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1、Sobolev空间一、定义：(一)弱导数的定义：设，对于给定的重指标，称为的阶弱导数，如果存在函数，使得对于成立.并记.(二)Sobolev空间的定义：对p1,m是非负整数，定义Sobolev空间 .在中引入范数下面证明按范数是赋范空间.(i)非负性：当时，任意的，则，且对任意均成立；当时，任意的，则，且对任意均成立；(ii)齐次性：当时，任意，有；当时，任意，有；(iii)三角不等式性：当时，任意，有；当时，任意，有.所以，Sobolev空间是一个赋范空间. 二、Sobolev空间的主要性质： （一）完备性：是Banach空间. 证明 只要证明是完备的.任取中的Cauchy序列，则.而 .即
2、是中的Cauch列，由的完备性知，存在，使得.在弱收敛的意义下，即对任意，有.特别对任意，有.这是因为 (应用Holder不等式）令得.其中.在利用弱导数的定义得，对于任意时有 .即当时，在内弱收敛于，记成 由极限的唯一性，得 且 .这就说明，若是中的Cauchy序列，则必存在，使得 .即，是完备的.从而是Banach空间. （二）可分性：当时，是可分的. 证明 只要证明当时，是可分的，也就是说中存在稠密的可列集.事实上，对每个正整数，作.设表示所有有理数多项式全体，则在中稠密. 事实上，对，任意的，由在中稠密知，存在，使得.另外容易看出，. 故属于某个，利用weierstrass定理知，在中
3、稠密，也就是说，存在，使得，.因为有界，故有 故.其中，.这就说明在中稠密，且是一个可列集，因而是可列的稠密集，即是可分的，从而也是可分的.(三) 自反性:设，则是自反空间. 三、Sobolev空间的嵌入定理：(一)设具有锥性质表示与中一上维平面的交集，为正整数，为非负整数，则有下列嵌入关系情形A 假设且则，.情形B 假设，则对，有，.特别，.若，则，这时当时，上两式仍成立.情形C 假设，则.(二) 设具有强局部Lipschitz性质情形 假设，则，.情形 假设，则，.若，则上式对也成立. 四、建立Sobolev空间的意义：随着科技的不断发展，在工程中提出了许多形式各样的偏微分方程，其中有相当
4、一部分在古典理论上是不存在解的. 但实际背景表明，它们是存在唯一解的，这时，偏微分广义解的提出，很大程度上解决了这一数学与实际相冲突的问题. 广义解的另一优点是，它把偏微分方程的解的唯一性问题，分解成某个Sobolev空间中广义解的存在与广义解的正则性两个问题来研究，解决了一些新的偏微分方程定解问题，特别是在非线性偏微分方程中，由于直接寻找古典解是相当困难的，而寻找弱解则相对容易，进而确定弱解的正则性后就获得古典解.在偏微分方程的数值计算中，现在比较流行的方法，如有限元法和有限体积法，它们的理论基础就是广义函数与Sobolev空间. 它们都是利用守恒原理，在偏微分方程两边与某个区域进行积分，再进行一定的简化，将其等价的化为一个变分问题，再在某个Sobolev空间中求解这个变分问题，其实我们求出来的变分问题的解就是其对应的偏微分方程的古典解. 综上所述，广义微商及Sobolev空间的建立，很大程度上促进了偏微分方程理论及其数值解理论的发展，在偏微分方程发展中揭开了新的一页.1
