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1、半角旋转问题几何变换中的半角旋转问题例题：已知： ABC是等腰直角三角形，/ ACB = 90, M , N为斜边AB上两点，如果/ MCN = 45 .求证：AM 2+ BN2= MN2变式1:由此问题可以产生如下问题 ABC是等腰直角三角形，/ ACB = 90, M , N为斜边AB上两点，满足AM2+ BN2= MN2.求/ MCN 的度数.是上面例2的逆问题，建议利用图形的旋转.变式2:正方形ABCD中，边长为4,点E在射线BC上，且CE=2,射线AM交射线BD于N点，且/ EAN=45。，贝BN的长为_3 v2或5v2或v2方法1:图1:正方形的边长为4, BD=4 v2 , AE
2、=2 v5 ,由公AOD BOE,相似比为2: 1,则 BO=g，设 ON=x , DN=8也-x,由旋转得：OB2+DN2=ON2, a x=3图2图3方法同上方法2:用旋转相似来解变式3:如图1,在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形4 ABC和公AFG摆放在 一 起，A为公共顶点，/ BACM AGF=90，它们的斜边长为2,若A ABC固定不动， AFG绕点A旋转，AF,AG与边BC的交点分别为 D E （点D不与点B重合，点E不 与点C重合），设BE=m ,CD=n.（1） 求m与n的函数关系式，直接写出自变量 n的取值范围；（2） 以公ABC的斜边BC所在直线为x轴，BC边上的高
3、所在直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图2）。在边BC上找一点D,使BD=CE ,求出D点的 坐 标，并通过计算验证 BD2+CE2=DE2 ;在旋转过程中，（2）中的等量关系BD2+CE2=DE2是否始终成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由。4F学生卷例题：已知： ABC是等腰直角三角形, 点，如果/ MCN = 45 .求证：AM 2+ BN2 = MN2/ ACB = 90, M , N为斜边AB上两变式1：已知： ABC是等腰直角三角形, 满足 AM 2+ BN2= MN2.求/ MCN的度数./ ACB = 90, M , N为斜边AB上两点,变式2:已知：正方形ABCD中，边
4、长为4,点E在射线BC上，且CE=2,射线AM交, 则BN长长为一射线BD于N点，且/ EAN=45变式3:如图1,在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形4ABC和A AFG摆放在一起，A为公共顶点，/ BACM AGF=90 ,它们的斜边长为2,若公ABC固定不动， AFG绕点A旋转，AF,AG与边BC的交点分别为 D E（点D不与点B重合，点E 不与点C重合），设BE=m ,CD=n.（4）求m与n的函数关系式，直接写出自变量 n的取值范围；（5）以公ABC的斜边BC所在直线为x轴，BC边上的高所在直线为y轴，建立平面 直角坐标系（如图2）。在边BC上找一点D,使BD=CE ,求出D点的
5、 坐标，并 通过计算验证 BD2+CE2=DE2 ;在旋转过程中，（2）中的等量关系BD2+CE2=DE2是否始终成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由。1.如图正方形ABCD中，以A为顶点做/ PAQ=45 , AP , AQ 分别交直线 BC, CD 于 E, F。（1） 求证： CEF的面积=正方形X /LABCD的面积（或者问 AC, CE, CF三者的数 量关系）(2)把/ PAQ绕点A旋转到如图所示的位 置 时，设此时AQ的反向延长线交直线 CD于F,(1)中的结论是否还成立，如果成立，请证 明你的结论，如果不成立，试说明理由。(3)在(2)的条件下，若设 AQ交直线BC于G,若BG=3 BE=2求EF的长。(提示在 2页)+Q已知正方形ABCD , 一等腰直角三角板的一个 锐角顶角与A点重合，将此三角板绕 A点 旋转 时，两边分别交直线 BC, CD于M, N(1)当M, N分别在边BC, CD上时，如图1,求证：BM+DN=MN(2) 当M , N分别在边BC, CD所在的直线 上 (如图2, 3)时，线段BM , MN之间又有怎样的 数量关系，请直接写出结论。(3) 在图中 作直线BD交直线AM,AN于P,Q两 点若 MN=10,CM=8,求AP的长.
