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1、等差数列等比数列常见结论一、等差数列常见结论1， 判断给定的数列是等差数列的方法（1） 定义法：是常数数列是等差数列；（2） 通项公式法：数列是等差数列；（3） 前n项和法：数列的前n项和数列是等差数列；（4） 等差中项法：数列是等差数列；2， 等差数列的通项公式的推广和公差的公式：；3， 若A是a与b的等差中项4， 若数列，都是等差数列且项数相同，则都是等差数列；5， 等差数列中，若项数成等差数列，则对应的项也成等差数列；6， 等差数列中，隔相同的项抽出一项所得到的数列仍为等差数列；7， 若数列是等差数列，且项数满足，则，反之也成立；当时，即的等差中项；8， 若数列是等差数列的充要条件是前n
2、项和公式，是n的二次函数或一次函数且不含常数项，即；9， 若数列的前n项和，则数列从第二项起是等差数列；10， 若数列是等差数列，前n项和为，则也是等差数列，其首项和的首项相同，公差是公差的；11， 若数列，都是等差数列，其前n项和分别为，则；12， 若三个数成等差数列，则通常可设这三个数分别为；若四个数成等差数列，则通常可设这四个数分别为；13， 等差数列的前n项和为，且分别为数列的前m项,2m项,3m项,4m项,的和，则成等差数列（等差数列的片段和性质）；14， 等差数列中，若项数n为奇数，设奇数项的和和偶数项的和分别为，则；若项数n为偶数，；15， 在等差数列中，若公差，则等差数列为递增
3、数列；若公差，则等差数列为递减数列；若公差，则等差数列为常数列；16， 有关等差数列的前n项和为的最值问题：（1） 何时存在最大值和最小值 若，则前n项和为存在最大值 若，则前n项和为存在最小值（2） 如何求最值 方法一：（任何数列都通用）通过解出n可求前n项和为的最大值；通过解出n可求前n项和为的最小值； 方法二：利用等差数列前n项和的表达式为关于n的二次函数且常数项为0（若为一次函数，数列为常数列，则前n项和不存在最值）,利用二次函数求最值的方法进行求解；有以下三种可能：若对称轴n正好取得正整数，则此时n就取对称轴；若对称轴不是正整数，而是靠近对称轴的相邻的两个整数的中点值，则n取这两个靠
4、近对称轴的相邻的两个整数；若对称轴即不是正整数，又不是靠近对称轴的相邻的两个整数的中点值，则n就取靠近对称轴的那个正整数； 利用等差数列的相关性质求解16，用方程思想处理等差数列中求相关参数问题，对于这五个量，知任意三个可以求出其它的两个，即“知三求二”二、 等比数列常见结论1， 对等比数列定义的理解（1） 是从第二项开始，每一项与前一项的比（2） 每一项与前一项的比试同一个常数，且这个常数不为0（3） 等比数列中任何一项都不为0（4） 符号语言的描述：若数列中满足（不为0的常数），则数列为等比数列；2， 当且仅当两个数a和b同号是才存在等比中项，且等比中项为3， 若成等比数列，则4， 判断给
5、定的数列是等比数列的方法（1）定义法：（不为0的常数）数列为等比数列；（2）中项法：数列为等比数列；（3） 前n项和法：数列的前n项和（A是常数，）数列为等比数列；5， 等比数列通项公式的推广：若为等比数列，则6， 若数列是等比数列，且项数满足，则，反之也成立；当时，即的等比中项；7， 等比数列中，若项数成等差数列，则对应的项也等比数列；8， 等比数列中，隔相同的项抽出一项所得到的数列仍为等比数列；9， 若数列，都是等比数列且项数相同，则都是等比数列；10， 若等比数列的公比为参数，则在求前n项和时应分两种情况讨论，即；当时11， 若三个数成等比数列，通常可设这三个数分别为；12， （等比数列
6、的片段和性质）公比不为的等比数列前n项和为，则成等比数列；13， 用方程思想处理等比数列相关参数问题，对于这五个量，知任意三个可以求出其它的两个，即“知三求二”；三、等差与等比数列1， 若正项数列为等比数列，则数列为等差数列；2， 若数列为等差数列，则数列为等比数列；3， 任意两数都存在等差中项为，但不一定都存在等比中项，当且仅当同号时才存在等比中项为；4， 任意常数列都是等差数列，但不一定都是等比数列，当且仅当非零的常数列即是等差数列又是等比数列；四、例题分析1，（10年全国理科4）如果等差数列中，那么（ ）A，14 B，21 C，28 D，35【命题意图】本试题主要考查等差数列的基本公式和
7、性质.【解析】【答案】C2，（09年宁夏海南理科16）等差数列前n项和为。已知+-=0，=38,则m=_【命题意图】本试题主要考查等差数列的基本公式和性质.【解析】由+-=0得到。【答案】103，（11年广东理11）等差数列前9项的和等于前4项的和若，则 _ 【解析】方法1：由得，求得，则，解得方法2：由得，即，即，即【答案】10w4，（11年湖南卷理12）设是等差数列的前项和，且，则【命题意图】考查等差数列的通项公式的应用及等差数列求和【解析】由可得，所以。【答案】25w.w.k.s.5.u.c.o.m 5，(2010年全国理4)已知各项均为正数的等比数列，=5，=10，则=（ ）A， B，
8、7 C， 6 D， 【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想.【解析】由等比数列的性质知，10,所以,所以【答案】A6，(2008宁夏，海南理科17) 已知数列是一个等差数列，且，。（1） 求的通项；（2）求前n项和的最大值。【命题意图】本题考查等差数列的通项公式和等差数列前n项和最值的求法，着重考查方程思想和二次函数最值问题；【解析】（）设的公差为，由已知条件，解出，所以（）所以时，取到最大值7，已知数列是等差数列，且首项，求前n项和何时取最小值【命题意图】本题考查等差数列的等差数列前n项和最值的求法【解析】方法一：因为
9、，所以前n项和取最小值方法二：因为，所以，即前n项和取最小值方法三：因为，所以的对称轴为，开口向上，且，前n项和取最小值8，已知等差数列前n项和为30，前n项和为100，则前3n项和为_【命题意图】本题考查等差数列的等差数列前n项和的公式及整体代换思想【解析】方法一：（特殊值法）设,则，则前3n项和方法二：利用等差数列前n项和和整体代换思想求解设前n项和为，前2n项和为，所以所以方法三：利用等差数列的片段和性质因为为等差数列，所以成等差数列，所以方法四：利用等差数列前n项和求解，体现整体代换思想因为，所以方法五：利用等差数列中成等差数列求解因为为等差数列，所以9，（2010重庆理1）在等比数列
10、中， ，则公比q的值为（ ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 【命题意图】考查等比数列通项公式或者等比数列通项公式的推广【解析】由 【答案】A10，（2010福建理11）在等比数列中,若公比,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式 【命题意图】本题考查等比数列的通项公式与前n项和公式的应用，属基础题。【解析】由题意知，解得，所以通项。【答案】11，（2009全国卷理） 设等差数列的前项和为，若,则= 【命题意图】本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式的应用，属基础题。【解析】 是等差数列,由,得. 【答案】 2412，（2009辽宁卷理）设等比数列 的前n 项和为 ，若 =3 ，则
11、= （ ）() A, 2 B, C, D,3【命题意图】本题考查等比数列的前n项和公式的应用【解析】设公比为q ,则1q33 q32 于是 . 【答案】B13，（2010浙江理3）设为等比数列的前项和，则（ ）A，11 B，5 C， D，【命题意图】本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前n项和公式，属中档题【解析】通过，设公比为，将该式转化为，解得=-2，带入所求式可知【答案】选D，14，(2011年天津卷理科4)已知为等差数列，其公差为-2，且是与的等比中项，为的前n项和, ,则的值为（ ）A-110 B-90 C90 D110【命题意图】本题考查了等差、等比数列的性质、通项公式
12、以及等差数列的前n 项和公式【解析】，解之得，.【答案】D.15，(2011年高考重庆卷理科11)在等差数列中，则 【命题意图】本题考查等差数列的通项公式【解析】，故五、反馈练习1，（2010重庆文2）在等差数列中，则的值为（ ）A，5 B，6 C，8 D，102，(2009安徽卷文）已知为等差数列，则等于（ ）A， B，1 C， 3 D，73，（2009江西卷文）公差不为零的等差数列的前项和为.若是的等比中项, ,则等于 （ ） A. 18 B. 24 C. 60 D. 90 4，（2009安徽卷理）已知为等差数列，+=105，=99，以表示的前项和，则使得达到最大值的是（ ）（ A，21
13、B，20 C，19 D，18 5，（2009湖南卷文）设是等差数列的前n项和，已知，则等于( )A13 B35 C49 D 63 6，（2009福建卷理）等差数列的前n项和为，且 =6，=4， 则公差d等于（ ）A1 B C.- 2 D 37，（2009厦门一中模拟文）在等差数列中， ,则 其前9项的和S9等于（ ） A18 B 27 C 36 D 98，（2009福建卷理）等差数列的前n项和为，且 =6，=4， 则公差d等于（ ）A1 B C.- 2 D 39，（2009辽宁卷文）已知为等差数列，且21, 0,则公差d（ ）A.2 B. C. D.210，（2009四川卷文）等差数列的公差不为零，首项1，是和的等比中项，则数列的前10项之和是（） A. 90 B. 100 C. 145 D. 19011，（2008天津）若等差数列的前5项和，且，则( )A.12 B.13 C.14 D.1512，（2008陕西）已知是等差数列，则该数列前10项和等于（ ）A64 B100 C110 D12013，（2008广东）记等差数列的前项和为，若，则（
