《高中数学必修2--第二章《直线与平面的位置关系》知识点总结与练习》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学必修2--第二章《直线与平面的位置关系》知识点总结与练习（30页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三节空间点、直线、平面间的位置关系学问能否忆起一、平面的基本性质名称图示文字表示符号表示公理1假如一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内Al，Bl，且A，Bl公理2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面公理3假如两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P，且Pl，且Pl二、空间直线的位置关系1位置关系的分类2平行公理平行于同一条直线的两条直线相互平行3等角定理空间中假如两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补4异面直线所成的角(或夹角)(1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面
2、直线a与b所成的角(2)范围：.三、直线与平面的位置关系位置关系图示符号表示公共点个数直线l在平面内l多数个直线l与平面相交lA一个直线l与平面平行l0个四、平面与平面的位置关系位置关系图示符号表示公共点个数两个平面平行0个两个平面相交l多数个(这些公共点均在交线l上)1.三个公理的作用(1)公理1的作用：检验平面；推断直线在平面内；由直线在平面内推断直线上的点在平面内(2)公理2的作用：确定平面的依据，它供应了把空间问题转化为平面问题的条件(3)公理3的作用：判定两平面相交；作两相交平面的交线；证明多点共线2异面直线的有关问题(1)判定方法：反证法；利用结论即过平面外一点与平面内一点的直线与
3、平面内不过该点的直线是异面直线，如图(2)所成的角的求法：平移法平面的基本性质及应用典题导入例1(2012湘潭模拟)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为AB的中点，F为A1A的中点，求证：CE，D1F，DA三线共点自主解答EF綊CD1，直线D1F和CE必相交设D1FCEP，PD1F且D1F平面AA1D1D，P平面AA1D1D.又PEC且CE平面ABCD，P平面ABCD，即P是平面ABCD与平面AA1D1D的公共点而平面ABCD平面AA1D1DAD.PAD.CE、D1F、DA三线共点本例条件不变试证明E，C，D1，F四点共面证明：E，F分别是AB和AA1的中点，EF綊A1B.又A1
4、D1綊B1C1綊BC.四边形A1D1CB为平行四边形A1BCD1，从而EFCD1.EF与CD1确定一个平面E，C1，F，D四点共面由题悟法1证明线共点问题常用的方法是：先证其中两条直线交于一点，再证交点在第三条直线上2证明点或线共面问题一般有以下两种途径：首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余线(或点)均在这个平面内；将全部条件分为两部分，然后分别确定平面，再证平面重合以题试法1(1)(2012江西模拟)在空间中，下列命题正确的是()A对边相等的四边形确定是平面图形B四边相等的四边形确定是平面图形C有一组对边平行的四边形确定是平面图形D有一组对角相等的四边形确定是平面图形(
5、2)对于四面体ABCD，下列命题正确的是_(写出全部正确命题的编号)相对棱AB与CD所在直线异面；由顶点A作四面体的高，其垂足是BCD三条高线的交点；若分别作ABC和ABD的边AB上的高，则这两条高所在的直线异面；分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点解析：(1)由“两平行直线确定一个平面”知C正确(2)由四面体的概念可知，AB与CD所在的直线为异面直线，故正确；由顶点A作四面体的高，只有当四面体ABCD的对棱相互垂直时，其垂足是BCD的三条高线的交点，故错误；当DADB，CACB时，这两条高线共面，故错误；设AB，BC，CD，DA的中点依次为E，F，M，N，易证四边形EFMN为
6、平行四边形，所以EM与FN相交于一点，易证另一组对棱中点的连线也过它们的交点，故正确答案：(1)C(2)异面直线的判定典题导入例2(2012金华模拟)在图中，G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有_(填上全部正确答案的序号)自主解答图中，直线GHMN；图中，G，H，N三点共面，但M面GHN，因此直线GH与MN异面；图中，连接MG，GMHN，因此GH与MN共面；图中，G，M，N共面，但H面GMN，因此GH与MN异面所以图中GH与MN异面答案由题悟法1异面直线的判定常用的是反证法，先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设的条件动身，
7、经过严格的推理，导出冲突，从而否定假设确定两条直线异面此法在异面直线的判定中经常用到2客观题中，也可用下述结论：过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线以题试法2已知m，n，l为不同的直线，为不同的平面，有下面四个命题：m，n为异面直线，过空间任一点P，确定能作一条直线l与m，n都相交m，n为异面直线，过空间任一点P，确定存在一个与直线m，n都平行的平面，l，m，n，m，n与l都斜交，则m与n确定不垂直；m，n是内两相交直线，则与相交的充要条件是m，n至少有一条与相交则四个结论中正确的个数为()A1B2C3 D4解析：选B错误，因为过直线m存在一个与直线n平行的平面，当
8、点P在这个平面内且不在直线m上时，就不满足结论；错误，因为过直线m存在一个与直线n平行的平面，当点P在这个平面内时， 就不满足结论；正确，否则，若mn，在直线m上取一点作直线al，由，得an.从而有n，则nl；正确异面直线所成角典题导入例3(2012大纲全国卷)已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CC1的中点，那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为_自主解答连接DF，则AEDF，D1FD即为异面直线AE与D1F所成的角设正方体棱长为a，则D1Da，DFa，D1Fa，cosD1FD.答案由题悟法求异面直线所成的角一般用平移法，步骤如下：(1)一作：即找或作平行线，作出异面
9、直线所成的角；(2)二证：即证明作出的角是异面直线所成的角；(3)三求：解三角形，求出所作的角，假如求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，假如求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角以题试法3(2012唐山模拟)四棱锥PABCD的全部侧棱长都为，底面ABCD是边长为2的正方形，则CD与PA所成角的余弦值为()A.B.C. D.解析：选B如图所示，因为四边形ABCD为正方形，故CDAB，则CD与PA所成的角即为AB与PA所成的角PAB，在PAB内，PBPA，AB2，利用余弦定理可知：cos PAB.小题能否全取1(教材习题改编)已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b()A异面B相交
10、C不行能平行 D不行能相交解析：选C由已知直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不行能为平行直线，若bc，则ab.与a，b是异面直线相冲突2(2012东北三校联考)下列命题正确的个数为()经过三点确定一个平面；梯形可以确定一个平面；两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；假如两个平面有三个公共点，则这两个平面重合A0 B1C2 D3解析：选C错误，正确3已知空间中有三条线段AB，BC和CD，且ABCBCD，那么直线AB与CD的位置关系是()AABCDBAB与CD异面CAB与CD相交DABCD或AB与CD异面或AB与CD相交解析：选D若三条线段共面，假如AB，BC，CD构成等腰三角形，则直
11、线AB与CD相交，否则直线AB与CD平行；若不共面，则直线AB与CD是异面直线4(教材习题改编)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为_解析：连接B1D1，D1C，则B1D1EF，故D1B1C为所求，又B1D1B1CD1C，D1B1C60.答案：605(教材习题改编)平行六面体ABCDA1B1C1D1中既与AB共面又与CC1共面的棱的条数为_解析：如图，与AB和CC1都相交的棱有BC；与AB相交且与CC1平行的棱有AA1，BB1；与AB平行且与CC1相交的棱有CD，C1D1，故符合条件的棱共有5条答案：5第四节直线、平
12、面平行的判定及性质学问能否忆起一、直线与平面平行1判定定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则直线与此平面平行 a2性质定理文字语言图形语言符号语言性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行 ab二、平面与平面平行1判定定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 2两平面平行的性质定理文字语言图形语言符号语言性质定理假如两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 ab1. 平行问题的转化关系：判定性质2在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维
13、”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在性质定理的应用中，其依次恰好相反，但也要留意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不行过于“模式化”3帮助线(面)是求证平行问题的关键，留意平面几何中位线，平行四边形及相像中有关平行性质的应用线面平行、面面平行的基本问题典题导入例1(2011福建高考)如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，点E为AD的中点，点F在CD上若EF平面AB1C，则线段EF的长度等于_自主解答因为直线EF平面AB1C，EF平面ABCD，且平面AB1C平面ABCDAC，所以EFAC.又因为点E是DA的中点，所以F是DC的中点，由中位线定理可得EFAC.又因为在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，所以AC2.所以EF.答案本例条件变为“E是AD中点，F，G，H，N分别是AA1，A1D1，DD1与
