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1、学年论题 目用定积分法求面积学院：数学与信息科学学院专业：信息与计算科学学生姓名：王生文学号：200871020127指导教师：郭晓斌用定积分法求面积摘要：定积分是数学当中十分重要的一种方法，其中求图形的面积正是它的运用之一，它的思想一般就是切割求和，本文就介绍了几种运用定积分来求面积的方法。其中，列举了普通 的例题以及一些重要的问题解决方法。关键字：定积分微元法 分割With the definite integral method for areaAbstract: the definite integral in the math is very important for a meth
2、od, whichis the area of its graphics, one of the ideas of use, this paper cutting summation is commonly used describes some of the definite integral to beg area method. Among them, lists the ordinary examples, and some important problem solving methods. Keyword：Definite integral Micro element method
3、 segmentation1.求平面区域的面积在求平面区域的面积当中，由于围成平面区域的曲线可用不同的形式表示，一般情况下，曲线的形式分为三种情况，每种情况下的求区域面积的方法各有所不同，因而分下面三种情况进行讨论。1.1直角坐标系由连续曲线y=f(x)(x三0)，以及直线x=a, x=b(avb)和x轴所围成的曲边梯形的面积为：A=fbf(x)dx=fb ydx .aa如果f(x )在a, b上不都是非负的，则所围图形的面积为：A = bf (x)|dx = fb |y|dx .aa一般地，由上下两条连续曲线y=f2(x)与y=f/x)以及两条直线x=a与x=b (aVb)所围成的平面图形(
4、图1)， 它的面积计算公式为：1)A= fb f (x) 一 f (x)Lx21a例题1求在区间2,2 上连续曲线y=ln x ,x轴及二直线 区域(如图2)的面积。= 2所围成平面解：已知在2,2 上，ln xW 0 ;在区间1 , 2 上, ln x三0，则此区域的面积为:A = f2 |ln x |dx =2-f2 ln xdx + J 2 ln xdx1 i2= 一 ( x ln x 一x)=3ln例题2求抛物线y2=x与x-2y-3=0所围成的平面图形(图3)的面积A。解：该平面图形如图所示先求出抛物线与直线的交点P(1 ,-1)与Q (9,3) 用x=1把图形分A = J1 L x
5、 一 (-x x) lx = 2f;xdx =1003A =J 9(慑 一 Jdx = 282123所以A = A +A =1 2 3本题也可把抛物线方程和直线方程改写成:x=y2 = g /y),x=2y+3= g2(y) 2(y),yWT ,3.并改取积分变量为y,便得:Ag2(y) - gi(y)呛=J31(2y + 3- y2)dy =0例题3求两条曲线y=x2与x=y2围城的平面区域（如图4）的面积。解：两条曲线的交点是（0,0）与（1,1）,则此区域的面积:12 31A = J (、x x2)dx = ( x2 一 x3)033x 2例题4求由两条曲线y=x2,y=T 和直线y=l
6、围成的平面010解法二：将y轴看作是自变数。在第一象限的那部分区域是由曲线x = Q , x = 2Jy和直线y =1所围成（y作自变数）。此区域的面积为：A = 2Jl（2畧 y 一 ”y）dy = 2Jl Jydy = 4 0031.2 参数方程设曲线C是参数方程x=(t),y=申(t), aWtWB其中z (t)与9 (t)在a , B 上连续。1) 若函数x= (t)在a , B 上严格增加，从而(t) 20.有a =(a) V (B)=b ,则函数x =(t)存在反函数t二-1 (x),曲线C： y=-i(x)、x轴和二直线x=a , x=b 围成区域的面积A = Jb|ydx =
7、Jb -1 (x) dx = J 卩 9 (t)9 (t) dt(1)aaU2) 若函数x=(t)在a , B 严格减少，从而(t) W0,有a=(a) (B)=b,则函数x=(t)存在反函数t=-1 (x),曲线C： y=-1(x)、x轴和二直线x=a,x=b 所围成的区域面积A 二 Ja|ydx = Ja |-1(x) dx = J a9 (t)9 (t)dtbb卩=-JP9(t)9(t)dt .(2)U3) 如果由参数方程所表示的曲线是封闭的，既有(a) =(B),9 (a)= 9 (B),且在( a ， B )内曲线自身不在相交，那么由曲线自身所围成图像的面积为A=Jp9 (t )g(
8、t )dt(或 he(t)9(t)dt )U(3)例题5求由摆线x=a(t-sint) ,y=a(l-cost)(a0)的以拱与x轴所围成的平面图形(图6)的面积。解：摆线的一拱可取t =0,2n 所求面积为:A = J2n a(1 - cost )a(t - sint )dt0图 6=a 2 f2 兀 a (1 一 cos t )2 dt0=3 n a2例题6 求旋轮线：x=a(t-sint),y=a(l-cost) (a 0, OWtW2n)拱与x轴围成的区域(如图7)的面积.解：函数x=a(1-sin t)在0 ,2n严格增加，或任意的 t0 ,2n,有x =a(1-cost)三0 (仅
9、在0,2 n上的孤立点使x，=0)由公式(1),旋轮线一拱与 x轴围成区域的面积：cos t ) 2 dtA = f2 兀 a (1 一 cos t) |a (1 一 cos t) dt = a 2 f2 兀(10 0(1 2cos t + cos21 )dt = a 2(1 2cos t +1 + cos2t2)dt=a 2(t 一 2 sin t +2sin2t42n0=3 n a2 .例题7 求椭圆：x=acost ,y=bsint (0WtW2n )的面积.解：椭圆关于x轴、y轴都对称，其面积使第一象限那部分区域面积的四倍.第一象限那部分区域是曲线x=acost ,y=bsint(0W
10、 tw2和X轴、y轴所围成.而函数x=acost在02严格减少，或任意xW 0,有x，= - a sin22tw0 .由公式(2)，椭圆的面积为：一42 b sin 11(a sin t)dt = 4abf 2 sin2 tdt0=2abf 2 (1 cos 2t)dt = 2ab(t 卜n2t)兀2 =abn0例题8求椭圆+二=1所围成的图形的面积.a 2 b2解：化椭圆为参数方程:x=a costy=b sint,t 0 ,2 n .由公式(3)， 求的椭圆所围成的平面图形的面积为：A= J2 兀 b sin(a cos0t) dt =ab J2兀 sin2 tdt =ab n0显然，当a
11、=b=r时，这就等于圆面积nr2 .1.3 极坐标设曲线C由极坐标方程r=r (0 ) ,Owa, B.给出，其中r(0)在a, B上连续，B-aW2n . 由曲线C与两条射线0=a，0=B所围成的平面图 形，通常也称为扇形(图 8).此扇形的面积的计算 公式图8A=丄 J 卩 r 2(0 ) d 02 a(5)这仍可由定积分分的基本思想而得。如图 9所示，对区间a, B作任意分割T: a = 0o0i0200)围成区域(如图11 )的面积。解：三叶玫瑰线围成的三个叶全等，如图11.只 须计算第一象限那部分面积的6倍。三叶玫瑰线 r=acos3 0 .在第一象限中，角0的变化范围是由0兀到。于是三叶玫瑰线围成区域的面积为：66 血A = j 6 a 2 cos 2 30 d02 0国11匹=a2 j 6 cos2 30d(30)0令=3 0则原式可化为:血a 2企a 2 j 2 cos 2 申d =j 2 (1 + cos 2 )dq =0 2 0a 2sin 2p x殳a 2冗=22.求旋转曲面的面积定积分的所有应用问题，一般总可以按“分割，近似求和，取极限”三个步骤导出所求量的积分形势，但为了简便实用起见，也常采用下面介绍的“微元法”。2.1微元法若令(x)二 f (t)dt ，则当f为连续函数时，(x)
