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1、第一章 绪论1.1 引言近50年来，科学技术的迅速发展，对许多被控对象如宇宙飞船、导弹、卫星和现代工业设备与生产过程的性能提出了更高的要求，在许多情况下要求系统的某种性能指标为最优。这就要求人们对控制问题都必须从最优控制的角度进行研究分析和设计。最优控制理论是现代控制理论的重要组成部分。其形成与发展奠定了整个现代控制理论的基础。早在20世纪50年代初九开始了对最短时间控制问题的研究。随后，由于空间技术的发展，越来越多的学者和工程技术人员投身于这一领域的研究和开发，逐步形成了较为完整的最优控制理论体系。最优化问题就是根据各种不同的研究对象以及人们预期要达到的目标，寻找一个最优控制规律，或设计出一
2、个最优控制方案或最优控制系统。最优控制理论研究的主要问题是：根据已建立的被控对象的时域数学模型或频域数学模型，选择一个容许的控制律，使得被控对象按预定要求运行，并使给定的某性能指标达到最优值。从数学的观点来看，最优控制理论研究的问题是求解一类带有约束条件的泛函取值问题，属于变分学的理论范畴。然而，经典变分学理论只能解决容许控制属于开机的一类，为适应工程实践的需要，20世纪50年代中期出现了现代变分理论。在现代变分理论中最常用的两种分法是动态规划和极小值原理。动态规划时美国学者R.E贝尔曼于1953-1957年为了解决多级决策问题的算法而逐步创立的。最小值原理时前苏联科学院院士.C.庞特里亚金与
3、1956年-1958年间逐步创立的。近年来，由于数字计算机的飞速发展和完善，逐步形成了最优控制理论中的数值计算法，参数优化方法。当性能指标比较复杂或者不能用变量或函数表示时，可以采用直接搜索法，经过若干次迭代，都所到最优点。常用的方法有邻近极值法、梯度法、共轭梯度法及单纯形法等。同时由于可以把计算机作为控制系统的一个组成部分，以实现在线控制，从而使最优控制理论的工程实现成为现实。因此，最优控制理论提出的求解方法，既是一种数学方法，又是一种计算机算法。时至今日，最优控制理论的研究，无论在深度和广度上，都有了很大的发展，并且日益与其他控制理论相互渗透，形成了更为实用的学科分支，如：鲁棒最优控制、随
4、机最优控制、分布参数系统最优控制及大系统的次优控制等。可以说最优控制理论目前仍然是在发展中的，极其活跃学科领域之一。1.2最优化问题一、最优化问题的数学描述所谓最优化问题，就是寻找一个最优控制方案或者最优控制规律，使所研究的对象（或系统）能最优地达到预期地目标。例如：在控制发射N级火箭时，如何规划各级火箭地质量使得火箭地总质量为最小；或在雷达高炮随动系统中，当发现敌机后，如何以最快地速度跟踪目标而将敌机击落。也就是说，最优化问题就是依据各种不同的研究对象以及人们预期达到的目的，寻找出一个最优控制规律或者设计出一个最优控制方案或者最优控制系统。例1.甲仓库（1500包水泥），乙仓库（1800包水
5、泥）工地A需要900包，工地B需要600包，工地C需要1200包，从甲仓库送往A、B、C工地的运费分别为每包1元、2元、4元，从乙仓库送往A、B、C工地的运费分别为每包4元、5元、9元，应如何发运这些水泥，能使运费最省？设总运费f(x)=x1+2x2+4x3+4x4+5x5+9x6最优化的任务在于确定x使f(x)为最小。x受到以下条件限制：x1+x2+x31500x4+x5+x61800 由于f(x)为x的一次函数x1+ x4=900x2+ x5=600x3+ x6=1200 例2.关于飞船的月球软着陆问题为使飞船实现软着陆，即到达月球表面时速度为零，要寻找飞船发动机推力的最优变化规律，使燃料
6、消耗最少，以便完成任务有足够燃料返回地球。飞船运动方程： 初始条件：末端条件：控制约束：0u(t)umax 性能指标取为表征燃料消量耗（1-5页）的飞船着陆时的质量：最优化问题就是在满足和的约束条件下，寻求发动机推力的最优变化规律u(t)，使飞船从x(0)x(tf),并使J=m(tf)=max最优化问题的数学描述包含以下几个方面的内容：1. 受控制系统的数学模型即系统微分方程(集中参数系统可用一组一阶常微分方程来描述) 2. 边界条件与目标集边界条件 即初始状态时刻t0和初始状态x(t0)通常已知，而终端时刻tf和终端状态x(tf）可以固定也可以自由。一般地，对终端的要求可以用如下的终端等式或
7、不等式约束条件来表示：N1=x(tf),tf=0 或N2x(tf),tf0 目标集：满足终端约束条件的转台集合，用M表示：M=x(tf):x(tf)Rn，N1x(tf),tf=0,或N2x(tf),tf 0为简单起见，笼统称式为目标集。3. 容许控制每一个实际的控制问题，控制向量u(t)都有一个规定的取值范围，通常可以用如下不等式饿约束条件来表示：0u(t) umax 或，i=1,2,3r在Rr空间中，把满足上式的点u(t)的集合v成为控制集，把属于u(t)U的u(t)称为容许控制若u(t)的取值不受限制，则容许控制属于某一开集。U为开集还是闭集在处理方法上有着本质的差别。4. 性能指标(目标
8、函数)衡量控制作用效果的性能指标将x(t0)x(tf)通过不同u(t)来完成，而控制效果好坏，则用性能指标来判别。对于最优化问题的目标函数，其内容与形式主要取决于具体优化问题所要解决的主要矛盾。例如在人造卫星的姿态控制问题中，可分为时间最短、燃料最少、时间最少燃料最少不同目标函数的最优化问题二 最优化问题的分类1单变量函数与多变量函数最优化问题单变量函数最优化方法是求解最优化问题的基本方法2.无约束与有约束最优化问题3.确定性和随机性最优化问题4.线性和非线性最优化问题5.静态和动态最优化问题三 最优化问题的求解方法1 间接法（解析法）无约束：经典微分法、经典变分法 有约束：极大值原理、动态规
9、划2 直接法(数值解法)函数逼近法（插值法或曲线拟合法）区间消去法：菲波纳奇法、黄金分割法（0.618法）爬山法：变量轮换法、步长加速法、方向加速法、单纯形法、随机搜索法3 以解析法为基础的数值解法：无约束梯度法：最速下降法、共轭梯度法、牛顿法与拟牛顿法、变尺度法、牛顿高斯最小二乘法有约束梯度法：可解方向法、梯度投形法、简约梯度法化有约束为无约束问题：序列无约束极小化法、线性近似化法最优控制属于最优化范畴，因此最优控制与最优化有其共同的性质和理论基础，但最优化涉及面极广，举凡生产过程的控制企业的生产调度对资金、材料、设备的分配、乃至经济政策的制定等等，无不与最优化有关。而最优控制是针对控制系统
10、本身而言的，目的在于使一个机组、一台设备或一个生产过程实现局部最优。1.3 最优控制问题所谓最优控制问题，就是指在给定条件下，对给定系统确定一种控制规律，使该系统能在规定的性能指标下具有最优值。也就是说最优控制就是要寻找容许的控制作用（规律）使动态系统（受控系统）从初始状态转移到某种要求的终端状态，且保证所规定的性能指标（目标函数）达到最大（小）值。最优控制问题的示意图如图所示。其本质乃是一变分学问题。经典变分理论只能解决一类简单的最优控制问题。为满足工程实践的需要，20世纪50年代中期，出现了现代变分理论。最常用的方法就是极大值原理和动态规划。最优控制在被控对象参数已知的情况下，已成为设计复
11、杂系统的有效方法之一。一 最优控制问题的性能指标在状态空间中要使系统的状态由初始状态x(t0)x(tf)，可以用不同的控制规律来实现。为了衡量控制系统在每一种控制规律作用下工作的优劣，就需要用一个性能指标来判断。性能指标的内容、形式取决于最优控制所完成的任务。不同最优控制问题就应有不同的性能指标。同一最优控制问题，其性能指标也可能因设计者着眼点而异。1. 综合性或波尔扎（Bolza）型性能指标 L标量函数：动态性能指标标量函数：终端性能指标J标量函数，对每一个控制函数u(t)都有一个对应值，u()控制函数整体2. 积分变量或拉格朗日（Lagrange）型性能指标 强调系统的过程要求。3.终端型
12、或麦耶尔（Mager）型性能指标以上三种性能指标，通过一些简单的数学处理，可以相互转化。在特殊情况下，可采用如下的二次型性能指标F终端加权矩阵 Q(t)状态加权矩阵 R(t)控制加权矩阵二 最优控制问题的提法所谓最优控制的提法，就是将通常的最优控制问题抽象成一个数学问题，并用数学语言严格的表示出来。1. 给定系统的状态方程 初始条件 2. 给定初始条件和终端条件初始状态为：x(t0)=x0终端状态x(tf)可用如下约束条件表示N1x(tf)，tf=0 或N2x(tf)，tf03给定性能指标（目标函数）确定J最优控制向量，使系统从x(t0)x(tf)，并使性能指标具有极大（小）值。三 最优控制问
13、题的分类1.按状态方程分类：连续最优化系统、离散最优化系统2.按控制作用实现方法分类：开环最优控制系统、闭环最优控制系统3.按性能指标分类：最小时间控制问题 最少燃料控制问题 最少燃料控制问题 线性二次型性能指标最优控制问题 非线性性能指标最优控制问题4.按终端条件分类：固定终端最优控制问题自由终端（可变）最优控制问题终端时间固定最优控制问题终端时间可变最优控制问题 5.按应用领域来分：终端控制问题、调节器问题、跟踪问题、伺服机构问题、效果研究问题、最小时间问题、最少燃料问题第二章 最优控制中的变分法在动态最优控制中，由于目标函数是一个泛函数，因此求解动态最优化问题可归结为求泛函极值问题。变分
14、法是研究极值的一种经典分法。2.1 函数的极值一 一元函数的极值 设连续可微一元函数y=f(x)在定义区间a,b有极值，则函数在x0处可导，并在x0处存在极值的必要条件是在xo处存在极大值，极小值， 若，还要从f(x)在xo附近的变化情况来判断xo是否是极小值、极大值或拐点。例1 试求的极值解： 例2 如图所示:边长为a的正方形铁皮，四个角处剪去相等正方形，折起后制成方形无盖水槽，要求其容积最大，或求所剪去的小正方形的边长。无盖方形水槽容积为：max=二 多元函数与极值设多元函数存在极值的必要条件是： 极小值的充分条件是：，极大值的充分条件是：若下列矩阵(Hesse海赛)正定 则极小值负定 则极大值 Hesse矩阵的正定性可用sylvester准则判别例：设多元函数，试求函数的极值点及极小值4解： Hesse矩阵：= 因为40， 0，0，故Hesse阵正定所以函数存在极小值 三 条件极值和拉格朗日乘子问题实际问题中自变量之间受到其他条件的约束限制极值常用拉格朗日乘子法(待定乘子法、增量法) 原理：引入待定参数，将求解带有约束条件的极值问题转化为一个求解无约束条件的极值问题设连续可微的目标函数为:J=f(x,u)等式约束条件为： g(x,u)=0引入乘子矢量，将乘等式约束条件并与目标函数相加，构造拉格朗日函数
