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1、初中数学方法及思想浅谈作者 尹永强 电话 【数学家G . 波利亚在怎样解题中说过：数学教学的目的在于培养学生的思维能力及思维品质。数学课的教学，是使学生获得基础知识和技能，从而形成解决问题的能力中，而数学思想的培养，直接影响了学生后续学习的质量和水准。下面，我对初中所涉及的几种基本数学思想及方法举例说明。一、 数形结合思想数形结合:就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题,它包含以形助数和以数解形两个方面例1、二元一次方程组的解的意义：二元一次方程组的解有三种情况： 无解；无数个解； 只有一个解。这三种情况可以转化为两条直线a1x+b1y+c1=0、a2x+b2y+c2=0的三种位置关系：
2、平行；重合； 相交。方程组的解转化为两条直线的交点。当a1：a2=b1：b2c1：c2时，两条直线的斜率相同，y轴上的截距不同。此时两条直线平行，无交点，因而方程组无解。当a1：a2=b1：b2=c1：c2时，两条直线的斜率相同，y轴上的截距相同。此时两条直线重合，有无数个公共点，因而方程组有无数个解。当a1：a2b1：b2时，两条直线的斜率不相同，两条直线相交，只有一个交点，因而方程组只有一个解。例：，方程组无解。两条直线2x+y+3=0、4x+2y+1=0的位置关系：平行。，方程组只有一个解。两条直线2x+y+1=0、x+2y=0的位置关系：相交。，方程组有无数个解。两条直线2x+4y=0
3、、x+2y=0的位置关系：重合。cb0ax例2、图形隐含条件：例：在数轴上的位置如图，化简：|a-b|-|b-c|+2|a+c|。解：b0,cc,ab,|c|a|a-b0,b-c0,a+c0)|a| = 0 ( a = 0 ) -a ( a0 )该教师讲授的绝对值的概念非但错误，而且也抹杀了学生的创新精神和探索精神。例2 甲、乙两人分别从相距30km的A、B两地同时相向而行，经过3h后相距3km，再经过2h，甲到B地所剩的路程是乙到A地所剩路程的2倍，求甲、乙两人的速度。解：（1）当3h后甲、乙两人未相遇时，设甲的速度为xkm/h，乙的速度为ykm/h，则，解得，（2）当3h后甲、乙两人已相遇
4、时，设甲的速度为xkm/h，乙的速度为ykm/h，则，解得，答：甲的速度为4Km/h，乙的速度为5Km/h 或甲的速度为16/3Km/h，乙的速度为17/3Km/h。三、 新思维思想考试中有种题形式多样，学生感到熟悉又易于理解，但又没接触类似基本知识，所以，它具有较强的探索性，求解过程反映了课程标准所倡导的数学活动方式观察、实验、猜测、推理等.因此既要重视基础知识的学习，又要加强此种题型的训练和研究，切实提高分析问题、解决问题的能力.例1、已知：，若 符合前面式子的规律， 则 a + b = 解析：观察已知的四个等式我们发现：等式的左边是一个整数与分数的和，且整数与分数的分子相同，分数的分母等
5、于整数的平方减1，等式的右边是左边的整数的平方与左边的分数的积，从上述规律可以得到式子中，所以.四、 整体思想整体思想方法是指用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握已知和所求之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理来解决问题的方法.利用整体思想往往能够避免局部思考带来的困惑.例1 解方程组分析：如果选用代入法解答，比如由得，x= ,再代入，得2003（）+2002y=2004解答起来十分麻烦. 如果选用加减法，比如，2003- 2002，可以消去x，得20032003y-20022002y=20012003- 20042002形式也很复杂，不易求解. 注意到两个方程的系数正好对调
6、这一特征，先将两方程相加，+，得4005x + 4005y = 4005化简，得 x+y=1 再将两方程相减， - ，得 -x + y = - 3即 x-y=3 由、组成方程组，得解这个方程组得.例2 如图，矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和为86cm，一条对角线长是13cm，那么矩形的面积是多少？ABCDO分析 本题要求矩形的面积，根据面积公式S=ABBC,只需求出ABBC即可。解 根据题意，有AB+BC+CD+DA=86-2（AC+BD）=86-413=34.AB+BC=17.两边平方，得AB+2ABBC+BC=289,又AB+BC=AC=169,两式相减
7、，得2ABBC=120,ABBC=60（）.五、 化归思想所谓化归思想，就是指对于那些数学问题难以求解时，我们可以根据问题的性质、条件和关系，采取适当的方法把较困难的问题转化为较简单的或早已熟悉的问题来进行解答。例1 如图，“回”字形的道路宽为1米，整个“回”字形的长为8米，宽为7米，一个人从入口点A沿着道路中央走到终点B，他共走了 .8米7米BA思路和解答 假设拖把的宽度是1米，某服务员拿着拖把沿着小路向前推，那人走遍小路相当于把整块场地拖完了，而拖1的场地相当于那人向前走了1米，整块场地面积是78=56（），所以那人从A走到B共走了56米，这样我们就把求线段长度问题化归成求面积问题了。下面
8、是一个化几何问题为代数问题的例题例2 如图，是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图，由6个颜色不同的正方形组成，设中间最小一个正方形边长为1，则这个矩形色块图的面积为 .思路和解答 设次小正方形边长为x，则其余正方形的边长依次为1+x,2+x,3+x,根据题意得：（2+x+3+x）（3+x+x）-【（3+x）+（2+x）+（1+x）+2x】=1，解得x=4.所以矩形色块图的面积为1311=143.注：如果对待这个问题时只考虑几何的面积求法，很容易陷入分别求边长的死胡同，从而一筹莫展，这里采用代数考虑，将问题用一个方程表达出来，进而求出次小正方形的边长，进而求得解。这里又包含了整体思想、方程思想.六
9、 换元思想例1分解因式（x2-3x+2）(x2-3x-4)-72分析：注意题目的形式特征，把某一部分（比如x2-3x+2）看作一个整体，运用整体换元，把原方程化为形如x2+px+q的二次三项式，进一步用十字相乘法，最后注意分解要彻底。设x2-3x+2=t 则（x2-3x+2）(x2-3x-4)-72=t（t-6）-72=t-6t-72=（t+6）（t-12）= (x2-3x+2+6)（x2-3x+2-12）=（x2-3x+8）（x2-3x-10）=（x2-3x+8）（x-5）（x+2）. 如果把（x2-3x+2）与(x2-3x-4)相乘，将得到一个四次多项式，这时再分解就困难了。例2 解方程3x2-6x-2+4=0分析：如果先移项，两边平方，方程变形为一个四次方程，题目就难解了注意到，3（x2-2x），设为y,原方程变形为3y2-2y-8=0,再从中解得y回代得x。
