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1、线性规划问题及其数学模型第二章线性规划的对偶理论与灵敏度剖析习题1. 写出下列线性规划问题的对偶问题。minz2x12x24x3maxz5x16x23x3x13x24x32x12x22x35(1)2x1x23x33(2)x15x2x33x14x23x354x17x23x38x1,x20,x3无拘束x1无拘束,x20,x30mnnminzcjxjminzcijxijj1i1j1nnaijxjbi(i1,m1m)(3)xijai(i1,m)(4)jj11mnaijxjbi(im11,m22,m)xijbj(j1,n)i1j1xij0(i1,m;j1,n)xj0无拘束(j1,n1,n)2.判断下列说
2、法是否正确，为什么?(1) 如果线性规划的原问题存在可行解，则其对偶问题也一定存在可行解；(2) 如果线性规划的对偶问题无可行解，则原问题也一定无可行解；(3)在互为对偶的一对原问题与对偶问题中，不论原问题是求极大或极小，原问题可行解的目标函数值一定不超过其对偶问题可行解的目标函数值；(4) 任何线性规划问题具有唯一的对偶问题。3. 已知某求极大化线性规划问题用纯真形法求解时的初始纯真形表及最终纯真形表如下表所示，求表中各括弧内未知数的值。322000CB基Bx1x2x3x4x5x60x4(b)1111002x515(a)120101x6202(c)1001cjzj00200010x45/40
3、0(d)(l)-1/4-1/43x125/410(e)03/4(i)2x25/201(f)0(h)1/2cjzj-1(k)(g)0-5/4(j)4. 给出线性规划问题minz2x13x25x36x4x12x23x3x422x1x2x3x43xj0(j1,4)(1)写出其对偶问题；(2)用图解法求解对偶问题；(3)利用(2)的结果及根据对偶问题性质写出原问题最优解。5. 给出线性规划问题maxzx12x2x3x12x2x32x1x2x312x1x2x32x10,x20,x3无拘束(1)写出其对偶问题；(2)利用对偶问题性质证明原问题目标函数值z1。6. 已知线性规划问题maxzx1x2x1x2x
4、322x1x2x31x1,x2,x30试根据对偶问题性质证明上述线性规划问题目标函数值无界。7. 给出线性规划问题2maxz2x14x2x3x4x13x2x482x1x26x2x3x46x1x2x39xj0(j1,4)要求：（1）写出其对偶问题；（2）已知原问题最优解为X*=(2,2,4,0)，试根据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。8. 已知线性规划问题A和B如下：问题A问题Bnmaxzncjxj对偶变量maxzcjxj对偶变量j1j1nn51jx51?1a1jxjb1y1jabyj1j1nn11?a2jxjb2y2a2jxjb2y2j1j155nn(a3j3a1j)xj?a3jxjb3y
5、3b33b1y3j1j1xj0j1,nxj0j1,n试分别写出y同y(i1,2,3)间的关系式。?ii9. 用对偶纯真形法求解下列线性规划问题。minz4x112x218x3minz5x12x24x3x13x233x1x22x44（1）（2）2x22x356x13x25x310xj0(j1,2,3)xj0(j1,2,3)10. 考虑如下线性规划问题：minz60x140x280x33x12x2x324x1x23x342x12x22x33xj0(j1,2,3)要求：(1)写出其对偶问题；(2)用对偶纯真形法求解原问题；(3)用纯真形法求解其对偶问题；(4)对照(2)与(3)中每步计算得到的结果。
6、311. 已知线性规划问题：maxz2x1x2x3x1x2x36x22x24xj0(j1,2,3)先用纯真形法求出最优解，再剖析在下列条件独自变化的情况下最优解的变化。(1)目标函数变为maxz2x1+3x2+x3；63(2)拘束右端项由变为。4 4(3) 增添一个新的拘束条件-x1+2x32。12. 给出线性规划问题maxz2x13x2x31x11x21x313331x14x27x23333xj0(j1,2,3)用纯真形法求解得最终纯真形表见下表。23100CB基Bx1x2x3x4x52x1110-14-13x22012-11cjzj00-3-5-1试剖析下列各样条件下最优解(基)的变化：(
7、1) 目标函数中变量x3的系数变为6；(2) 分别确定目标函数中变量xl和x2的系数c1、c2在什么范围内变动时最优解不变；（3）拘束条件右端项由12变为；33x6,P61（4）增加一个新的变量,c67；14(5) 增添一个新的拘束x1+2x2+x34。13.剖析下列线性规划问题中，当且变化时最优解的变化，并画出z()对的变化关系图。1minzx1x2x32x42maxz3x12x2x1x32x422x15x2106x1x2122x1x23x45x1x21xj0j1,4xj0j1,23minzx1x22x3x44maxz3x12x25x3x12x3x42x12x2x3403x12x3602x2
8、x3x41x14x2307xj0j1,4xj0j1,2,314. 某厂生产A，B，C三种产品，其所需劳动力、材料等相关数据见下表。要求：(1)确定获利最大的产品生产计划；(2)产品A的收益在什么范围内变动时，上述最优计划不变；(3)如果设计一种新产品D，单件劳动力消耗为8单位，材料消耗为2单位，每件可获利3元，问该种产品是否值得生产?(4)如果劳动力数量不增，材料不足时可从市场购置，每单位0.4元。问该厂要不要购进原材料扩大生产，以购多少为宜。ABC可用量劳动力63545材料34530产品收益（元/件）31415. 已知线性规划问题maxz(c1t1)x1c2x2c3x30x40x5a11x1a12x2a13x3x4b13t2a21x1a22x2a23x3x5b2t2xj0(j1,.,5)当t1t20时求得解最终纯真形表进见下表。5项目x1x2x3x4x500.510.
