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1、http:/www.paper.edu.c n多变量灰色预测模型在建筑物沉降观测中的应用羡丽娜,张彬11 1辽宁工程技术大学土建学院，123000E-mail:xl 摘要：本文采用多变量灰色模型对建筑物沉降观测数据进行处理，并通过工程实 例将预测结果与实测数据对比，说明多变量灰预测色模型的准确性，预测精度较高，尤其 适用于多点变形的整体预测预报。满足工程需要，具有重要的工程意义和经济价值。关键词：建筑物；沉降观测；多变量灰色模型；灰色预测。1. 引言随着建筑行业的迅速发展，对房屋建筑地基进行沉降观测，具有极为重要的作 用。通过观测，可了解房屋建筑的质量，安全可靠性，可鉴定地质勘察是否正确等，并
2、为今后 的设计提供宝贵的经验，特别是应用沉降预测的方法，能及早发现工程不均匀沉降及其 对建筑的影响，以采取措施，避免出现不良后果。灰色预测则可以帮助我们提前了解未来 将要发生的变形。但目前采用的大多数预测模型都局限于单点4，6建模和预测。由于GM(1 ,1)模 型仅用1个时间序列数据建模预测，当存在多个相互影响或关联的变量时，就无法反映 它们之间相互影响、制约和协同发展的情况；而 GM ( 1，n)模型又主要描述变量之间的 相互关系，是一种状态模型，不用于预测。为此，可以采用MGM ( 1，n)模型，它是GM (1 ,1)模 型在n元多变量情况下的推广，但不是GM(1 ,1)模型的简单组合 也
3、不同于GM( 1, n)模 型只建立1个n元一阶微分方程,而是建立n个n元微分方程。通过联立求解，使所得的模型 参数能满足多变量的相互关系，最终使预测的值更符合实际。因此本文通过对单变量灰色 模型的扩展，导出多变量灰色预测模型，应用多点预测模型进行沉降预测，同时结合典型的工 程实例做了验证，取得了令人满意的结论。2. 多变量灰色模型MGM( 1，n)的建模及预测2.1建立模型建模时首先将原始观测数据序列 xi(O)(k) (k=1,2,L,m;i=1,2L, n), (n为建筑物 沉降观测点的个数，m为相应的观测周期)进行累加生成处理，其一次累加生成 序列为：xi(1)(k)= 刀xi(O)(
4、j)式中:k=1,2,L,m;i=1,2,L,n。j=11,5k考虑n个点相互关联和相互影响，对此生成序列建立n元一阶常微分方程 组：-1 -http:/www.paper.edu.c ndx1()=a11x1(1)+a12x2(1)+L+a1 nxn +b1dt dx2(1)=a21x1(1)+a22x2(1)+L+a2nxn( 1)+b2 (1) dt1 M dx(1) n=a(1)1+L+a(1) dtn 1x1+a n2x()2 nnxn+b ndX(1)写成矩阵形式：dt=AX(1)+B (2) ?a12La1n? x(1)?a11a? 1(?b1?t)?式中：A=?a2122La2
5、n?b?x(1)(t? ? LL?， B=?2?，X(1)(t)=?2)?an 1sP? M?b?M?(3)?n2Lann? n? ?x(1)?n(t)?由积分生成变换原理,对(2)式两边左乘e-At得：e-At?dX-AX(1)?=e-AtB?dt?式(4)即为生成序在区间0,t上积分，整理后有：X(1)t=eAt(X(1)(0)+A-1B)-A-1B列模型的一般形式。2.2求解模型参数A和B的辨识值A?和 B? 通过对式(4)离散化，得时间相应函数为：X?(1)(k)=eA?(k-1)(X?+A?-1B?)-A?-1B?式中：eA?(k-1) %=I+ 刀 A?i(k-1)ii=1i!(6
6、)A并由最小二乘法得到估值，H=(LTL)-1LTY(7)?1)(2)(1)?(2 )L 1)(2)1? 式中：L=? (1)1)(1)? (3)(3) L(3)1 ? LL? 1)(m)(1)(m)L(1)(m)1 ?-2 - (4)(5)http:/www.paper.edu.c n?11?a? x(0)(2)x(0)(2)Lx(0)(2) ? a120)0)0)(? x(3)x(3)Lx(3) ?=? y=? H? LL? ?1r?a? (0)? (0)(0)? ? x(m)x(m)Lx(m) ?b1其中：i?21La?n?a?22La?n? a? LL?2nLa?n? a?Lb? b2
7、n?1?(1)(1)xk+x ()(k-1) ?ii? (i=1,2,L,n;k=2,3,L,m)(8) 2?和B?车中即可得到A和B的辨识值A?:从式(6) H(k)=?11?a? ?a21? ?A=? ?n1?a? ? b?12La?1? a1? ? ?2? ?22Lad? B?=? b2? (9) ? ? ? LL?M?n2La?n? ba?n?2.3预测模型?将式X(l)?-1B?-1B? ?(1)(1)+A?)-A(k)=eA(k-1)(X?乍累减还原有；X?当km时，X?(0)(k)为(k)为模拟值；k=m时，X2.4模型的平均拟合精度(T 2 =式中：残差vi(k)=xi(0)E
8、Vi=1nTiVi(11)Tnm?i(O)(k)； Vi=? (k)-x ? vi(1),vi(2),L,vi(m) ? ?(i=1,2, L, n;k=1,2,L,m)3. 计算步骤(1) 写出原始序列X(0)(2) 求一次累加生成序列X(1);(3) 按公式(8)计算一次累加均值序列(1);(4) 按式(7)建立数据矩阵L及数据列阵Y ；?、B?； (5)由步骤(4)及公式(9)进行矩阵运算求得模型参数 A?(1),按式(10)累减还原预测模型并计算 X?(0);(7)按式(5)建立模型，计算和预测X(8)计算残差向量Vi和精度评定。-3 -http:/www.paper.edu.c n4
9、. 预测建筑物基础沉降的工程实例某公司办公楼为十层框架结构，建筑面积为7230m,基础采用振冲碎石桩加固，因该地区缺乏采用振冲碎石桩加固经验，所以本工程进行了严格的沉降监测，并 根据具体情况设置了 4个观测点(即变量个数n=4)对其沉降累计值进行建模并 预测。观测资料以两周为一周期，采用8个周期的累计沉降值序列。其中前 6个周期用来建模，后两个周期用来检验预测值的准确性。2观测点初始观测序列为：X(0) ?=?56558976121310111718151419211716232720192431232227322423?55? 56? 13151211?(1) ? 25282222?其一次累
10、加生成序列为：X=? 42463736? 61675452? 84947471?计算一次累加均值序列可得出矩阵L和丫：?9? 19L=?33.5? 51.5 ? 72.5? 10.521.53756.580.58.51729.545.564816.5294461.517? 89? 1? 1213101 ? Y=? 171815? 1? 192117? 2327201? 6? 11? 14? ? 16? 19? 2.5333 -0.5333 -3.7333 26.400?0.5333 1.4667 0.2667 -1.600? A -1TT?根据 H=(LL)LY 得：H=?-6.0000 -4
11、.0000 -2.0000 -16.0000? ? 2.8000 3.2000 6.40(-12.4000?8.2000 6.8000 3.6000 20.400?http:/www.paper.edu.c n? 2.5333 0.5333 -6.0000?=? -0.5333 1.4667-4.0000由此得模型参数：A ? -3.7333 0.2667-2.0000?26.4000-1.6000 -16.0000 ? 8.2000 ? 6.8000 ? ?=? B ? 3.6000? 20.4000?2.8000 3.2000 6.4000-12.4000 ? ?6.00005.00005
12、.000C? 5.0000 ? 14.0638 15.3836 12.6630 12.0224? 25.5713 28.9376 22.7462 22.0838? 41.4737 46.1898 36.6562 35.8490? ?(1)=?计算一次累加序列预测值：X? 61.2892 ? 67.5635 54.1226 52.2453?93.6078 73.8091 70.6909? 83.1445 ? 107.6200 123.9700 96.070092.320?136.6100 158.1700 122.2700 117.7300?(1),求得多点变形的拟和值及预测值 X?(0)，并计
13、算残差如表4-1。还原X 表4-1多点变形的拟和值及预测值序号?多点模型的拟和及预测序列X ?(0) X15.0000 9.0638 11.5075 15.9024 19.8155 21.8553 24.4755 28.9900 32.9300 35.0100 (0)(mm)残差序列Vi (mm)(k)1 2 3 4 5 6 7 8 9 10?(0) X26.0000 9.3836 13.5540 17.2522 21.3737 26.0443 30.3622 33.2000 38.4600 43.25002?(0) X35.0000 7.6630 10.0832 13.9100 17.466
14、4 19.6865 22.2609 25.2000 29.8100 32.0700 ?(0) X45.0000 7.0224 10.061413.765216.396318.445621.629124.410028.080030.2100V10.0000 -1.0638 0.4925 1.0976 -0.8155 1.1447 -0.4755 -1.9900V20.0000 -0.3836 -0.5540 0.7478 -0.3737 0.9557 0.6378 -1.2000V30.0000 -0.6630 -0.0832 1.0900 -0.4664 0.3135 0.7391 -1.2000 V40.0000-1.02240.9386 0.2348 -0.39630.5544 0.3709 -1.4100计算模型的拟和精度 c =0.46通过第7、8个周期的预测值与实测值进行对比说 明，所选的多变量模型预测的沉降值与实测值十分接近，预测精度较高，故该方 法可用于建筑物沉降预测。且本实例预测了在未来两个周期第9、10周期将要发生的沉降值(见表第9行和第10行。-5 -htt
