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1、 特殊的平行四边形知识点一：矩形的定义要点诠释：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。知识点二：矩形的性质要点诠释：矩形具有平行四边形所有的性质。此外，它还具有如下特殊性质： 1.矩形的四个角都是直角；2.矩形的对角线相等；推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。3.矩形是轴对称图形也是中心对称图形。知识点三：矩形的判定方法要点诠释：1. 用矩形的定义： 一个角是直角的平行四边形是矩形； 2.有三个角是直角的四边形是矩形；3.对角线相等的平行四边形是矩形；4.对角线互相平分且相等的四边形是矩形。知识点四：菱形的定义要点诠释：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.知识点五：菱形的性质要点诠释：菱
2、形具有平行四边形一切性质，此外，它还具有如下特殊性质：1.菱形的四条边相等。2.菱形的两条对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角。3.菱形是轴对称图形也是中心对称图形，两条对角线所在的直线是它的两条对称轴。知识点六：菱形的判定办法要点诠释：1.用菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；2.四条边都相等的四边形是菱形；3.对角线垂直的平行四边形是菱形；4.对角线互相垂直平分的四边形是菱形。知识点七：正方形的定义要点诠释：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。知识点八：正方形的性质要点诠释：1.正方形的四个角都是直角，四条边都相等；2.正方形的对角线相等，并且互相垂直平分
3、，每条对角线平分一组对角；3.正方形既是轴对称图形也是中心对称图形。知识点九：正方形的判定方法要点诠释：1.正方形的定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。2.有一组邻边相等的矩形是正方形；3.有一个角是直角的菱形是正方形.归纳整理，形成认知体系1 复习概念，理清关系2集合表示，突出关系 3性质判定，列表归纳平行四边形矩形菱形正方形性质边对边平行且相等对边平行且相等对边平行，四边相等对边平行，四边相等角对角相等四个角都是直角对角相等四个角都是直角对角线互相平分互相平分且相等互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角判定两组对边分别平行；
4、两组对边分别相等；一组对边平行且相等;两组对角分别相等；两条对角线互相平分.有三个角是直角;是平行四边形且有一个角是直角;是平行四边形且两条对角线相等.四边相等的四边形；是平行四边形且有一组邻边相等；是平行四边形且两条对角线互相垂直。是矩形，且有一组邻边相等；是菱形，且有一个角是直角。对称性只是中心对称图形既是轴对称图形，又是中心对称图形面积S= ahS=abS=注：d1,d2为菱形两条对角线的长度。S= a2类型一：矩形1如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，已知AC=6 cm，BOC=120求：（1）ACB的度数；（2）求AB、BC的长度思路点拨：本题是对矩形性质的考查（1）
5、要求ACB的度数，而已知BOC120，在BOC中，由矩形的性质，知OBOC，从而OBC=ACB由此可求出ACB（2）在RtACB中，对角线AC=6cm，第（1）问已求出ACB=30，因此AB即可求出然后利用勾股定理求出BC的长总结升华：矩形问题通常通过对角线将其转化为等腰三角形或直角三角形来解决举一反三：【变式1】已知ABCD的对角线AC，BD相交于O，ABO是等边三角形，AB4cm，求这个平行四边形的面积。思路点拨：（1）先判定ABCD为矩形。（2）求出RtABC的直角边BC的长度。（3）计算矩形ABCD的面积为ABBC解析：四边形ABCD是平行四边形。ABODCO又ABO是等边三角形 DC
6、O也是等边三角形，即AOBOCODO ACBD ABCD为矩形。AB4cm，ACAO+COAC8cm在RtABC中，由勾股定理得：BCcm矩形ABCD的面积为：ABBC16cm2【变式2】如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AEBD于E，则：（1）图中与BAE相等的角有_；（2）若AOB=60，则AB：BD_。图中DOC是_三角形（按边分）类型二：菱形2如图，BD是ABC中ABC的平分线，DE/BC交AB于E，DF/AB交BC于F.试判断四边形BFDE的形状并说明理由. 思路点拨: 此题条件中有角分线有平行线，一般会有等腰三角形存在.解析：DE/BC，DF/ABDE/BF，DF
7、/EB，2=3.四边形EBFD是平行四边形又BD平分ABC1=21=3 BE=ED四边形BFDE是菱形.总结升华：菱形的四条边都相等，对角线互相垂直且平分一组对角。在解决菱形的有关问题时，经常要用到菱形的这些特殊性质。举一反三：【变式1】已知如图，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F。试判断四边形AFCE的形状并说明理由. 【答案】： EF是AC的垂直平分线 AE=EC，1=2 平行四边形ABCD可得AE/FC 1=3 3=2 在直角三角形EOC和FOC中，OEC=OFC CE=CF AE=CF AE=FC且AE/FC 四边形AFCE是菱形【变式2】(贵州贵阳
8、)如图，在平行四边形ABCD中，分别为边的中点，连接（1）求证：（2）若，则四边形是什么特殊四边形？ 请证明你的结论解：（1）在平行四边形ABCD中，AC，ADCB，ABCD E，F分别为AB，CD的中点 AE=CF （2）若ADBD，则四边形BFDE是菱形 证明：， 是，且是斜边（或） 是的中点，由题意可知且， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形【变式3】已知如图，菱形ABCD中，E是BC上一点，AE、BD交于M，若AB=AE,EAD=2BAE，求证：AM=BE。【答案】设BAE为x度，EAD为2x度，由菱形ABCD可知AD/BC且BD平分ABC，则AEB=EAD=（2x），ABD=DBC=
9、x在三角形ABE中，x+2x+2x=180x=36ABM中，ABM=BAM=36 ， AM=BMEBM中，BME=BEM=72 ， BM=BE AM=BE类型三：正方形3.（黄冈中考）已知：如图，点是正方形的边上任意一点，过点作交的延长线于点。求证： 思路点拨：证明两条线段相等的方法有很多种，而本题中DE, DF分别在DAE与DCF中，结合正方形的性质，我们可以证明DAE与DCF全等，利用全等三角形的对应边相等来说明。举一反三：【变式1】（青岛市中考）已知：如图，在正方形ABCD中，G是CD上一点，延长BC到E，使CECG，连接BG并延长交DE于F（1）求证：BCGDCE； （2）将DCE绕点
10、D顺时针旋转90得到DAE，判断四边形EBGD是什么特殊四边形？并说明理由。【答案】（1）证明：四边形为正方形 BCCD，BCGDCE90 CGCE， BCGDCE（2）答：四边形EBGD是平行四边形 理由： DCE绕点D顺时针旋转90得到DAE CEAE CGCE CGAE ABCD，ABCD， BEDG，BEDG， 四边形EBGD是平行四边形 【变式2】如图B、C、E是同一直线上的三个点，四边形ABCD与四边形CEFG都是正方形，连接BG、DE.（1）观察猜想BG与DE之间的大小关系，并证明你的结论.（2）在图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，请指出，并说出旋转过程；若不
11、 存在，请说明理由.【答案】（1）BG=DE 四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形， GC=CE，BC=CD，BCG=DCE=90 BCGDCE BG=DE （2）存在. BCG和DCE BCG绕点C顺时针方向旋转90与DCE重合【变式3】如图2，在梯形纸片ABCD中，AD/BC，ADCD。将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在AD上的点处，折痕DE交BC于点E，连接。（1）求证：四边形是菱形（2）若BC=CD+AD，试判断四边形ABED的形状，并加以证明。解析：（1）根据题意可知CD=，=CDE，=CED。 因为AD/BC，所以=CED，所以CDE=CED, 所以CD=CE 同理=， 故CD=CE=， 所以四边形是菱形。（2）当BC=CD+AD时，四边形ABED为平行四边形。 证明：由（1）知CE=CD，而BC=CD+AD，则BE=AD，又因AD/BE。 所以四边形ABED为平行四边形。【变式4】如图3所示，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，对角线AC与BD相交于点O。若不添加辅助
