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1、第3讲 函数的奇偶性与周期性A级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x2)f(x)，又当x(0,1)时，f(x)2x1，则f(log6)等于 ()A5 B6 C D解析f(log6)f(log26)f(log262)log262log2(0,1)，f，f(log6).答案D2(2011安徽)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)2x2x，则f(1)等于 ()A3 B1 C1 D3解析f(x)是定义在R上的奇函数，且x0时，f(x)2x2x，f(1)f(1)2(1)2(1)3.答案A3定义在R上的函数f(x
2、)满足f(x)f(x2)，当x3,5时，f(x)2|x4|，则下列不等式一定成立的是 ()Aff Bf(sin 1)f(cos 1)Cff(sin 2)解析当x1,1时，x43,5，由f(x)f(x2)f(x4)2|x44|2|x|，显然当x1,0时，f(x)为增函数；当x0,1时，f(x)为减函数，cos，sin ，又fff，所以ff.答案A4(2013连云港一模)已知函数f(x)则该函数是 ()A偶函数，且单调递增 B偶函数，且单调递减C奇函数，且单调递增 D奇函数，且单调递减解析当x0时，f(x)2x1f(x)；当x0时，f(x)12(x)12xf(x)当x0时，f(0)0，故f(x)为
3、奇函数，且f(x)12x在0，)上为增函数，f(x)2x1在(，0)上为增函数，又x0时12x0，x0时2x10，故f(x)为R上的增函数答案C二、填空题(每小题5分，共10分)5(2011浙江)若函数f(x)x2|xa|为偶函数，则实数a_.解析由题意知，函数f(x)x2|xa|为偶函数，则f(1)f(1)，1|1a|1|1a|，a0.答案06(2012上海)已知yf(x)x2是奇函数，且f(1)1.若g(x)f(x)2，则g(1)_.解析因为yf(x)x2是奇函数，且x1时，y2，所以当x1时，y2，即f(1)(1)22，得f(1)3，所以g(1)f(1)21.答案1三、解答题(共25分)
4、7(12分)已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意x，y，f(x)都满足f(xy)yf(x)xf(y)(1)求f(1)，f(1)的值；(2)判断函数f(x)的奇偶性解(1)因为对定义域内任意x，y，f(x)满足f(xy)yf(x)xf(y)，所以令xy1，得f(1)0，令xy1，得f(1)0.(2)令y1，有f(x)f(x)xf(1)，代入f(1)0得f(x)f(x)，所以f(x)是(，)上的奇函数8(13分)设定义在2,2上的偶函数f(x)在区间2,0上单调递减，若f(1m)f(m)，求实数m的取值范围解由偶函数性质知f(x)在0,2上单调递增，且f(1m)f(|1m|)，f(m
5、)f(|m|)，因此f(1m)f(m)等价于解得：m2.因此实数m的取值范围是.B级能力突破(时间：30分钟满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1函数f(x)的定义域为R，若f(x1)与f(x1)都是奇函数，则 ()Af(x)是偶函数 Bf(x)是奇函数Cf(x)f(x2) Df(x3)是奇函数解析由已知条件，得f(x1)f(x1)，f(x1)f(x1)由f(x1)f(x1)，得f(x2)f(x)；由f(x1)f(x1)，得f(x2)f(x)则f(x2)f(x2)，即f(x2)f(x2)，由此可得f(x4)f(x)，即函数f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(x3)f(x1)，即
6、函数f(x3)也是奇函数答案D2(2012福建)设函数D(x)则下列结论错误的是 ()AD(x)的值域为0,1 BD(x)是偶函数CD(x)不是周期函数 DD(x)不是单调函数解析显然D(x)不单调，且D(x)的值域为0,1，因此选项A、D正确若x是无理数，x，x1是无理数；若x是有理数，x，x1也是有理数D(x)D(x)，D(x1)D(x)则D(x)是偶函数，D(x)为周期函数，B正确，C错误答案C二、填空题(每小题5分，共10分)3f(x)2xsin x为定义在(1,1)上的函数，则不等式f(1a)f(12a)0的解集是 _.解析f(x)在(1,1)上是增函数，且f(x)为奇函数于是原不等
7、式为f(1a)f(2a1)等价于解得a0，则f(x)在2，)上是增函数，当a0时，由f(x)0，解得x ，由f(x)在2，)上是增函数，可知 2.解得0a16.综上可知实数a的取值范围是(，166(13分)已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x2)f(x)(1)求证：f(x)是周期函数；(2)若f(x)为奇函数，且当0x1时，f(x)x，求使f(x)在0,2 014上的所有x的个数(1)证明f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)f(x)，f(x)是以4为周期的周期函数(2)解当0x1时，f(x)x，设1x0，则0x1，f(x)(x)x.f(x)是奇函数，f(x)f(x)，f(x)x，即f(x)x.故f(x)x(1x1)又设1x3，则1x21，f(x2)(x2)又f(x)是以4为周期的周期函数f(x2)f(x2)f(x)，f(x)(x2)，f(x)(x2)(1x3)f(x)由f(x)，解得x1.f(x)是以4为周期的周期函数，f(x)的所有x4n1(nZ)令04n12 014，则n.又nZ，1n503(nZ)，在0,2 014上共有503个x使f(x).特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见创新设计高考总复习光盘中内容.
