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1、例1、 已知函数表-112-304求f (x)的Lagrange二次插值多项式和Newton二次插值多项式。解：(1)由题可知插值基函数分别为故所求二次拉格朗日插值多项式为(2)阶均差、二阶均差分别为设 f (x) = x2 + 3x + 2， x g 0,1，试求 f (x)在0,1上关于 p (x) = 1， O = span 1,x的最佳平 方逼近多项式。解：若O = span1,x，则中0(x) = 1， %(x) = x，且 p(x) = 1，这样，有所以，法方程为1213，经过消元得23 6 94再回代解该方程，得到a1 = 4，a0 =-故，所求最佳平方逼近多项式为 *(x)=旦
2、 + 4 x16例3、-设 f (x) = ex， x g 0,1，试求 f (x)在0,1上关于 p (x) = 1，=span (1, x的最佳平方逼近解：若 =span 1,x, 则中0(x) = 1, %(x) = x，这样，有所以，法方程为解法方程，得到 a0 = 0.8732 ,气=1.6902 ,离，所求最佳平方逼近多项式为例4、用n = 4的复合梯形和复合辛普森公式计算积分j 9点办。1多项式。解：(1) 用n = 4的复合梯形公式由于 h = 2， f (x)= tx， x = 1 + 2k (k = 1,2,3 )，所以，有(2) 用n = 4的复合辛普森公式由于 h =
3、2，f (x )=Tx，xk = 1 + 2k (k = 1,2,3 )，x 广2 + 2k (k = 0,1,2,3 )，所以，有例 15、 用列主元消去法求解下列线性方程组的解。解：先消元再回代，得到x3 = 3, x2= 2，x1 = 1k + 2所以，线性方程组的解为x1 = 1，x2 = 2，x3 = 3例6、左 八. 占、 用直接三角分解法求下列线性方程组的解。解：设则由A = LU的对应元素相等，有113 - 6，1l31u11 = 2 n l31 = 2，_17_1_1=，lu + Um = =n Um =，226021 1323 5234511u11 = 4， u12 = 5
4、，L、u、c + 1/烦5 = 1 n l” = 36 31 1232 2232因此，13l u +1 u + u 2 = u -31 1332 233333 检1001y 19 -4101y。832361J 2L3_8 _解 Ly b，即，得y1 9，y2=4，y3 = 154151614解Ux y，即0016001451315x1X2Xc394 ，得 x3 = 177.69，x2 476.92，气227.08154所以，线性方程组的解为 x1 = 227.08，x2 476.92，x3 =177.691、若A是nx n阶非奇异阵，则必存在单位下三角阵l和上三角阵U，使A - LU唯成立。
5、（）2、当n8时，Newtoncotes型求积公式会产生数值不稳定性。（）上bf (x)dx - AJ (x,) 3、形如 a.=1 数为2n +1 o (A = 214、矩阵0 12 J 的2范数 IIA 2 =9oA 5、设，则对任意实数a。0，方程组Ax - b都是病态的。（用1）（）的高斯（Gauss ）型求积公式具有最高代数精确度的次 ）6、设 A g Rnxn，Q e Rnxn， 且有QQ - I （单位阵），则有II All 2 =倒2。（）7、区间a,b上关于权函数w（x）的直交多项式是存在的，且唯一。（）1、（ X ）2、 （V ）3、（X）4、（V ）5、（X）6、（V）7
6、、（X ）8、（X）一、判断题（10X1，）1、若A是n阶非奇异矩阵，则线性方程组AX=b 一定可以使用高斯消元法求解。（X）2、解非线性方程fx）=0的牛顿迭代法在单根*附近是平方收敛的。（?）3、若A为n阶方阵，且其元素满足不等式则解线性方程组AX=b的高斯一一塞德尔迭代法一定收敛。（X）4、样条插值一种分段插值。（?）5、如果插值结点相同，在满足相同插值条件下所有的插值多项式是等价的。（?）6、从实际问题的精确解到实际的计算结果间的误差有模型误差、观测误差、截断误差及舍入误差。（?）7、解线性方程组的的平方根直接解法适用于任何线性方程组AX=b0 （X）8、迭代解法的舍入误差估计要从第一
7、步迭代计算的舍入误差开始估计，直到最后一步迭代计算的 舍入误差。（X）9、数值计算中的总误差如果只考虑截断误差和舍入误差，则误差的最佳分配原则是截断误差=舍入误差。（?）10、插值计算中避免外插是为了减少舍入误差。（X）1. 用计算机求VL时，应按照n从小到大的顺序相加。（）ni000 n=12. 为了减少误差,应将表达式克前J1999改写为一2进行计算。（对）2001 + 59993. 用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。（）4. 用迭代法解线性方程组时，迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变方式有关，与常数项无关。（）复习试题一、填空题：-4 1 0 -11A =A=
8、1 4 11、0 1 4，则A的LU分解为14 10A = V 4115/4 1答案:0 415 1_|_56/152、已知f二1.0, f（2）= 1.2, f=L3，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得13f公用三点式求得广牝。答案：2367, 0.253、f（1）= -1, f（2）= 2, f（3）=1，则过这三点的二次插值多项式中x2的系数为，拉格朗日插值多 -来源网络，仅供个人学习参考项式为。，、1， C、 1，答案 1 乙2（*）= 2（x 2）（x 3） 2（x _】）（x 3） - 2（x -1）（ x - 2）4、近似值x* = 0.231关于真值x = 0.229有(2)位有
9、效数字;5、设/ 可微,求方程x = / 的牛顿迭代格式是();答案+16、对 f(x) = x3 + x +1，差商 f0,1,2,3 = (I), f 0,1,2,3,4 =(0)；7、计算方法主要研究(截断)误差和(舍入)误差；b a8、用二分法求非线性方程f(x)=0在区间(a,b)内的根时，二分n次后的误差限为(2n+1 )；10、已知f(1)=2, f2)=3, f4)=5.9，则二次Newton插值多项式中x2系数为(015);11、12、j1 f (x)dx1 f(x)dx r - f(土1) + f (Mi1)两点式高斯型求积公式j0fQ( 022气32弟)，代数精度为(5)
10、;解线性方程组Ax=b的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A的各阶顺序主子式均不为零)。13、34y = 10 + - 为了使计算 x11 (x-1)2(x-1)3的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为/1y = 10 + （3 + （4 6t）t）t, t =-x 1，为了减少舍入误差，应将表达式%祯 1999改写为22001 .1999。14、用二分法求方程f (x) = x3 + x -1 = 0在区间0,1内的根，进行一步后根的所在区间为0.5，1,进行两步后根的所在区间为0.5, 0.75。15、计算积分j:丁康,取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为04268,用辛卜生公式计
11、算求得的近似值为0.4309,梯形公式的代数精度为1，辛卜生公式的代数精度为3。 3x1 + 5x2 TJx(k+1) = (1 5x2k)/316、 求解方程组I0-2x1 + 4x2 = 0的高斯一塞德尔迭代格式为尸)=-x(k+1)/20，该迭代格式的迭1代矩阵的谱半径P (M ) = 12。17、设 f(。)=。，了(1)= 16,f =46,则= /(*) = -x(x-2), f(x)的二次牛顿插值多项式为N2 (x) = 16x + 7x(% -1) obf(x)dx q X A f(x )18、求积公式。k=Q k *的代数精度以(高斯型)求积公式为最高，具有(2 + 1)次代
12、数精度。19、已知犬1)=1/(3)=5/5)=3,用辛普生求积公式求5 心X2)o20、设犬1)=1,式2)=2,式3)=0,用三点式求广*2.5)。21、如果用二分法求方程曷+ s4 = 0在区间1内的根精确到三位小数，需对分 (10)次。23、任),/,/*)是以整数点君,气,尤为节点的Lagrange插值基函数，贝!|(x) =/g X / (X ) = .(X4 + 工2 + 3)/ (X),、k (1)，_ * j k (七)，当 N 2 时 _ k k k (%4 + X2 + 3)Ok- 0k, =0Jk, 0r( )_126、改变函数fM) = VTTT-&Gi)的形式，使计
13、算结果较精确一 &ZT+ &。27、若用二分法求方程出)=0在区间1,2内的根，要求精确到第3位小数，则 需要对分10次。29、若用复化梯形公式计算站，要求误差不超过io一6,利用余项公式估计， 至少用477个求积节点。x +1.6% = 1 1230、写出求解方程组-0.4%+% =2的 Gauss-Seidel迭代公式f M+i) = 1 1.6尤Q),f0 -1.6尤1+1) = 2 + 0.4M+1) =迭代矩阵为 0 0.64J, 此迭代法是否收敛收敛。J5 4)261231、设 A =4 3上则|4广2。32、33、34、设矩阵 L1 3 6的A = LU贝! = 若/(x) = 3x4 + 2x + l,则差商 /2,4,8,16,32 = 3。2数值积分公式V(g a 9/(-1)+8/(0)+/，(1)的代数精度为务35、 线性方程组最小二乘解为U九A= 2 036、设矩阵 1 35分解为A = W，则=2_4-30110 T 21
