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1、古代的数学迷宫图形数古希腊人曾把数看作是位置不定的点的集合。甚至毕达哥拉斯还说过“数是万物之源”的那样毫无道理的话。这样，就不得不说，认为宇宙是由点构成的所谓原子论，也可以归结到来源于“点=数的集合”的古希腊思想。 若把数当作是点的集合，那么，以多少个点表示数的问题，最终将变成可以看得见的图形数是怎样表示出来的问题。例如，数3可以用3个点来表示，也可用等分成三个单位长度来表示。如图11。然而古希腊人更关心的是什么数能够排列成正三角形、正方形等等美丽的图形。毕达哥拉斯曾用小石头，如图12那样，从上往下1个、2个、3个、4个地依次摆成正三角形，他指着小石头叫别人数。当那个人数完1、2、3、4时，毕
2、达哥拉斯却说：“好啦，你说到的4，我看实际是10。”毕达哥拉斯把10看成是一个神圣不可侵犯的数。他认为1表示点，2表示线，3表示面（三角形），4表示体（三角锥），总括起来这个美丽的正三角形数10，就可以表现宇宙。像10这样可以排列出美丽的正三角形的数是很多的，这些数都可以叫做三角数（如图13）。设以Tn来表示第n个三角数，则Tn就等于1、2、3n个自然数的和，把它列成数学式就是：Tn=123n能排列出正方形的数叫做四角数（如图14），四角数构成了平方数。若以Sn表示第n个四角数，则数学式就是：Sn=n2但是我们从图1-5可以看出，四角数是由1开始只把奇数加起来构成的。用数学式表示就是：Sn=1
3、35（2n-1）=n2与四角数相对应，若从2开始，只把偶数加起来就变成所谓的长方数（如图16），长方数也叫矩形数。以Rn表示第n个长方数，它的数学式就是：Rn=242n=n（n1）在作四角数和长方数时，可以用和角尺一样的图形。这种角尺状图形，数学上叫磬折形，其中表示的数叫磬折形数。两个相邻磬折形数之差，实际上是数列的级差。在三角数Tn、四角数Sn、长方数Rn之间存在着各种各样的关系。如图17所示，两个三角数的和就等于一个长方数。2Tn=n（n1）从而，下式是可以成立的。 假如我们仔细地观察一下下面的两个数列，不难发现，相邻的两个三角数之和是等于一个四角数的。这种关系，如图18，用数学式表示，则
4、可为：Tn-1Tn=Sn=n2让我们再看看图19，图中用符号表示的数是S5；用表示的数是S6，由图可以看出4T51=S5S6从而，一般可以认为下式是成立的。4Tn1=SnSn1如果把含有符号的全体考虑进去的话，则很清楚地看出下式也是成立的。8Tn1=S2n1希腊人还研究过如图110所示的五角数及图111所示的六角数。他们把五角数排列成1、5、12、22、35把六角数排列成1、6、15、28、45设Pn表示第n个五角数；Hn表示第n个六角数。我们只要稍微观察一下这两个图，就不难看出，以下的数学公式成立。Pn=SnTn-1，Hn=2Sn-n假如你观察不出来，你可以把五角数中的那部分看成是Sn，把那
5、部分看成是Tn-1，两者相加不就是Pn了吗；另外，可以把六角数中的部分数两遍，于是就可以把全体看成两个四角数，然后再减去多数一遍的部分不就成了Hn了吗。下面让我们看看求三角数T1、T2Tn之和的情况吧。为了醒目起见，我们把T1、T2、T3Tn先各乘上3，然后把3T1、3T2、3T33Tn排列成如图112所示的样子，使之成为左右横向是Tn行；上下纵向是n2列的长方形。于是由3（T1+T2+Tn）=（n+2）Tn可以得到下边比较易看的关系式：然后，我们还可以看看求四角数S1、S2Sn之和的情况。因为每个四角数，都是由1起，依次只把奇数加起来的和表示的，所以S1、S2Sn的和就可以排列出如图113所
6、示的摩天楼样形状。图中表示奇数编号的四角数S1、S3、S5表示偶数编号的四角数S2、S4若在摩天楼的两侧各加上S1、S2Sn的话，那么，从上到下的Tn行与从左到右的2n1列所形成的长方形就可以表示3S1、3S23Sn之和。因而3（S1S2Sn）=（2n1）Tn故可将上式变成也就是可以得到下述的公式：13世纪中国数学家杨辉用堆积小立方体的方法证明了上述公式。他把12个、22个、32个n2个小立方体堆积成A、B、C三个阶梯状的四角锥形。把这三个四角锥粘结在一块，如图115所示，在C上就会凸出来Tn个小立方体，如把这些凸出的小立方体切去一半放在A上，就可以形成一个底面是由作图得出的结果，所以也得到以
7、下公式：现在看看关于13、23n3的求和公式。让我们首先参看图116左上角的那个最小的中间有点的小正方形，我们把它看成是1的正方形，设它各边长为一单位，然后把它相邻的两边各延长2单位，再作一个每边长为12=3的正方形。这样在原来1的正方形右边添加的磬折形数就是2个22的正方形，也就是222=23。为什么可以这样说呢？我们只要注意到图中打有双重斜线的地方，正好和空白的地方相抵消，于是就可以说添加的就是两个边长各是2的正方形，其中一个打右斜线，另一个打左斜线。然后在相邻的两个边上再延长3个单位长，作一个每边长为123=6的正方形。于是，添加的磬折形数就是33（3个32）。进一步，相邻两边再延长4个
8、单位长，又出现了空白抵消掉双斜线部分，添加了4个42，磬折形数成为43。这样作出的正方形，因为每边都是1234单位长度，所以就成为：13233343=（1234）2其一般通式，可以证明为：1323n3=（123n）2希腊人不仅仅研究了把点排列在平面上的多角数，而且还研究了把点排列在空间的锥形数。如果把点排列成三角锥的形状，它的样子就如图117所示。其第n个三角锥数是再看看排列成四角锥形状的图形，就可以得出其第n个四角锥数应是：古希腊人不但由一个顶点引出射线，并在射线上取点作出多角数及锥形状，而且还由图形的中心点引出射线，依靠射线作出了有心多角形。其有心三角形，如图119所示是：1、4、10、1
9、9、31、46图中三条实线，每两条线间都有三个点，连同线上的点，排列成一个三角数。其中中心点是三个三角数共有的，实线上的点是相邻两个三角数共有的。因此第n个有心三角数的通式应为：有心四角数如图120所示为：1、5、13、25、41同理，第n个有心四角数，可以用下式表示：4Tn-11=2n（n-1）1前边的图19也是一个有心四角数。你不妨翻开前边看看，它对你理解有心四角数是会有帮助的。此外，还可以按上述方法，进一步研究有心五角数及有心六角数等等。那么，第n个有心五角数应该是由5Tn-11给出，而第n个有心六角数则是由6Tn-11给出。如果在第n个有心六角数外边，再附加上6个第n-1号的三角数，那
10、就可以作出一个星形六角数（如图122所示），其第n个星形六角数，可以由12Tn-11给出。我们从卡道纳所编的数学游戏中得知：可以构成平方数的星形六角数有一些性质是很有意思的。例如，若令第n个星形六角数6n（n-1）1等于一个平方数m2，即：m2=6n（n-1）1然后将上式的左边乘3再加2，其值就可以表示成三个连续自然数的平方和，同时还可以表示成两个连续自然数的平方和，用数学式表示就是：3m22=（m-1）2m2（m1）2=（3n-2）2（3n-1）2不过不是所有的星形六角数，都可以有上述的可构成平方数的关系，其中比1大的最小值是121。此时，n=5、m=11，代入上式计算为：365=102112122=132142其次，能构成平方数的星形六角数是11881。此时，n=45、m=109，代入上式为：35645=108210921102=13321342
