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1、第七章 机械能一、基本概念1、做功的两个必备因素是力和在力方向上的位移而往往某些力与物体的位移不在同 一直线上，这时应注意这些力在位移方向上有无分力，确定这些力是否做功2、应用公式 Wscos计算时，应明确是哪个力或哪些力做功、做什么功，同时还应 注意：(1)必须是整个过程中大小、方向均不变的恒力，与物体运动轨迹和性质无关当物体 做曲线运动而力的方向总在物体速度的方向上，大小不变，式中应为0，而 s 是物体通过 的路程(2)公式中是、s 之间夹角，在具体问题中可灵活应用矢量的分解；一般来说，物体 作直线运动时，可将沿 s 方向分解；物体作曲线运动时，应将 s 沿方向分解，(3)功是标量，但有正
2、负，其正负特性由与 s 的夹角的取值范围反映出来但必须注 意，功的正负不表示方向，也不表示大小，其意义是表示物体与外界的能量转换(4)本公式只是计算功的一种方法，今后还会学到计算功的另外一些方法，尤其是变力 做功问题，决不能用本公式计算，那时应灵活巧妙地应用不同方法，思维不能僵化3、公式 P=W/t 求得的是功率的平均值。P=vcos求得的是功率的瞬时值。当物体做匀 速运动时，平均值与瞬时值相等。4、Pvcos中的为与 v 的夹角，计算时一般情况下当物体做直线运动时，可将沿v 方向与垂直 v 方向上分解，若物体作曲线运动时可将 v 沿及垂直的两个方向分解5、PW/t 提供了机械以额定功率做功而
3、物体受变力作用时计算功的一种方法6、功和能的关系应从以下方面理解：不论什么形式的能，只要能量发生了转化，则一 定有力做功；能量转化了多少，力就做了多少功反之，只要有力做功，则一定发生了能量 转化；力做了多少功，能量就转化了多少所以功是能量转化的量度，但决不是能的量度7、功与能是不同的概念，功是一个过程的量，而能是状态量。正是力在过程中做了功， 才使始末状态的能量不同，即能量的转化说功转化为能是错误的8、“运动的物体具有的能叫动能”这句话是错误的因为运动的物体除了动能外还有势 能9、关于重力势能，应明确：(1)重力势能的系统性，即重力势能是物体和地球共有的， 而不是物体独有的，“物体的重力势能”
4、是一种不够严谨的习惯说法(2)重力势能的相对性， 势能的量值与零势能参考平面的选取有关E =mgh 中的 h 是物体到参考平面的竖直高度通p常取地面为参考平面解题时也可视问题的方便随意选取参考平面(3)重力势能的变化与 参考平面的选取无关，只与物体的始末位置有关10、重力做功的特点： (1)与路径无关，只由重力和物体始、末位置高度差决定 (2)重力做功一定等于重力势能的改变即 W =E -E ，当重力做正功时，重力势能减少；当重G p1 p2力做负功时，重力势能增加。11、关于动能定理，要注意动能定理的表达式的等号左边是且仅是所有外力的功，等号 右边是且仅是物体动能的改变量。在列动能定理方程时
5、，不要考虑势能及势能的变化。12、关于机械能守恒定律应明确：(1)定律成立的条件是“只有重力做功或弹力做功”，不是“只有重力作用或弹力作用”有 其它力作用，但其它力不做功，而只有重力做功或弹力做功时，机械能仍守恒(2)定律表示的是任一时刻、任一状态下物体机械能总量保持不变，故可以在整个过程 中任取两个状态写出方程求解(3)定律的表达式除了写成 E +E =E +E 外，还可写成E =-E ，即在任一机械能守恒p1 p2 k1 k2 p k2 22 2 2的过程中，重力势能的减少(增加)一定等于动能的增加(减少)。利用E =-E 进行计算有p k时会显得简明13、应用机械能守恒定律解题时，只要考
6、虑始末态下的机械能，无须顾及中间过程运动 情况的细节。因此，对于运动过程复杂、受变力作用、作曲线运动等不能直接应用牛顿运动 定律处理的问题，利用机械能守恒律会带来方便。14、应用机械能守恒定律解题的一般步骤：(1)认真审题，确定研究对象；(2)对研究对象进行受力分析和运动过程、状态的分析，弄清整个过程中各力做功的情 况，确认是否符合机械能守恒的条件；(3)确定一个过程、两个状态(始末)，选取零势能参考平面，确定始末状态的动能、势 能值或这个过程中E 和E 的值；p k(4)利用机械能守恒定律列方程，必要时还要根据其它力学知识列出联立方程；(5)统一单位求解解题的关键是准确找出始、末状态的动能和
7、势能的值，尤其是势能值的确定 二、恒力做功与变力做功问题1、恒力做功求解恒力功的方法一般是用功的定义式 W=scos，需要特别注意：（1）位移 s 的含义：是力直接作用的物体对地的位移。当力在物体上的作用位置不变 时，s 就是力作用的那个质点的位移；当力在物体上的作用位置不断改变时，s 应是物体的 位移。如：一个不能视为质点的物体受到滑动摩擦力作用时，摩擦力的作用点时时变化，此 时 s 就不是摩擦力作用点的位移，而是物体的位移。例 如图示，质量为 m、初速为 v 的小木块，在桌面上0滑动。动摩擦因数为，求木块停止滑动前摩擦力对木块和桌面所做的功。解 对木块：W =-s=-mgv1 02/（2g
8、）=-mv 20/2对桌面：W =02例 如图示，质量为 m、初速为 v 的小木0块，在一块质量为 M 的木板上滑动，板放在光滑水平桌面上，求木块和板相对静止前，摩擦力对木块和木板所做的功。解 据动量守恒 mv =（m+M）v 得0W =-s =-mgM（M+2m）v /（M+m） 2g=-Mm(M+2m)v 1 2 0 02/2（M+m）2W =s =Mm v /2（M+m） g2 1 0（2）一对相互作用力所做功之和不一定为零如：人竖直向上跳起，地面对人的作用力对人做正功，人对地而不做功（地球位移视为 零），总功为正；一对静摩擦力，位移值一定相同，总功必为零；一对滑动摩擦力，做功时必然发热
9、，系统内能增加，总功必为负。转化为内能值为DE = fsk相2、判断做功正负的方法（1）从力与位移或速度方向的关系进行判断。如：“子弹打木块”问题，摩擦力对子弹做负功，对木块做正功。例 如图所示，质量为 M 的木块静止在光滑水平面上，质量为 m 的子弹以水平速度v0射0 0 A B 中与木块一起以速度 v 运动，已知当子弹相对木块静止时，木块前进距离为L，子弹进入木 块的深度为 d，若木块对子弹的阻力恒定，那么下列关系式中正确的是（ ）、FL =1 1 Mv 2 B、 Fd = Mv2 22C、Fd =1 1 1 1 mv 2 - ( M +m )v 2 D、 F ( L +d ) = mv
10、2 - mv2 2 2 22（2）从能量的增减进行判断例 如图示，在质量不计、长度为 L 的直杆一端和中点分别固定一个质量都是 m 的小球 和 B，试判断当杆从水平位置无摩擦地转到竖直位置的过程中，杆对、B 球做功的正负。解 、B 两球组成的系统的机械能守恒，由机械能守恒定律：mgl +mgl 1 1= mv 2 + mv 2 2 22B由于两球在同一杆上，角速度相等，故v =2vAB解之得： v = A2 115 gl ， v = 15 gl 5 5与、B 球自由下落时的速度比较，v=A2 gl，v= glB可见v vAA，v vBB，故杆对球做正功，对 B 球做负功。3、变力做功大小或方向
11、变化的力所做的功，一般不能用功的公式 W=scos去求解需变换思维方 式，独辟蹊径求解。(1)用功率定义式求解将功率的定义式 P=W/t 变形，得 W=Pt。在求解交通工具牵引力做功问题时经常用到此 公式。例 质量为 m 的汽车在平直公路上以初速度 v 开始匀加速行驶，经时间 t 前进距离 s 后，0速度达最大值 v ，设在这段过程中发动机的功率恒为 P，汽车所受阻力恒为，则在这段时间m内发动机所做的功为：、Pt B、v tMC、s+mvm2/2 D、mvm2/2-mv 2/2+s0（答案：BD）(2)用动能定理求解变力做功求解某个变力所做的功，可以利用动能定理，通过动能改变量和其余力做功情况
12、来确定。 例 如图所示，把一小球系在轻绳的一端，轻绳的另一端穿过光滑木板的小孔，且受到竖直向下的拉力作用当拉力为时，小球做匀速圆周运动的轨道半径为 R当拉力逐渐增至 4 时，小球匀速圆周运动的轨道半径为 R2在此过程中，拉力对小球做了多少功?解 此题中的是一个大小变化的力，故我们不能直接用功的公式求解拉力的功根据=mv2 R，我们可分别求得前、后两个状态小球的动能，这两状态动能之差就是拉 力所做的功由=mv12R 4=mv22f 3 2 3 3 3得 W=mv 22-mv 22=R/22 1例 如图，用20N 的恒力拉跨过定滑轮的细绳的一端，使质量为 10kg 的物体从点由静止沿水平面运动当它
13、运动到 B 点时，速度为 3ms设 OC4m，BC3m，C9.6m，求物体克服摩擦力做的功解 作出物体在运动过程中的受力图。其中绳的拉力 T 大小不变，但方向时刻改变N 随 T 方向的变化而变化(此力不做功)随正压力 N 的变化而变化因此对物体来说，存在着两个变力做功的问题但绳拉力 T 做的功， 在数值上应等于向下恒力做的功的大小已知，移动的距离应为 O、OB 两段绳长之差OA = OC 2 +AC =10.4mOB = OC2+BC =5m由动能定理 W+W=E 得：k1F (O A -O B ) +W = mv22B-0W-63(J)即物体克服摩擦力做了 63J 耳的功(3)用图象法求解变
14、力做功如果能知道变力随位移 s 变化的关系，我们可以先作出-s 关系图象，并利用这个图象 求变力所做的功例如图，密度为，边长为的正立方体木块漂浮在水面上(水的密度为 )现用力将木块按入水中，直0到木块上表面刚浸没，此过程浮力做了多少功?解 未用力按木块时，木块处于二力平衡状态浮=mg 即 g2（-h）=g30并可求得：h=（ -）/ （h 为木块在水面上的0 0高度）在用力按木块到木块上表面刚浸没，木块受的浮力逐渐增大，上表面刚浸没时，浮力达到最大值： = g 浮 03以开始位量为向下位移 x 的起点，浮力可表示为：浮=g + g x 0根据这一关系式，我们可作出 -x 图象(如图右所示)在此图象中，梯形 OhB 所包围的浮“面积”即为浮力在此过程所做的功。W=（ g +g ）h/2=g h（ +）/20 0
