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1、Liaoning Normal University（2011届）本科生毕业论文(设计)题 目：微分中值定理的应用研究学 院：数学学院 专 业：数学与应用数学班级序号：09数学23号 学 号：20091122060020学生姓名：李石 指导教师：李劲松 2011年5月目 录摘 要1Abstract（Key words）1前 言21微分中值定理及其证明31.1罗尔定理31.2拉格朗日中值定理31.3柯西中值定理41.4泰勒公式41.5常用微分中值定理及内在联系52 微分中值定理的应用52.1证明方程根的存在性52.2证明不等式62.3讨论函数的单调性,并利用函数的单调性求极值72.4求极限82.
2、5泰勒公式82.6求近似值92.7用来证明函数恒为常数92.8中值点存在性的应用102.8.1一个中值点的情形102.8.2 两个中值点的情形142.8.3 含中值点的积分等式的证明143小结16参考文献17致 谢18i微分中值定理的应用研究微分中值定理的应用研究摘 要：微分中值定理是数学分析中非常重要的基本定理, 它是沟通函数与其导数之间关系的桥梁. 本文以案例形式介绍了微分中值定理在数学分析中的应用，论述了微分中值定理在求极限、证明不等式以及确定根的存在性等几个方面的应用,以加深对微分中值定理的理解。关键词：微分中值定理；拉格朗日中值定理；泰勒公式Abstract（Key words）：T
3、he mid-value theorems is very important in mathematics analysis, it is the basic theorem communication function of the relationship between its derivative bridge. This paper introduced the case form mid-value theorem in the mathematical analysis, this paper discusses the application of mid-value the
4、orem in the limit, proof inequality; and determine the existence of root from several aspects such as the application to deepen the understanding of differential mid-value theorem. Key Words: Differential mean value theorem in ；Lagrange；Taylor formula 前 言微分中值定理是微分学的基本定理，在数学分析中占有重要的地位，是研究函数在某个区间的整体性质
5、的有力工具。其中，拉格朗日定理是核心，罗尔定理是其特殊情况，柯西定理是其推广。通过查阅大量资料文献和网上查阅，我找到了很多相关资料。本文以案例形式介绍了微分中值定理在数学分析中的应用，论述了微分中值定理在求极限、证明不等式以及泰勒公式和中值点存在性等几个方面的应用研究比较细致和深入。其中证明某区间上满足一定条件的中值点的存在性是微分中值定理非常重要的应用，也是在历年考研试题中经常出现的题型之一。利用中值定理证明中值点的存在性，要兼顾条件与结论，综合分析，寻求证明思路。充分理解微分学的相关知识，掌握微分中值定理的内容，并会熟练的应用。使用微分中值定理证题，方法多种多样，技巧性强。本文对这一部分的
6、典型例题进行整理归纳总结，总结出一套符合初学者认知规律的解题方法是非常必要的，这也是进一步学习数学分析的基础。1微分中值定理及其证明为了应用导数的概念和运算来研究函数与实际问题，需要一个联系局部与整体的工具，这就是微分中值定理.微分学是数学分析的重要组成部分, 微分中值定理作为微分学的核心, 是沟通导数和函数值之间的桥梁.罗尔中值定理、 拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒公式是微分学的基本定理, 统称为微分学的中值定理, 这四个定理作为微分学的基本定理, 是研究函数形态的有力工具.1.1罗尔定理若函数满足如下条件：（）在闭区间上连续；（）在开区间内可导；（）,则在内至少存在一点使得罗尔定理的
7、几何意义是说：在每一点可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相等，则至少存在一条切线.证明：因为在上连续，所以有最大值与表示，现分两种情况来讨论：（1）若,则在上必为常数，从而结论显然成立.（2）若,则因使得最大值与最小值至少有一个在内某点处取得，从而是的极值点，由条件在开区间内可导，在点处可导，故由费马定理推知注：定理中的三个条件缺少任何一个，结论将不一定成立.先讲罗尔定理,并由此推出微分学的两个基本定理拉格朗日中值定理和柯西中值定理.1.2拉格朗日中值定理若函数满足如下条件：（）在闭区间上连续；（）在开区间内可导；则在内至少存在一点使得 （1） 显然，特别当时为罗尔定理。这表明罗尔定理
8、是拉格朗日的定理的一个特殊情形.证明：做辅助函数显然，(=0),且在上满足罗尔定理的另两个条件，故存在使，移项既得到所要证明的（1）式.拉格朗日中值定理的几何意义是：在满足定理条件的曲线上至少存在一点，该曲线在该点处的切线平行于曲线两端点的连线,我们在证明中引入辅助函数，正是曲线与直线.1.3柯西中值定理设函数满足：（）在闭区间上连续；（）在开区间内可导；（）不同时为零；（）则存在，使得证明：作辅助函数.易见在上满足罗尔定理条件，故存在，使得因为（否则由上式也为零），所以可把上式改成。注:若有=0，则若则.当函数在这表明在的附近可用一次多项式逼近，现在，我们希望用更高多项式逼近，因为多项式在运
9、算上最方便，且具有很好的性质.泰勒（1685-1731,英国数学家）最早考虑了这个问题.随着定理的不断深入，应该说泰勒公式才达到了中值定理的最后阶段.1.4泰勒公式若在上有直到阶连续导数，在上阶导数存在，则其中注意:当令:1.5常用微分中值定理及内在联系中值定理条 件结 论罗尔中值定理在闭区间上连续，内可导则，使得 柯西中值定理则，使得 则，使得 拉格朗日中值定理，在闭区间上连续，内可导，0，则，使得泰勒公式在上有直到阶连续导数，在上阶导数关系柯西和泰勒都是拉格朗日的推广，拉格朗日是罗尔的推广 表1-12 微分中值定理的应用2.1证明方程根的存在性把要证明的方程转化为的形式.对方程用下述方法：
10、（1） 根的存在定理若函数在区间上连续，且，则至少存在一点，.（2） 若函数的原函数在上满足罗尔定理的条件，则在内至少有一个零值点.（3） 若函数的原函数在处导数也存在，由费马定理知即.（4） 若在区间上连续且严格单调，则在内至多有一个零值点.若函数在两端点的函数（或极限）值同号，则无零值点，若函数在两端点的函数（或极限）值异号，则有一个零值点.（5） 用泰勒公式证明根的存在性.（6） 反证法.（7） 在证明方程根的存在性的过程中，经常用到拉格朗日定理，积分中值定理，有时也用到柯西中值定理来证明满足方程的存在性所需的条件，然后利用上的方法来证明方程根的存在性.例1 若在上连续，在内可导，证明：
11、在内方程至少存在一个根. 证明：令显然在上连续，在内可导，而且根据罗尔定理，至少存在一个，使至少存在一个根.2.2证明不等式不等式是数学中的重要内容和工具。在微分学中,微分中值定理在证明不等式中起着很大的作用.(1) 拉格朗日定理适用于已知函数导数的条件，证明涉及函数（值）的不等式(2) 泰勒公式适用于已知函数的高阶导数的条件，证明涉及函数（值）或低阶导函数（值）的不等式.例2 求证分析：根据不等式两边的代数式选取不同的,应用拉格朗日中值定理得出一个等式后,对这个等式根据取值范围的不同进行讨论,得到不等式.证明：当时，显然设对在以1与为端点的闭区间上用拉格朗日中值定理，有介于1与之间的，使,即
12、当时，但此时注意与均为负值，所以仍有，即对不等式恒成立.当时，所以有.注：学会把隐藏的条件找出来，即，然后就可以利用定理，这个结果以后可以作为结论用.例3 证明当时，证法一 分析：要证成立，只要证 成立，只要证成立，只要证成立，只要证成立，证明：设 由在上连续，在内可导,且，知在上严格递减，由，即成立，知成立，即成立，所以成立.证法二 证明：要证，只要证 成立 (1)设 ，由在上连续，在内可导,且于是，即 故原式成立.注：证明某些不等式时，可转化为区间两端点函数值大小的比较或化为右边为0的不等式，转化为区间内任意一点函数值与端点函数值或与趋于端点极限值的比较，然后利用单调性证明.能用单调性定理
13、证明的不等式，都可用拉格朗日中值定理证明，因为单调性定理就是拉格朗日中值定理证明的.相同的一道题可以有多种解法.2.3讨论函数的单调性,并利用函数的单调性求极值利用拉格朗日中值定理能够很方便的判断出函数的单调性, 其方法是:若函数在上连续, 在内可导, 则有:如果在 内,则在上单调增加;如果在 内, 则 在上单调减少. 另外, 在内除有个别点外,仍有 (或) ,则在上仍然是单调增加(或减少) 的,即连续函数在个别点处无导数并不影响函数的单调性.再利用函数的单调性及函数图像上峰值点与各值点的性质, 便可以很方便地求出函数的极值。其方法为:确定函数的定义域,并求出 ,然后求出定义域内的所有驻点,并
14、找出 连续但不存在的所有点,讨论所有驻点和不可导点左右两侧附近 的符号变化情况,从而确定函数的极值点,并求出相应的极大值或极小值.例4 求证时,证明：令因为在上连续, 在内可导,且=当时, 所以当时,是单调增加的.故当 时,即,从而例5 求的极值.解：函数的定义域为.而,令,即,解得驻点,且该函数在定义域内没有导数不存在的点.而当时,;当时,.所以,是函数的极小值点, 其极小值为.利用函数的单调性可证明某些不等式注：在求极值时，若极值的怀疑有导数不存在的点时，只能用列表法.2.4求极限对于有些求极限的题， 如果使用洛必达法则,则求导数的计算量很大.微分中值定理为求这样一些较难的极限提供了一种简单而有效的方法.其方法是对极限题中的某些部分构造辅助函数,使用微分中值定理,然后求出极.例6 求,其中.解：对应用拉格朗日中值定理,有=
