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1、苏教版数学精品资料章末综合测评(三)空间向量与立体几何(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案填在题中的横线上)1已知空间直角坐标系中有点A(2,1,3)，B(3,1,0)，则|_.【解析】(5,0，3)，|.【答案】2若a(2x,1,3)，b(1，2y,9)，且a与b为共线向量，则x_，y_.【解析】由题意得，x，y.【答案】3下列有关空间向量的四个命题中，错误命题为_空间中有无数多组不共面的向量可作为向量的基底；向量与平面平行，则向量所在的直线与平面平行；平面的法向量垂直于内的每个向量；空间中的任一非零向量都可惟一地表示成空间中不共面向量的
2、线性组合的形式【解析】若向量与平面平行，则向量所在的直线与平面平行或在平面内，故错误【答案】4若向量a(1，2)，b(2，1,2)，且a与b的夹角的余弦值为，则_.【解析】由已知得，83(6)，解得2或.【答案】2或5ABC的三个顶点坐标分别为A(0,0，)，B，C(1,0，)，则角A的大小为_【解析】，(1,0,0)，则cos A，故角A的大小为30.【答案】306已知正方体ABCDA1B1C1D1的中心为O，则下列各命题中，真命题是_与是一对相反向量；与是一对相反向量；与是一对相反向量；与是一对相反向量【解析】四边形ADC1B1为平行四边形，O为对角线交点，与是一对相反向量，真；，假；如图
3、，设正方形ABCD的中心为O1，正方形A1B1C1D1的中心为O2，则4，4，与是相反向量，真；，与是相反向量，真【答案】7在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(1，2,3)，B(2,1，1)，若直线AB交平面xOz于点C，则点C的坐标为_【解析】设点C的坐标为(x,0，z)，则(x1,2，z3)，(1,3，4)，因为与共线，所以，解得所以点C的坐标为.【答案】8二面角l等于120，A，B是棱l上两点，AC，BD分别在半平面，内，ACl，BDl，且ABACBD1，则CD的长等于_【解析】设a，b，c，由已知条件，|a|1，|b|1，|c|1，a，b90，b，c90，a，c120.|2|2|cba
4、|2a2b2c22ab2ac2bc4，则|2.【答案】29已知点A(1,2,3)，B(2,1,2)，P(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当取最小值时，点Q的坐标为_. 【导学号：09390091】【解析】由题意可知，故可设Q(，2)，则62161062，当时，取得最小值，此时点Q的坐标为.【答案】10在空间中，已知平面过点A(3,0,0)和B(0,4,0)及z轴上一点C(0,0，a)(a0)，如果平面与平面xOy的夹角为45，则a_.【解析】平面xOy的法向量为n(0,0,1)，(3，4,0)，(3,0，a)，设平面的法向量为u(x，y，z)，则则3x4yaz，取z1，则u，故cosn，
5、u.又a0，a.【答案】11空间四边形ABCD中，连结AC，BD，若BCD是正三角形，且E为其中心，则的化简结果是_【解析】如图，延长DE交BC于F，易知F是BC中点，则0.【答案】012已知动点P是棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的体对角线BD1上一点，记.当APC为钝角时，则的取值范围为_【解析】建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则有A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，所以(1,1，1)，由题意，可设(，)，连结D1A，D1C，则(1,0，1)，(0,1，1)，所以(，)(1,0，1)(1，1)，(，)(0,1，1)(，1，1)，显然APC
6、不是平角，当APC为钝角时，cosAPCcos，0.由此得出.【答案】13在ABC中，若ACB90，BAC60，AB8，PC平面ABC，PC4，M是AB上一点，则PM的最小值为_【解析】建立如图所示的坐标系，则C(0,0,0)，A(4,0,0)，B(0,4，0)，P(0,0,4)，设M(x，y,0)，则(x4，y,0)，(4,4，0)，易知，即(4,4，0)(x4，y,0)，得xy40，所以y4x，(x，y，4)(x,4x，4)，|2x2(4x)2164(x3)228，0x4，当x3时，|min2.【答案】214如图1所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCOABCD，AC的中点E
7、与AB的中点F的距离为_图1【解析】由题图易知A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，A(a,0，a)F，E.EFa.【答案】a二、解答题(本大题共6小题，共90分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分14分)如图2，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AB1，AD2，AA13，BAD90，BAA1DAA160，求AC1的长图2【解】，|.AB1，AD2，AA13，BAD90，BAA1DAA160，90，60，|.16(本小题满分14分)如图3，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点求证：A1O平面GBD.图3【证明】设a
8、，b，c.则ab0，ac0，bc0.而()c(ab)，ba，()(ab)c，(ba)c(ba)(ab)(ba)cbca(b2a2)(|b|2|a|2)0.，A1OBD.同理可证.A1OOG.又OGBDO且A1O平面BDG，A1O平面GBD.17(本小题满分14分)如图4，正方形ABCD和四边形ACEF所在平面互相垂直，CEAC，EFAC，AB，CEEF1.图4(1)求证：AF平面BDE；(2)求证：CF平面BDE.【证明】(1)设AC与BD交于点G.EFAG，且EF1，AGAC1，四边形AGEF为平行四边形，AFEG.EG平面BDE，AF平面BDE，AF平面BDE.(2)连结FG，正方形ABC
9、D和四边形ACEF所在平面互相垂直，且CEAC，CE平面ABCD.如图，以C为原点，CD，CB，CE所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(，0)，B(0，0)，D(，0,0)，E(0,0,1)，F，(0，1)，(，0,1)，0110，1010，CFBE，CFDE.又BEDEE，CF平面BDE.18(本小题满分16分)在RtABC中，ACBC1，BCA90，现将ABC沿着与平面ABC垂直的方向平移到A1B1C1的位置，已知AA12，分别取A1B1，A1A的中点P，Q.(1)求的模；(2)求cos，cos，的值，并比较，与，的大小；(3)求证：AB1C1P.【解】
10、(1)以C为原点，建立空间直角坐标系，如图，则C(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0,1,0)，C1(0,0,2)，P，Q(1,0,1)，B1(0，1,2)，A1(1,0,2)，(1，1,1)，(0,1,2)，(1，1，2)，(1,1,2)，|.(2)0121，|，|，cos，.又0143，|，|CB1|，cos，.0，(3)证明：(1,1，2)0，即AB1C1P.19(本小题满分16分)如图5，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，PA底面ABCD，AC2，PA2，E是PC上的一点，PE2EC.图5(1)证明：PC平面BED；(2)设二面角APBC为90，求PD与平面PBC所成角的大
11、小. 【导学号：09390092】【解】如图，设ACBDO，以O为坐标原点，OC，OD所在直线分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系，则A(，0,0)，C(，0,0)，P(，0,2)设BD2a，则B(0，a,0)，D(0，a,0)(1)证明：(2，0，2)，(0,2a,0)由PE2EC，得E，则.所以(2，0，2)0，(2，0，2)(0,2a,0)0，即，.又因为BEBDB，所以PC平面BED.(2)设平面PAB的法向量n(x1，y1，z1)易得(0,0,2)，(，a,0)由得取x11，可得n.设平面PBC的法向量m(x2，y2，z2)易得(，a,0)，(2，0,2)由得取x21，可得m.因为二面
12、角APBC为90，所以mn0，即1100，解得a.所以(，2)，平面PBC的一个法向量为m(1，1，)，所以PD与平面PBC所成角的正弦值为，所以PD与平面PBC所成角的大小为.20(本小题满分16分)如图6，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1AD1，E为CD的中点图6(1)求证：B1EAD1；(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由(3)若二面角AB1EA1的大小为30，求AB的长【解】(1)证明：以A为原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图设ABa，则A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0，1,1)，E，B1(a,0,1)，故(0,1,1)，(a,0,1)，.011(1)10.B1EAD1.(2)假设在棱AA1上存在一点P(0,0，z0)，使得DP平面B1AE，此时(0，1，z0
