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1、泰勒公式及其应用常用近似公式十血工心（|时充分小），将复杂函数用简单 的一次多项式函数近似地表示，这是一个进步。当然这种近似表示式还较粗糙（尤其当较大时），从下图可看出。上述近似表达式至少可在下述两个方面进行改进：1、提高近似程度，其可能的途径是提高多项式的次数。2、任何一种近似，应告诉它的误差，否则，使用者“心中不安”。将上述两个想法作进一步地数学化：对复杂函数了，想找多项式跖（对来近似表示它。自然地，我们 希望（对尽可能多地反映出函数了（工）所具有的性态一一如：在某点 处的值与导数值;我们还关心（工）的形式如何确定m3）近似/3）所 产生的误差虬。1（对-如）。【问题一】设/3）在含的开区
2、间内具有直到1阶的导数，能否找出一个关 于（工-此）的改次多项式P必二诳 +(x-x0) + 2(x-x0)a +- + (x-x0) 且罗(&)=严(&)#, L-/)近似只对?【问题二】若问题一的解存在，其误差、侦 mq）的表达式是什么?一、【求解问题一】问题一的求解就是确定多项式的系数乳加，。m2 =气 + 总 1（工-气）+ 廿q - z0）2 4- - +（x -工口广= a1 + 2a 2 （ x - k口）+ 33 （t - t0 ）2 4- - +- x0 /-1-如二 pKQp； （x） = 2 . 1-电 + 3 . 2 .成m . 3 - 曲）+ 4 . 3.提4 .（工
3、一布+ +可.（理1）电-3 % 广- 21皿二葺（冲）或归）=3驾 +4-3-2 -3-此）+5 4 3乌.+ -.+%.（丑一 1）（n-2）马（工一此广- 321的二（此）上述工整且有规律的求系数过程，不难归纳出：门=PhE) = fE)1 皿=站= /r(x0)2 T Sw =站(知)=f 气%Q3 . 2 . 1 ”3 = pgQ =广(L) 一般地，有京（上1）怂2）.21 .勺= 从而，得到系数计算公式：气=f f）rj 广i = n-rs危、,.0；（上=口淫，./于是，所求的多项式为:叫二，（知+-知）侦一姑）*+土羿（）1!打！门！（2）二、【解决问题二】泰勒（Tayler
4、）中值定理若函数了（工）在含有知的某个开区间（口力）内具有直到死+ 1阶导数， 则当HE（马幻时，丁可以表示成丁0） = Ph3） + &（X）=尸（知）+亡（寸 + f ）T &_知）用人1 宓S + L）!这里是二口与x之间的某个值。先用倒推分析法探索证明泰勒中值定理的思路:J 3) =&5)O ?3lPh3）= Rn（m= （E5 十 1）I_ E） _欢技（9O-知）*（ + !）!注意到温子（“mm*）/）=。e= o,i,2,/）M = W 此）七#“（改）=o = oj.2,-）, qg*。三3十1）1 （因八。是关于f的H十1次多项式） 3次）三。（因PW）是关于的t次多项式）
5、 琛WSE，则死g（f）二舟5n 虬0）&（%）_ 顷sE+1)M+1gO)-戒m广2(上)这表明：只要对函数 %二仕）-（0 及qkTW*在工与工口之间反复使用冗十1次柯西中值定理就有可能完成该定理的证明工作。【证明】为上）弋知以知与为端点的区间此，工或知知记为lug）。函数 % = f-p*） 在T上具有直至 31阶的导数，且 %（3= & g）= % （x0） =- = nx0） = 0玲七）*）函数（0 = （f-o）H+1在J上有直至口十1阶的非零导数，且 0（冲）=事（叱）=必。口） =-=尸国）=Qg（H+l地）=3 + 1）!于是，对函数 （广）及9（f）在了上反复使用 乃+
6、1次柯西中值定理，有与在曲与/之间土在无0与鸟之间鸟在心与土之间孔+1在纺与之间我Jx） _我工）RJM） _ & （知 ，（两 g）-矶S 矿（皂） _史（盘-（0_必（土）#国）-狄财） nm_ &（m W）_（土） 三箜也里 gggD_戒心（命）. + 1）1记言=Mi M在此与K之间/（M-l-1）/ fO+l）卢,&= 心）=n （推 + 1）1 ” 5+1）1三、几个概念r（x） = /（血）+ .（x-r0）fe+:字, （x 一血）+11、*=1 刻（E）!此式称为函数丁（W按。-知）的幂次展开到 北阶的泰勒公式；或者称之为函数/（W在点此处的建阶泰勒展开式。当R = & 时，
7、泰勒公式变为（04-1）丁成）二g）+（工-司严二r（血）+r（令a一近）（0 + 1）!这正是拉格朗日中值定理的形式。因此，我们也称泰勒公式中的余项。凡侦）= -（x -x0）n+1（1）!为拉格朗日余项。2、对固定的加若|产七）|3 工履.|凡（就）|壬;%|工-血片有（朴+ 1）!此式可用作误差界的估计。凡3七 0 (x -ra)(r-x0)nS + 1)L01 V 07故 虬二口(。气门侦知)表明：误差耳(对是当T知时较Cx-xo)H高阶无穷小，这一余项表达式称之为皮亚诺余项3、若知二，则*在0 与 x之间，它表示成形泰勒公式有较简单的形式一一 麦克劳林公式f Y0)/ Y0)近似公式
8、八小川) K” 囊)/+I产再广(口 3ci)1!2!误差估计式71 + 1麦克劳林展开式是一种特殊形式的泰勒展开式.容 易求，因此，求函数/(*)在任意点工=如处的泰 勒展开式时可通过变量替换X - JC0 = J化归到这 一情况.今兀一再口 = r则 /口)= 丁。十血)=F(t)对函数F)作麦克劳抹展开.【例1】求 W 彳的麦克劳林公式。 解：舟)3)=疽(k = 0J,2,璀)/（o）=no）=r（o）=-=/（o）=.0=i,于是2工 工Q =1 + 一 + 1! 2!-n!仞+ 1）!（0 （91）有近似公式 1 HH+ 1! 2! nl月+1其误差的界为我们有函数/二的一些近似表
9、达式。V f：j 1 十 X 十一(1)、龙1 + 工(2)、(3)、在matlab中再分别作出这些图象，观察到它们确实在逐渐逼近指数函数。【例2】求丁(工)=而工 的 川阶麦克劳林公式。俨州(r)二和1丁)产(。)二迥彳解：22/(0) = 0,况)=顷(0) =(V (0) = -1?/(0)=0?-它们的值依次取四个数值，1，T。/ /-1sin 工二应一匚 + 匚就 T _+ R (工)3!5!(2-1)!冰 7T(2m+1)!其中:同样，我们也可给出曲线y二洒尤 的近似曲线如下，并用matlabsinS-x + (2 + 1)- Rg (x)=心顼6作出它们的图象。6120【例3】求
10、只对* 的麦克劳林展开式的前四项，并给出皮亚诺余项。-2cosx (- sinx) 2sinr二布,cosx- cos3x-sinx-3cos2x (-sinx) 2 cos2 r + 6sin3 xcos6 X4 cos Xg = 2= 毋可=0=0,（净）L=u=l，率）TnU=Q，爵）村口=2+2 3于是：说=十/十口利用泰勒展开式求函数的极限，可以说是求极限方法中的“终极武 器”， 使用这一方法可求许多其它方法难以处理的极限。x-sinr【例4】利用泰勒展开式再求极限I 一疽一y说f十三注十口（疽）解：3，sinx - rx6tgy：-nx = r+ - 投 + 口（疽）=疽+。*）
11、361 31 333=（JC工）+（一X HX ）+（ ）一）361 3/ 3.1 3X +0（X ） X/ 1gx-sinr 22口（工）1lim = lim = hm + lim ? = -I。 x项 xI。x xt。工 2【注解】 现在，我们可以彻底地说清楚下述解法的错误之处因为血（x0），从而切一血 x-x 门门lim= lim = limO = 0id xi口尤iD当花 TO时，饮xfinmx-x = 0，应为渗 sinx-?* +。（【例5】利用三阶泰勒公式求的近似值，并估计误差。小 18=18=解：180 10提曲& x+9用.*/.3-125sinr = x+ （一1） x3!5!一 sin ()故： 10 10 6 10
