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1、量子力学试题（A）解答1 简答题：（20分）（1）隧道效应答：粒子能量小于势垒高度时，仍能贯穿势垒的现象。（4分） （2）定态答：体系能量具有确定值的状态，称为定态（4分） （3）量子数为j1和j2的两个角动量耦合后的取值范围答：j = j1+j2, j1+j2-1, j1+j2-2, ., |j1 - j2|. （4分）（4）偶极跃迁选择定则答：(1) , （4分）（5）费米子答：凡自旋为 h 半奇数倍（s =1/2，3/2，) 的粒子，其多粒子波函数对于交换 2 个粒子总是反对称的，遵从Fermi 统计，故称为Fermi 子。（4分）2 转动惯量为I的一刚性转子绕一固定轴转动，它的能量的经
2、典表示式是，L为角动量，求该量子体系的定态能量及波函数。（15分）解：设该固定轴沿Z轴方向，则有 哈米顿算符 （3分） 其本征方程为 (无关，属定态问题) 令 ，则 （3分） 取其解为 (可正可负可为零)由波函数的单值性，应有 （3分） 即 m= 0，1，2，转子的定态能量为 (m= 0，1，2，) （3分）可见能量只能取一系列分立值，构成分立谱。 定态波函数为 A为归一化常数，由归一化条件 转子的归一化波函数为 综上所述，除m=0外，能级是二重简并的。 （3分）3. 设氢原子的电子波函数为（15分）求氢原子能量、角动量二次方及角动量z分量和自旋z分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量
3、的平均值。 6分解：由波函数可得 (1)能量 w=1 4分（2）角动量二次方 w=1 4分（3）角动量z分量 w=1/4 ; w=3/4 3分（4）自旋z分量 w=1/4 ; w=3/4 4分 4在l=1的表象中，基矢为 ，。已知 ，求的矩阵表示和它的本征值及本征函数。（22分）解： （3分） （5分）（2）的久期方程为 （2分） 的本征值为 （3分） 的本征方程 其中设为的本征函数共同表象中的矩阵 当时，有 由归一化条件 取 对应于的本征值0 。 （3分） 当时，有 由归一化条件 取 归一化的对应于的本征值 （3分） 当时，有 由归一化条件 取 归一化的对应于的本征值 （3分）5有一粒子，其
4、 Hamilton 量的矩阵形式为：H = H0 + H，其中用微扰理论求能级的一级近似。（10分）解：H0 的本征值问题是三重简并的，这是一个简并微扰问题。由久期方程|H - E(1) I| = 0 得： （5分）得：E(1)(E(1)2 - 2 = 0 解得：E(1) = 0, .故能级一级近似： （5分） 6慢速粒子受到势能为场的散射，若E 0，求散射截面。（10分）解：慢速粒子能量很小只需讨论s分波，径向方程 令l=0 可得 ra, ra （4分）r=a 处有 两式相除得 （3分）总散射截面为 （3分） 7 当体系 Hamilton 量不含二电子自旋相互作用项时，求具有一定对称性的二电子自旋波函数。（8分）解： 可构成4种相互独立二电子自旋波函数： 2分由此又可构成以下具有一定对称性的二电子自旋波函数： 6分
