1单位圆师：设角的终边与单位圆的交点是P（x，y），那么有sin=y，cos=x师：我们前面说的都是三角函数的代数定义，能不能将正弦值、余弦值等量几何化，也就是用图形来表示呢？因
4、为数形结合会给我们的研究带来极大的方便，请同学们想想，哪些图形与这些数值有关呢？（同学可能答不上来，教师给出更明确的提示）师：sin=y，cos=x，而x，y是点P的坐标，根据坐标的意义再想一想师：对点来说，是它的位置代表了数，点本身并不代表数能不能找到一个图形，自身的度量就代表数？生：可以用面积，比如一个正数可以对应着一个多边形的面积，每一个多边形的面积对应着唯一一个正数师：很好但这是一个二维的图形，而且多边形的边数也不确定，我们还应遵循求简的原则有没有简单的图形呢？生：是不是能用线段的长度来表示？师：说说你的理由生：线段的长度与正数是一一对应的，所以每一个正数可以用一条线段来作几何形式师：
5、正数可以这样去做，零怎么办呢？能用线段来表示吗？生：（非常活跃）当然行了，让线段两个端点重合，线段长就是零了师：可以画这样一个示意图，线段一个端点是A，另一个端点是B，当A，B重合时，我们说AB是0；当A，B不重合时，我们说AB是一个正实数那么负数怎么办呢？能不能想办法也用线段AB表示？生：线段的长度没有负数生：我能不能这样看，A点在直线l上，B点在l上运动，如果B在A的右侧，我就说线段AB代表正数；如果B和A重合，就说线段AB代表0；如果B在A的左侧，就说线段AB代表负数（教师不必理会学生用词及表述的漏洞主要是把学生的注意力吸引到对知识、概念的发现上来）师：正数与正数不都相等，负数和负数也不
6、都相等，你只是规定了正负还不够吧？！生：可以再加上线段AB的长度这样所有的实数都能对应一条线段AB，以A为分界点，正数对应的点B在A的右侧，而且加上长度，B点就唯一了师：他的意见是对线段也给了方向与直线规定方向是类似的那么如何建立有向线段与数的对应关系？（板书）2有向线段师：顾名思义，有方向的线段（即规定了起点与终点的线段）叫做有向线段，那么如何建立有向线段与数的对应关系呢？这需要借助坐标轴平行于坐标轴的线段可以规定两种方向如图2，线段AB可以规定从点A（起点）到点B（终点）的方向，或从点B（起点）到点A（终点）的方向，当线段的方向与坐标轴的正方向一致时，就规定这条线段是正的；当线段的方向与坐
7、标轴的正方向相反时，就规定这条线段是负的如图中AB=3（长度单位）（A为起点，B为终点），BA=-3（长度单位）（B为起点，A为终点），类似地有CD=-4（长度单位），DC=4（长度单位）师：现在我们回到刚才的问题，角与单位圆的交点P（x，y）的纵坐标恰是的正弦值，但sin是可正、可负、可为零的实数，能不能找一条有向线段表示sin？生：找一条有向线段跟y一致就行了，y是正的，线段方向向上，y是负的，线段方向向下，然后让线段的长度为y师：理论上很对，到底选择哪条线段呢？我们不妨分象限来看看生：如果是第一象限的角，过P点向x轴引垂线，垂足叫M（无论学生用什么字母，教师都要将其改为M），有向线段MP
8、为正，y也是正的，而且MP的长度等于y，所以用有向线段MP表示sin=y（图中的线段随教学过程逐渐添加）生：如果是第二象限角，sin=y是正数，也得找一条正的线段因为的终边在x轴上方，与第一象限一样，作PM垂直x轴于M，MP=sin师：第一、二象限角的正弦值几何表示都是MP，那么第三、四象限呢？注意此时sin是负值生：这时角的终边在x轴下方，P到x轴的距离是y=-y所以还是作PM垂直x轴于M，MP方向向下，长度等于-y，所以sin=y师：归纳起来，无论是第几象限角，过的终边与单位圆的交点P作x轴的垂线，交x轴于M，有向线段MP的符号与点P的纵坐标y的符号一致，长度等于y所以有MP=y=sin我
9、们把有向线段MP叫做角的正弦线，正弦线是角的正弦值的几何形式（板书）3三角函数线（1）正弦线MP师：刚才讨论的是四个象限的象限角的正弦线，轴上角有正弦线吗？生：当角的终边在x轴上时，P与M重合，正弦线退缩成一点，该角正弦值为0；当角终边与y轴正半轴重合时，M点坐标为（0，0），P（0，1），MP=1，角的正弦值为1；当终边与y轴负半轴重合时，MP=-1，sin=-1，与象限角情况完全一致师：现在来找余弦线生：因为cos=x（x是点P的横坐标），所以把x表现出来就行了过P点向y轴引垂线，垂足为N，那么有向线段NP=cos，NP是余弦线师：具体地分析一下，为什么NP=cos？生：当是第一、四象限角
10、时，cos0，NP的方向与x轴正方向一致，也是正的，长度为x，有cos=NP；当是第二、三象限角时，cos0，NP也是负的，也有cos=NP师：这位同学用的是类比的思想，由正弦线的作法类比得出了余弦线的作法，其他同学有没有别的想法？生：其实有向线段OM和他作的有向线段NP方向一样，而且长度也一样，也可以当作余弦线师：从作法的简洁及图形的简洁这个角度看，大家愿意选哪条有向线段作为余弦线？生：OM（板书）（2）余弦线OM师：对轴上角这个结论还成立吗？（学生经过思考，答案肯定）师：我们已经得到了角的正弦线、余弦线，它们都是与单位圆的弦有关的线段，能不能找到单位圆中的线段表示角的正切呢？生：肯定和圆的
11、切线有关系（这里有极大的猜的成分，但也应鼓励学生）坐标等于1的点，这点的纵坐标就是的正切值师：那么横坐标得1的点在什么位置呢？生：在过点（1，0），且与x轴垂直的直线上生：这条直线正好是圆的切线（在图3-（1）中作出这条切线，令点（1，0）为A）师：那么哪条有向线段叫正切线呢？不妨先找某一个象限角的正切线生：设是第一象限角，的终边与过A的圆的切线交于点T，T的横坐标是1，纵坐标设为y，有向线段AT=y，AT可以叫做正切线师：大家看可以这样做吧？！但第二象限角的终边与这条切线没有交点，也就是的终边上没有横坐标为1的点生：可以令x=-1，也就是可以过（-1，0）再找一条切线，在这条切线上找一条有向
12、线段表示tan师：我相信这条线段肯定可以找到，那么其他两个象限呢？生：第三象限角的正切线在过（-1，0）的切线上找，第四象限角的正切线在过（1，0）的切线上找师：这样做完全可以，大家可以课下去试，但我们还是要求简单，最好只要一条切线，我们当然喜欢过A点的切线（因为这条直线上每个点的横坐标都是1），第一、四象限角与这条直线能相交，AT是正切值的反映，关键是第二、三象限的角（如果学生答不出来，由教师讲授即可）师（或生）：象限角的终边如果和过A点的切线不相交，那么它的反向延长线一定能和这条切线相交因为OMPOAT，OM与MP同号时，OA与AT也同号；OM与MP异号时，OA与AT也异号，（板书）（3）
13、正切线AT师：的确像刚才同学们说的，正切线确实是单位圆的切线的一部分，那么轴上角的正切线又如何呢？注意正切值不是每个角都有生：当角终边在x轴上时，T和A重合，正切线退缩成了一个点，正切值为0；当角终边在y轴上时，的终边与其反向延长线和过A的切线平行，没有交点，正切线不存在，这与y轴上角的正切值不存在是一致的师：可以看到正切线的一个应用帮助我们记忆正切函数的定义域现在我们归纳一下任意角的正弦线、余弦线、正切线的作法设的终边与单位圆的交点为P，过P点作x轴的垂线，垂足为M，过A（1，0）点作单位圆的切线（x轴的垂线），设的终边或其反向延长线与这条切线交于T点，那么有向线段MP，OM，AT分别叫做角
14、的正弦线、余弦线、正切线利用三角函数线，我们可以解决一些简单的有关三角函数的问题（板书）4三角函数线的应用例1 比较下列各组数的大小：分析：三角函数线是一个角的三角函数值的体现，从三角函数线的方向看出三角函数值的正负，其长度是三角函数值的绝对值比较两个三角函数值的大小，可以借助三角函数线（由学生自己画图，从图中的三角函数线加以判断）（画出同一个角的两种三角函数线）师：例1要求我们根据角作出角的三角函数线，反过来我们要根据三角函数值去找角的终边，从而找到角的取值范围（板书）例2 根据下列三角函数值，求作角的终边，然后求角的取值集合分析：P1，P2两点，则OP1，OP2是角的终边，因而角的取值集合为（3）在单位圆过点A（1，0）的切线上取AT=-1，连续OT，（4）这是一个三角不等式，所求的不是一个确定的角，而是适合三、小结及作业单位圆和三角函数线是研究三角函数的几何工具，它是数形结合思想在三角函数中的体现我们应掌握三角函数线的作法，并能运用它们解决一些有关三角函数的问题，注意在用字母表示有向线段时，要分清起点和终点，书写顺序要正确作业（1）复习课本“用单位圆中的线段表示三角函数”一节（2）课本习题P178练习第7题；P192练习十四第9题；P194练习十四第22题；P201总复习参考题二第20题课堂教学设计说明关于三角函数线的教学，曾有过两个
