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1、无穷小量及其应用姓名:储敏学号:200825020306指导老师:张德然【摘要】无穷小量思想在数学史上（微积分和数学分析）的早期发展中起着重要作用，也是对 于理解微积分学的关键性概念.对于无穷小量的再认识以及在一种严格的基础上重新论述， 是现今数学领域的一个引人注意的课题.无穷小量是高等数学中的一个重要概念，它在高等 数学中占有很高的地位当运算从有限变到无限时，很多在有限运算中成立的结论在无限运 算中却不成立无穷个无穷小量的乘积不一定是无穷小就说明了这一点对于这个问题，很 多人做了研究，并举出了一些例子.但这些例子并没有概括无穷个无穷小乘积的所有情形本文先阐明了无穷小量的历史发展过程，理清无穷
2、小量的概念与性质.还有关无穷小量 与极限的联系.从无穷小量的代数和与积两个方面对无穷小量的无限次运算进行进一步完善 的探讨.给出了无限个无穷小量代数和与积仍为无穷小量的条件.【关键词】无穷小量；极限；无限次代数和；无限乘积一 无穷小量的发展史人们对无穷小量的认识已经经历了几千年漫长而曲折的过程，正如H ilbert所指出的:“无 穷!还没有别的问题如此深地打动人们的心灵；也没有别的想法如此有效地激发人的智慧； 更没有别的概念比无穷这个概念更需要澄清.1他还指出“数学是处理无穷的科学”数学史上所谓3次危机都与无穷有关，它在本质上 源于人们对无穷的认识不断深入的过程中所引起的认识上的困难我们可以把
3、到目前为止人 们对无穷小的认识大体上分为以下5个阶段2第一，对无穷小认识的初级阶段是早在公元前5世纪，古希腊毕达哥拉斯学派为了解决 不可公度的问题，提出了“原子论”作为一种非常小的度量单位此后，无穷小伴着古希腊 的“穷竭法”，卡瓦列利的“不可分量原理”，促使微积分方法的萌芽和发展在我国，则有 战国时期(公元前446-256年)的分杵原理，即惠施提出的“一尺之杵，日取其半，万世不竭” 等第二阶段是以微积分的诞生为标志，对无穷小量的认识经历了三百年左右的曲折认识， 到19世纪才将无穷小量作为其极限为零的变量使用这是属于潜无穷的认识阶段承认潜在 可实现性抽象在逻辑上可以导出数学归纳法原理第三， 19
4、世纪70年代集合论的建立，使人们对无穷小量的认识进入到实无穷阶段实无 穷抽象作为一种深远的理想化所生成客体的“现实性”并不是直接的.在逻辑上，承认实无 穷抽象导致承认排中律而把它作为一条逻辑原理第四， 20世纪60年代的非标准分析将实数域扩大到超实数域，其中每一个通常的实数看 成是超实数的标准部分，它的周围聚集着无穷小邻域即单子，对单子结构的分析，是认识无 穷小的一个本质的进步.但这种认识仍有其时代的局限性.例如Robinson仅从数理逻辑的角 度来认识无穷小，并且用“互补原则”来看待无集集合等事实上，无穷小世界并不满足因 果律.第五， 20世纪80年代兴起的“超弦”理论，为无穷小理论提供了新
5、的模型.20世纪现代 数学的发展，促使人们逐步认识到实数集合有离散性和连续性两方面.每个实数和数轴上唯 一的点成一一对应，实数集合从代数的角度看，它呈现出群、环、域等离散性的侧面，而从 拓扑的角度看，它是局部列紧的，又呈现出连续性的一面；实数集的无穷性看成潜无穷时， 就要研究实数形成过程的一般性质，例如要用有理数列来逼近无理数；而看成实无穷时则是 将实数集合当作一个数学客体来研究.超弦理论的基本思路是将基本粒子作为它的一种泛函 空间来研究，而不再像传统的观点那样将基本粒子作为一个质点(几何点)来看待.二无穷小量的概念及基本性质2.1 无穷小量的概念1(-1) nI.在收敛数列中，我们称极限为0
6、的数列为无穷小量，例如数列,都是无穷小量.nn 2 +1要注意,无穷小量是一个变量,而不是一个非常小的量.32设f在某U0(x )内有定义若0lim f (x) = 0,XT X。则称f为当X T X。时的无穷小量.3在柯西借助于严格的极限理论，明确指出了无穷小量是以0为极限的变量其本质是：无 穷小量是一个变量，它在自己的变化过程中，就其绝对值而言，可以小于任何给定的正数e, 或者说它可以无限地接近于0.5综上： 极限为零的变量称为无穷小量(简称无穷小).lim x = 0,nnslim f (x) = 0, lim f ( x) = 0, lim f ( x) = 0x_x0x x0 -li
7、m f ( x) = 0, lim f (x) = 0, lim f ( x) = 0 .x T8xT+wxTg4. 注意：(1) 这里指极限，包括数列极限和六种形式的函数极限；(2) 无穷小量是相对某个极限过程而言；(3) 无穷小量是极限为零的变量，而不是绝对值很小的数；(4) 数0可视为无穷小量，但无穷小量不一定是0.2.2 无穷小量基本性质由无穷小量的定义我们可以立刻推得如下性质6性质1 在自变量的同一变化过程中,两个无穷小量的代数和仍是无穷小量. 证明：设a及卩是当xtw时的两个无穷小量,Ve 0,3N 0,N 0,使得12当|x| 化时恒有|竹时恒有|卩| N时,恒有|a 土卩|牛|
8、+|卩| 2 + = e,，.a B t 0 (n T w)性质 2 有界变量与无穷小量的乘积是无穷小量. 证明：设函数u(x)在0 |x x I 0,使得u(x)| 0,35 0,使得当0 |x x |5时,使得当0 |x x |5时 恒有|a| M.|u a| = |u| |a|M .寻=e,当x T x时,u-a为无穷小.性质 3 有限个无穷小量的乘积仍是无穷小量. 推论推论1 有限个无穷小量的代数和仍为无穷小量.推论2 常量与无穷小的乘积是无穷小.推论3 有限个无穷小量的乘积也是无穷小量.推论4 无穷小以极限不为零的变量除量，其商仍是无穷小.三无穷小量与极限的关系(一) 无穷小量与极限
9、关系：limf (x)二 A o f (x)二 A + a (x)，其中 lima (x)二 0x Tax Ta(二) 在同一极限过程中，若aa 1, BBi，贝yaa 1lim = lim(三) 在同一限过程中，若aa 1，贝ylim aB = lima1B四 洛毕达法贝若函数f和g满足：1 lim f = lim g = 0 ；x TaxTa2在点a的某空心邻域内两者都可导，且g的导数不为0；f3 lim = A ( A可为实数，也可为g或g )x Ta g f f则lim = lim = A.x Ta g x Ta g证明:补充定义f (a) = g(a) = 0，使得f与g在点a处连续
10、，任取xeU0(a)，在区间a,x或L,a上应用柯西中值定理，有f(Jf(=厶缪，即g (x) - g (a) g 雀)(1+ sin 2 x 2) x2 一 e 2/ 小、小lim= a (a 丰 0), na = 2，当 x T a 时，也有 st a，故得r f (x)f()f(x)人lim = lim = lim = Ax T a g(x)xTa g雀) xTa g ( x )五 无穷小量在极限中的应用在对无穷小量的概念，性质以及对无穷小与极限联系理解掌握的基础上，下面我们主要通 过具体的例子来进一步了解无穷小在极限中的一些应用，从而深刻理解无穷小在解决求极 限问题中的灵活作用.例题(
11、一)求下列极限f ( x )cos x + 1( )11 limx= Um!凹=-1xT0x 2x T0 x32x x 1limxT1 x ln x解：当 x T1 时，t = x ln x T 0，于是 xx 1 = ex in x 1 = et 1 t = x ln x,用等价无穷 小因子替换得x ln x=lim = 1.xT1 xln x2 limln(x2 - 2x + 2)xT1f (x)f (x)解：利用等价无穷小因子替换，当ln(1+ cos x + 1)COS x + l,x时,xxln(x2 2x + 2) (x 1)2,1-( x -1)2 1 1( x 1)2,所以原式
12、=lim 1x 八 3( 1)2=3f ( x )丄3 设lim(cos x +)x2 = e-1，则当 x T1 时，f (x)是x 的(c).x T 0xA等价无穷小B二阶无穷小C三阶无穷小D四阶无穷小f (x)丄ln(cos x +)分析：有题设 lim(cos x +)x2 = e1 n limx = 1,x T0xx T0x 2f (x)、 “f (x) p、f (x).当 x T 0 时，ln(cos x +) = ln(1+ cos x + 1)cos x + 1 ,xxxf ( x)ln(cos x +)cos x +从而 limx 二 limxt0x2xt0cos x - 1
13、由于limxt0x 2x t 0 ),因此选 C12，故可知f (x) -1v /COS x -1 f (x)、1=lim(+) = -1,xt0x2x32，即f (x)是x的三阶无穷小xx 2limf(x)xt0 x34求 lim(Sin) Uxt0 xsinx解：由于lim -Um = g ,x t0 x 2属于型. 1sin x - x x3,6“sin x、丄所以hm() x 2x t 0 x=lim(1+ Sin x - xxt0x1丄-6 x 3)x2 = lim(1+6xt01丄-6 x3丄)x2 lim(1+6)x2 = lim(1+xxt0x tOx t0 x16e215设l
14、im a主0,-2e2，求a及n的值n(n + 2) xtO xn-2ln(1+sin 2 x2 )ln(1+sin 2 x2 )(1+ sin 2x2) x2 e 2ex2一 e 2ex2-2 一 1解：lim= lim= e 2 limxt0x nxt0xnxt0x nln(1+ sin 2 x 2)“x2“ ln(1+ sin 2 x 2) 一 2 x 2=e 2 limx= e 2 lim4x cos2x24 x二 e 2 lim1 + sin2x2 xt0(n+ 2)xn+1xt0xnxt0xn+ 24e2cos 2x2 一 (1+ sin 2x2)1limn+2 xt0xn1+sin2x24e2 “-4x cos 2x2 一 4x sin 2x2limn + 2 xtOnxn-1-16e2 “ cos 2x2 + sin 2x2-16e2 “1门lim=lim =
