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1、word 版初中数学八年级知识点总结第一章三角形的初步知识 三角形1、三角形的分类三角形按边的关系分类如下：不等边三角形三角形底和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形三角形按角的关系分类如下：直角三角形（有一个角为直角的三角形）三角形锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）斜三角形钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。它是两条直角边相等的直角三 角形。注：三角形具有稳定性。2、三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于 180。推论：直角三角形的两个锐角互余。三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。三角形
2、的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。1 / 20word 版注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。 3、三角形的三边关系定理及推论（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。推论：三角形的两边之差小于第三边。4、三角形的面积初中数学三角形的面积=12底高注：同底等高的三角形面积相等。三角形中的主要线段1、三角形中的主要线段有：三角形的角平分线、中线和高线。2、这三条线段必须在理解和掌握它的定义的基础上，通过作图加以熟练掌握。并且对这三条线段必须 明确三点：（1）三角形的角平分线、中线、高线均是线段，不是直线，也不是射线。（2）三角形的角平分线、中线
3、、高线都有三条，角平分线、中线，都在三角形内部。而三角形的高线 在当ABC 是锐角三角形时，三条高都是在三角形内部，钝角三角形的高线中有两个垂足落在边的延长线上， 这两条高在三角形的外部，直角三角形中有两条高恰好是它的两条直角边。（3）在画三角形的三条角平分线、中线、高时可发现它们都交于一点。在以后我们可以给出具体证明。 今后我们把三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，三条中线的交点叫做三角形的重心，三条高的 交点叫做三角形的垂心。全等三角形1、全等三角形的概念能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。2、三角形全等的判定三角形全等的判定定理：（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两
4、个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）2 / 20word 版初中数学（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。（4 ）角角边定理：有两个角和其中一个角的对应边相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或 “AAS”）直角三角形全等的判定：对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有 HL 定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边 对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）3、全等变换只改变图形的位置，不改变其形状大小的图形变换
5、叫做全等变换。全等变换包括一下三种：（1）平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。（2）对称变换：将图形沿某直线翻折 180，这种变换叫做对称变换。（3）旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。4.线段中垂线和角平分线的性质，基本尺规作图：作角的平分线，线段的中垂线，作一个角等于已知 角，按给定条件作三角形。第二章 特殊三角形特殊三角形的定义、性质及判定三角形类型定义性质判定有两条边相等的三角形是1、 等腰三角形是对称图 1、（定义法）有两条边相等等腰三角形，其中相等的形，顶角平分线所在直的三角形是等腰三角形等腰三角形两条边分别叫做腰，另一 条边叫
6、做底边，两腰的夹 角叫顶角，腰和底边的夹 角为底角线为它的对称轴2、如果一个三角形有两个2、 等腰三角形两底角相 角相等，那么这个三角形是 等，即在同一个等腰三 等腰三角形，即，在同一个 角形中，等边对等角 三角形中，等角对等边3 / 20word 版初中数学等边三角形三条边都相等的三角形是 等边三角形，它是特殊的 等腰三角形，也叫正三角形3、 等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线和高线互相重合，简称等腰三角形的三线合一1、 等边三角形的内角都1、 三条边都相等的三角形是等边三角形相等，且为 602、 等边三角形是轴对称2、 三个内角都等于 60的图形，且有三条对称轴三角形是等边三角形3、 等
7、边三角形每条边上 3、 有一个角是 60的等腰 的中线，高线和所对角 三角形是等边三角形 的角平分线三线合一，他们所在的直线都是等边三角形的对称轴直角三角形等腰三角形有一个角是直角的三角形 1、 直角三角形的两锐角 是直角三角形，即“Rt” 互余2、 直角三角形斜边上的 中线等于斜边的一半3、 直角三角形中 30角 所对的直角边等于斜边的一半4、 直角三角形中两条直 角边的平方和等于斜 边的平方（勾股定理）1、 有一个角是直角的三角 形是直角三角形2、 有两个角互余的三角形 是直角三角形3、 如果一个三角形中两条 边的平方和等于第三条 边的平方，那么这个三 角形是直角三角形（勾股定理逆定理）1
8、. 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊 的等腰三角形。2. 等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等；（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。3. 等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。4. 等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于 60。4 / 20word 版5. 等边三角形的判定：（1）三个角都相等的三角形是等边三角形；（2）有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形。 6. 含 30角的直角三角形的性质：初中数学在直角三角形中，如果一个锐角等于
9、 30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。等边三角形（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫等边三角形.（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都是 60；等边三角形具有等腰三角形的所有性质，并且每一条边上都有三线合一，因此等边三角形是轴对称 图形，它有三条对称轴；而等腰三角形只有一条对称轴.（3）等边三角形的判定三条边都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于 60的等腰三角形是等边三角形；有两个角都等于 60的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形.（4）两个重要结论在直角三角形中，如果一个锐角是 30，那么它所对的直角边等于斜边的一半.在直角三角形中
10、，如果一条直角边是斜边的一半，那么它所对的锐角等于 30.两个重要结论的数学解释：已知：如图 4，在ABC 中，C90，则： 如果 AB2BC，那么A30；如果A30，那么 AB2BC.5 / 202 2 2word 版初中数学直角三角形1. 认识直角三角形。学会用符号和字母表示直角三角形。按照角的度数对三角形进行分类：如果三角形中有一个角是直角，那么这个三角形叫直角三角形。通 常用符号“ ”表示“直角三角形”，其中直角所对的边称为直角三角形的斜边，构成直角的两边称为直 角边。如果ABC 是直角三角形，习惯于把以 C 为顶点的角当成直角。用三角 A、B、C 对应的小写字母 a、 b、c 分别表
11、示三个角的对边。如果 ABAC 且A90，显然这个三角形既是等腰三角形，又是直角三角形，我们称之为等腰直角 三角形。2. 掌握“直角三角形两个锐角互余”的性质。会运用这一性质进行直角三角形中的角度计算以及简单说 理。3. 会用“两个锐角互余的三角形是直角三角形”这个判定方法判定直角三角形。4. 掌握“直角三角形斜边上中线等于斜边的一半”性质。能通过操作探索出这一性质并能灵活应用。 5 在直角三角形中如果一个锐角是 30，则它所对的直角边等于斜边的一半”。难点：1 在直角三角形中如何正确添加辅助线 通常有两种辅助线：斜边上的高线和斜边上的中线。勾股定理及逆定理（一）勾股定理及其证明勾股定理：直角
12、三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.符号语言：在ABC 中，C=90（已知） a +b =c证明：进行图形拼接用面积法证明. 制作四个全等的直角三角形，然后进行拼接，利用面积法理解勾股 定理.6 / 202 2 22 2 2 2 2 22 2 2word 版初中数学baabccccbaab（二）勾股定理的应用：（1）已知两边（或两边关系）求第三边； （2）已知一边求另两边关系；（3）证明线段的平方关系；（4）作长为 n的线段.（三）勾股定理的逆定理如果三角形的三边长 a、b、c 满足 a2+b2=c2那么这个三角形是直角三角形.1勾股定理的逆定理的证明是构造一个直角三角形，然后通过证全等完成；2勾股定理的逆定理实质是直角三角形的判定之一，与以前学的判定方法不同，它是用代数运算来证 明几何问题，这是数形结合思想的最好体现，今后我们会经常用到.利用勾股定理的逆定理判别直角三角形的一般步骤：1先找出最大边（如 c）；2计算 c 2 与 a 2+b2，并验证是否相等.若 c2=a2+b2，则ABC 是直角三角形.若 c a +b，则ABC 不是直角三角形.注意：（1）ABC 中，若 a +b =c ，则C=90；而 b +c =a时，则A=90； a +c =b时，则B=90.（2）若 a2+b2c2，则C 为锐角，但ABC 不一定为锐角三角形.7 / 20word 版初中数学
