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1、跨越断层，走出误区：数学课程标准核心词的实践解读之五上海市静安区教育学院 曹培英随着社会信息化程度的日益提高，人们每天都要面对来自网络、新闻媒体等渠道的各种数据信息，我们的日常生活、学习与工作都比过去更加依赖形形色色的数据信息。因此，统计知识的习得与数据分析观念的形成，已成为当今社会每一位公民不可或缺的基本素养。正是在这一社会发展的大背景下，我国1998年颁布的本科专业目录中，统计学上升为与数学、物理学、化学等学科并列的一级学科，表明国家对统计学的重视与重新定位。2001 年颁布的全日制义务教育数学课程标准（实验稿）将原来的“统计初步知识”拓展为“统计与概率”，成为小学数学课程内容重新归并后的
2、四个学习领域之一，并提出了发展学生统计观念的培养目标。在此基础上，全日制义务教育数学课程标准（2011版）进一步将“统计观念”修改为“数据分析观念”。一、“统计观念”与“数据分析观念”从名词本身看，“统计观念”涵盖“数据分析观念”，前者更概括，后者更具体。从统计学科的研究内容看，统计学是一门收集、处理、分析、解释数据并从数据中得出结论的科学。由此可以认为，“数据分析是统计的核心”，将“统计观念”修改为“数据分析观念”，突显了统计的研究对象。从教学工作现状看，有研究显示：针对“您认为小学统计学习中，最重要的是什么?”以及“您如何定位小学统计课程?”两访谈问题，“我们的小学数学教师都从统计的应用、
3、统计图表、统计活动的视角出发，阐述自己的观点，然而对数据分析和随机观念却没有人提及”1。这与笔者近年来有关工作中的感受与评估基本一致。可见，将“统计观念”表述为“数据分析观念”，在一定程度上，有利于教师更深入地理解、把握“统计观念”的实质。从名词的界定看，全日制义务教育数学课程标准（实验稿）指出：“统计观念主要表现在：能从统计的角度思考与数据信息有关的问题；能通过收集数据、描述数据、分析数据的过程作出合理的决策，认识到统计对决策的作用；能对数据的来源、处理数据的方法，以及由此得到的结果进行合理的质疑。”这段话包含三层意思。首先是“统计思考”，其次是“统计过程及其认识”，再次是“对统计过程、方法
4、、结果的反思”。“统计思考”是就统计观念的总体而言，它的具体内容由后两层意思分述。明显的缺失是没有提及“随机性”。全日制义务教育数学课程标准（2011年版）指出：“数据分析观念包括：了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集数据，通过分析作出判断，体会数据中蕴含着信息；了解对于同样的数据可以有多种分析方法，需要根据问题的背景选择合适的方法；通过数据分析体验随机性，一方面对于同样的事情每次收集到的数据可能不同，另一方面只要有足够的数据就可能从中发现规律。”这段话也包含三层意思。对照比较：首先，修改后去掉了较为空洞的“统计思考”；然后，对统计观念的两个具体内容作了较大的调整；最后，增补了“体
5、验随机性”的学习要求。具体地说：关于“统计过程及其认识”，修改后将“决策”降低为“作出判断”，并强 调“数据蕴含信息”。这比较符合小学数学的教学实际。关于“对统计过程、方法、结果的反思”，淡化了“质疑”，强调了方法的“多样”与“合适”，也涵盖了统计的问题解决。考虑到当前社会上忽悠人的虚假数据、不实信息较多，笔者以为，保留“质疑”较妥。而且实践表明，在使小学生“了解对于同样的数据可以有多种分析方法，需要根据问题的背景选择合适方法”的同时，“能对数据的来源、处理、结果进行合理的质疑”，也是可行的。关于“体验随机性”，这一增补不仅十分必要，而且相当具体地从两方面刻画了随机性的涵义与体验途径，浅显地、
6、呼之欲出地渗透了偶然与必然的关系。二、“统计”与“概率”1.关于统计自统计与概率成为小学数学课程内容的学习领域之一以来，有关统计的内容一直处于与随机性无关的状态。似乎只有在教学“可能性”时，才涉及随机现象。尽管长期以来，在统计学领域内，存在不同学派，且争论不断，但统计学与概率论的结合，早已成为必然的发展趋势。很难想象，离开了概率论，今天的统计还能走多远。因为从采集数据开始，就会遇到不确定因素，就要对其影响加以估计。正如已故中科院院士陈希孺先生所言：“统计学是有关收集和分析带随机性误差的数据的科学和艺术”。2为什么极其现实的不确定因素、随机性误差，却始终与小学数学的统计教学绝缘呢？恐怕主要原因还
7、在于我们自身的认知偏差。如，充分考虑学生的接受能力，小学的统计对象只能都是确定性的，这样才能保证统计表、统计图、统计量有唯一的标准答案。又如，教材编排都是先学统计，再学可能性，没讲可能性，怎么渗透随机性呢，随机性只能在抛硬币、摸球、转盘等实验中才能体现。其实不然。以“统计全班每个同学最喜欢吃的水果”为例。这一统计题材，因其适合低年级学生的年龄特点，并比较容易让学生经历统计的全过程，而受到各地教师的青睐。一次观摩课，例题也是“最喜欢吃的水果”。与众不同的是，同一问题统计了两次，第一次由教师组织，第二次请学生代替老师主持，相当于巩固练习。不料，第二次统计结果：最喜欢吃苹果的比第一次少了1人，香蕉则
8、多了1人。有学生“检举”，是同桌两次举手变了造成的。教师回应：要认真参加统计，两次举手不能变，否则统计结果就不准确了。评课时，大家都认为执教老师将两次统计出现的误差，视为课堂上的生成性教育资源，利用得当。从学科德育角度讲，抓住偶发事件，进行一丝不苟的教育，也是数学精神的一种体现。但从培养数据分析观念角度看，又值得商榷。事实上，学生很可能因为苹果、香蕉都喜欢，导致前后不一，这本是正常现象，也是调查统计时常有的事。如果教师允许学生改变自己的选择，岂不就能让学生看到真实的一幕“同样的事情每次收集到的数据可能不同”。学科德育的契机经常有，数据随机性的自然表现倒是比较难得。如果说上面的实例可遇不可求，那
9、么有些数据的随机误差是可以“设计”、预期的。例如平均数的计算问题：让学生用他们自己的尺测量课桌的长、宽，量4次，算出平均数。也可以小组合作，每人量一次，算出小组测量值的平均数。由于“学生尺”刻度有限，测量课桌的长、宽，都需连续接着量几次，精确到厘米，也很容易出现误差。通过练习，既能让小学生感知测量误差，又能初步掌握解决测量误差的一般方法。类似的易于感知数据随机性的统计问题还有不少，如：一小盒葡萄干有多少粒？一口气能屏多长时间？一分钟脉搏跳动多少下？等等。原来数据的随机性离我们的课堂教学并不遥远，“预设”与“生成”都有可能使它落脚在小学生的最近发展区内。积累诸如此类的实践经验，自然就会有信心，从
10、开始教学统计起，就有意识地、不失时机地渗透随机性。历史地看，统计学是一门相当古老的科学。一般认为，它的学理研究始于古希腊亚里士多德时代，迄今已有2300多年的历史。而概率论，从“赌金分配问题”解决算起，至今还不到400年。也就是说，不依靠概率论的“古典统计学”有近2000年的历史。但是，自统计学接纳了概率论之后，就再也离不开它了。即便是社会统计学，也在介绍、应用概率知识。因为人们一旦认识了随机现象，放眼看去，原来日常生活中不确定性事物，远多于确定性事物。这与算术与代数的关系不同。从算术发展到代数之后，算术不仅是学习代数的基础，而且在日常生活中仍然占据不可替代的地位。因为日常生活所需，绝大多数是
11、算术运算。因此，不应片面地类比算术与代数，以为小学的统计与概率，统计还是原来的、古典的统计，只是最后再学一点概率（可能性）。虽然小学数学还是只讲描述统计，不讲推断统计、随机变量，但可以也应该渗透随机性，并容忍不确定性的存在。2.关于概率（1）学生认知基础的研究。早在上世纪80年代，我国心理学研究者就对儿童掌握概率概念作了实验研究，结论之一：“儿童的概率概念随年龄而发展，10岁左右起，简单概率概念发展加速，这也许是易于传授概率知识的时期。” 3前不久，笔者根据小学五年级教材中有关可能性大小的主要内容，编制五道试题，给270名还没有学习可能性知识的四年级学生做，以了解学生的起始状态。抛一枚硬币，结
12、果是（ ）。（正确率92.2%）A.正面朝上的可能性大 B.反面朝上的可能性大 C.正面、反面朝上的可能性相等 D.无法判断掷一个正方体骰子，结果是（ ）。（正确率89.6%）A.1点朝上的可能性大 B.2点朝上的可能性大 C.3点朝上的可能性大D.4点朝上的可能性大 E.5点朝上的可能性大 F.6点朝上的可能性大G.每面朝上的可能性相等 H.无法判断抛长方体骰子，结果是（ ）。（正确率85.5%）A面积大朝上的可能性大 B.面积小朝上的可能性大 C.每面朝上的可能性相等 D.无法判断袋里有10个球，3个黑色，7个白色。这些球摸不出区别，摸出来才知道是白、是黑。任意摸出一个球，摸出黑色球的可能
13、性大，还是摸出白色球的可能性大？为什么? （正确率98.5%） 袋里有6个球，3个黑色，3个白色。这些球摸不出区别，摸出来才知道是白、是黑。任意摸出一个球，摸出黑色球的可能性大，还是摸出白色球的可能性大？为什么? （正确率92.6%） 有81.6%的学生全对。看来，生活已经先于学校，使多数孩子获得了一些关于可能性的感性认识。作出错误选择、判断或解释的学生，原因多种多样。如第题，错误选择以选B、D为多，显然是受插图中2点朝上、4点在正面的影响。试测时已经发现插图容易生成干扰因素，但因为出现了学生极少见到的长方体骰子，所以只好配图。两道摸球题去掉了试测时的插图，实测时又冒出了其他误解。如第题，两色
14、球数相等，错误率明显高于同题材的第题，其中有学生以为“黑球先放进袋子，在下面，所以白色球摸到的可能性大”，显然是受题目叙述黑球在前、白球在后的影响。那么，是否增加“摇晃均匀再摸”，会消除叙述顺序的影响呢？不见得，因为有学生陈述的理由是“黑球会沉底”，由此生成两种截然相反的判断：“白球浮在面上容易摸到”；“摸的人喜欢摸底，摸到黑球可能性大”。可见，年龄又决定了孩子必然存在形形色色的天真想法。很明显，如果加深试题内涵，可以提高测试的区分度，但势必加大阅读难度，并出现更多的误解，从而降低测试的效度与信度。一位五年级老师看到第题的测试结果非常感慨。她说，好不容易按照教材组织学生开展实验，结果只有一半左
15、右的学生认为每个点数朝上的可能性相等，教还不如不教。这里不讨论实验目的定位在“发现等可能性”是否恰当，实验方式可以如何改进，综合以上事实只想说明：有关可能性大小的知识，在小学的教学空间比较有限；至少在目前，教与不教差别不大的现象在所难免。要想杜绝孩子匪夷所思的误解，明智的教学抉择之一就是“让孩子长大”。随着年龄的增长，幼稚的想法自然会减少。（2）教师知识现状的调研。新一轮课改启动之初，笔者连续两年的调研发现，概率统计是数学教师本体性知识盲点集中的内容之一。4之后的其他有关研究，也从不同角度相继得出类似结论。新近还有小学统计教学现状的研究称“发现课堂教学中仍存在着教学目标定位偏差、教学活动设计割裂、教学活动组织浅表、教学活动评价盲目等问题。究其原因主要是：教师自身由于统计知识的不足以及相关培训的不力，对统计教材的解读能力与价值认识还不够”。5确实，目前针对小学数学教师的概率统计知识培训，效果不够理想。甚至有教师反映，越学越“糊涂”。教师培训跟不上，课堂教学改进就难免盲目，陷入误区。（3）理论支撑的现状。相关培训不力的现状，既有实践问题，也有理论支撑问题。多年来，我们如饥似渴地从课程论、
