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1、专题03 含参数单调性问题【压轴综述】纵观近几年的高考命题，应用导数研究函数的单调性、极(最)值问题，证明不等式、研究函数的零点等，是高考考查的“高频点”问题，常常出现在“压轴题”的位置，特别是含参数问题，离不开函数单调性研究.本专题就含参数的函数单调性问题，进行专题探讨，通过例题说明此类问题解答规律与方法.1.讨论函数的单调性其实就是讨论不等式的解集的情况大多数情况下，这类问题可以归结为一个含有参数的一元二次不等式的解集的讨论：(1)在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时，依据根的大小进行分类讨论(2)在不能通过因式分解求出根的情况时，根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论2.利用导数研
2、究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，当f(x)含参数时，需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论讨论的标准有以下几种可能：(1)f(x)0是否有根；(2)若f(x)0有根，求出的根是否在定义域内；(3)若在定义域内有两个根，比较两个根的大小3.讨论函数f(x)单调性的方法步骤(1)确定函数f(x)的定义域(2)求导数f(x)，并求方程f(x)0的根(3)利用f(x)0的根将函数的定义域分成若干个子区间，在这些子区间上讨论f(x)的正负，由符号确定f(x)在该区间上的单调性4.由函数的单调性求参数的取值范围的方法(1)可导函数在区间(a，b)上单调，实际上就是在该区间上f(x)0(或
3、f(x)0)恒成立，得到关于参数的不等式，从而转化为求函数的最值问题，求出参数的取值范围(2)可导函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f(x)0(或f(x)0)在该区间上存在解集，从而转化为不等式问题，求出参数的取值范围(3)若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I上含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而求出参数的取值范围【压轴典例】例1.(2020全国卷文科T21)已知函数f(x)=2ln x+1.(1)若f(x)2x+c,求c的取值范围;(2)设a0时,讨论函数g(x)=的单调性.【解析】(1)函数f(x)的定义域为(0,+),f(x)2x+cf(x
4、)-2x-c02ln x+1-2x-c0(*),设h(x)=2ln x+1-2x-c(x0),则有h(x)=-2=,当x1时,h(x)0,h(x)单调递减,当0x0,h(x)单调递增,所以当x=1时,函数h(x)有最大值,即h(x)max=h(1)=2ln 1+1-21-c=-1-c,要想不等式(*)在(0,+)上恒成立,只需h(x)max0-1-c0c-1.(2)g(x)=(x0且xa),因此g(x)=,设m(x)=2(x-a-xln x+xln a),则有m(x)=2(ln a-ln x),当xa时,ln xln a,所以m(x)0,m(x)单调递减,因此有m(x)m(a)=0,即g(x)
5、0,所以g(x)单调递减;当0xa时,ln x0,m(x)单调递增,因此有m(x)m(a)=0,即g(x)0时,令f(x)=0,得x=,令f(x)0,得-x0,得x,所以f(x)在(-,)上单调递减,在,上单调递增.(2)由(1)知,f(x)有三个零点,则k0,且,即,解得0k,当0k,且f()=k20,所以f(x)在上有唯一一个零点,同理-k-1-,f(-k-1)=-k3-(k+1)20,故f单调递增,注意到f=0,故当x时,f0,f单调递增.(2)由fx3+1得,ex+ax2-xx3+1,其中x0,当x=0时,不等式为:11,显然成立,符合题意;当x0时,分离参数a得,a-,记g=-,g=
6、-,令h=ex-x2-x-1,则h=ex-x-1,h=ex-10,故h单调递增,hh=0,故函数h单调递增,hh=0,由h0可得:ex-x2-x-10恒成立,故当x时,g0,g单调递增;当x时,g0,f(x)单调递增,当x时,f(x)0,f(x)单调递增.(2)注意到f(x+)=sin 2(x+)sin =sin 2xsin 2x=f(x),故函数f(x)是周期为的函数,结合(1)的结论,计算可得:f(0)=f()=0,f=,f=-,据此可得:f(x)max=,f(x)min=-,即|f(x)|.(3)结合(2)的结论有:sin 2xsin 22xsin 24xsin 22nx=sin x(s
7、in 2xsin 2x)(sin 22xsin 4x)(sin 22n-1xsin 2nx)sin 22nx=.例5.(2019全国高考真题)已知函数.(1)讨论的单调性；(2)当时，记在区间的最大值为，最小值为，求的取值范围.【答案】(1)见详解；(2) .【解析】 (1)对求导得.所以有当时，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增；当时，区间上单调递增；当时，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.(2)若，在区间单调递减，在区间单调递增，所以区间上最小值为.而，故所以区间上最大值为. 所以，设函数，求导当时从而单调递减.而，所以.即的取值范围是.若，在区间单调递减，在区间
8、单调递增，所以区间上最小值为而，故所以区间上最大值为. 所以，而，所以.即的取值范围是.综上得的取值范围是.例6.(2019全国高考真题)已知函数.(1)讨论的单调性；(2)是否存在，使得在区间的最小值为且最大值为1？若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由.【答案】(1)见详解；(2) 或.【解析】 (1)对求导得.所以有当时，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增；当时，区间上单调递增；当时，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.(2)若在区间有最大值1和最小值-1，所以若，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增；此时在区间上单调递增，所以，代入解得，与矛盾，所以
9、不成立.若，区间上单调递增；在区间.所以，代入解得 .若，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.即在区间单调递减，在区间单调递增，所以区间上最小值为而，故所以区间上最大值为. 即相减得，即，又因为，所以无解.若，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.即在区间单调递减，在区间单调递增，所以区间上最小值为而，故所以区间上最大值为. 即相减得，解得，又因为，所以无解.若，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.所以有区间上单调递减，所以区间上最大值为，最小值为即解得.综上得或.例8【湖北省宜昌市2020-2021学年高三】已知函数(1)当时，求的单调区间；(2)若，且，求
10、证：【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为；(2)证明见解析.【详解】(1)当时，定义域为，令，得；令，得，的单调递增区间为，单调递减区间为(2)当时，即，令，在上单调递增，令()，令，在上递减，又，使，且时，递增，时，递减，而，使，即，时，单调递增，时，单调递减，而，恒成立，即，即例9【江西宜春市2021届高三】已知函数.(1)求函数的单调区间，并求的最值；(2)已知，.证明：有最小值；设的最小值为，求函数的值域.【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为，最小值为，无最大值；(2)证明见解析；.【详解】(1)的定义域为当时，在单调递减，当时，在单调递增，所以的单调递减区间为，单调递
11、增区间为，最小值为，无最大值.(2)令， ，由(1)知，单调递增，所以存在唯一的，使得，即当时，单调递减；当时，单调递增故，所以有最小值得证令，所以单增，所以，由，得因为单调递增，对任意，存在唯一的，使得，所以的值域为综上：当，函数最小值为，函数的值域为例10.(2018全国高考真题)已知函数(1)讨论的单调性；(2)若存在两个极值点，证明：【答案】(1)见解析；(2)见解析【解析】(1)的定义域为，.(i)若，则，当且仅当，时，所以在单调递减.(ii)若，令得，或.当时，；当时，.所以在单调递减，在单调递增.(2)由(1)知，存在两个极值点当且仅当.由于的两个极值点满足，所以，不妨设，则.由
12、于，所以等价于.设函数，由(1)知，在单调递减，又，从而当时，.所以，即.【思路点拨】 (1)首先确定函数的定义域，之后对函数求导，之后对进行分类讨论，从而确定出导数在相应区间上的符号，从而求得函数对应的单调区间；(2)根据存在两个极值点，结合第一问的结论，可以确定，令，得到两个极值点是方程的两个不等的正实根，利用韦达定理将其转换，构造新函数证得结果.(3)本题涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性、应用导数研究函数的极值以及极值所满足的条件，在解题的过程中，需要明确导数的符号对单调性的决定性作用，再者就是要先保证函数的生存权，确定函数的定义域，要对参数进行讨论.同时，要时刻关注第一问对第二问的影响，再者就是通过构造新函数来解决问题的思路要明确.【压轴训练】1(2021江西上饶市高三)已知定义在上的函数满足，其中是函数的导函数，若，则实数的取值范围是( )ABCD【答案】D【详解】构造函数，
