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1、 .wd.刚体的转动惯量专题1.刚体的转动惯量的三要素 刚体对某轴的转动惯量，是描述刚体在绕该轴的转动过程中转动惯性的物理量. 有转动惯量的定义式可看出，刚体的转动惯量是与以下三个因素有关的. 1与刚体的质量有关. 例如半径一样的两个圆柱体，而它们的质量不同，显然，对于相应的转轴，质量大的转动惯量也较大. 2在质量一定的情况下，与质量的分布有关. 例如，质量一样、半径也一样的圆盘与圆环，二者的质量分布不同，圆环的质量集中分布在边缘，而圆盘的质量分布在整个圆面上，所以，圆环的转动惯量较大.3还与给定转轴的位置有关，即同一刚体对于不同的转轴，其转动惯量的大小也是不等的. 例如，同一细长杆，对通过其
2、质心且垂直于杆的转轴和通过其一端且垂直于杆的转轴，二者的转动惯量不一样，且后者较大. 这是由于转轴的位置不同，从而也就影响了转动惯量的大小. 刚体的转动惯量的三要素：刚体的总质量、刚体的质量分布情况、转轴的位置. 2.转动惯量的普遍公式1转动惯量的定义式可知，对于形状规则、质量均匀分布的连续刚体，其对特殊轴的转动惯量的计算可借助于定积分. 这是，可设想将刚体分成许多小线元、面元、体元.于是一般说来，这是个三重的体积分，但对于有一定对称性的物体，积分的重数可以减少，甚至不需要积分.2刚体对某轴的转动惯量刚体对轴的转动惯量刚体对轴的转动惯量刚体对轴的转动惯量仿照刚体对某轴的转动惯量来定义刚体对于某
3、点的转动惯量：刚体中各质点的质量各自与其至某参考点的距离的平方的乘积，所得总和称为刚体对该点的转动惯量.3刚体对某点的转动惯量刚体对坐标原点的转动惯量可表示为由式、，得即，质点系刚体对于坐标原点的转动惯量或极转动惯量，等于它对于三个坐标轴的转动惯量之和的一半.3.刚体的平行轴定理许泰乃尔定理即，刚体对于任何一轴的转动惯量，等于刚体对于通过它的质心并与该轴平行的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积.注意：平行轴定理与刚体对质心轴的转动惯量严密联系在一起，应用此定理的参考点是刚体对质心轴的转动惯量. 根据平行轴定理，可得到如下关系： 1刚体绕通过质心的轴的转动惯量小于绕另一平行轴的转动惯
4、量，二者之差为. 2设有两条平行轴与均不通过质心. 如果比靠近，则刚体绕轴的转动惯量小于绕轴的转动惯量如图7.52(a)所示.图7.52 平行轴定理的应用 (a) 在不同圆上；(b)同一圆上 3如果有一簇与质心的距离相等的平行轴，那么，刚体绕这些轴的转动惯量均相等如图7.52(b)所示.4.刚体的垂直轴定理正交轴定理、薄片定理设想刚体为平面薄片，即厚度可以略去不计，因而刚体为平面图形.即，平面图形对于图形内的两条正交轴的转动惯量之和，等于这个图形对过二轴交点且垂直于图形平面的那条转轴的转动惯量.注意：正交轴定理对于有限厚度的板不成立.5.转动惯量的叠加原理实际上，有些物体是由几种形状不同的刚体
5、的组合. 它对于某轴的转动惯量，可视为各局部对于同一转轴的转动惯量之和，因而，即，由几个局部组成的刚体对某轴的转动惯量，等于各局部对同轴的转动惯量之和. 此即转动惯量的叠加原理.叠加原理是根据加法的组合定则，把属于各局部的项分别相加，然后求和而得. 同理，设有一物体挖去假设干局部，则剩余局部的转动惯量，等于原物体的转动惯量，减去挖去局部的转动惯量.例题1 在质量为，半径为的匀质圆盘上挖出半径为的两个圆孔，圆孔中心在半径的中点，求剩余局部对过大圆盘中心且与盘面垂直的轴线的转动惯量.图7.53 转动惯量的叠加原理的应用解 大圆盘对过圆盘中心且与盘面垂直的轴线以下简称轴的转动惯量 为 . 由于对称放
6、置，两个小圆盘对轴的转动惯量相等，设为，圆盘质量的面密度，根据平行轴定理，有设挖去两个小圆盘后，剩余局部对轴的转动惯量为6.转动惯量的标度变换法转动惯量的标度变换法是计算转动惯量的一种简便的方法. 由于在几何上具有相似性的均匀物体，它们对相应转轴的转动惯量的表达式也具有相似性，在根据转动惯量的平行轴定理、叠加原理等，确定彼此关系，比拟系数，从而获得物体对该轴的转动惯量. 故这种方法可以不用积分即能求得某些特殊形状的物体的转动惯量.例题2 求均匀立方体绕通过面心的中心轴的转动惯量.图7.54 标度变换法用于计算立方体对通过面心的中心轴的转动惯量解 令立方体的总质量为，边长为，设均匀立方体绕通过面
7、心的中心轴的转动惯量为其中，系数是无量纲的量. 因为一切立方体在几何上都是相似的，它们应该具有同样的. 中心轴到棱边的距离为根据平行轴定理，立方体绕棱边的转动惯量为现将立方体等分为8个小立方体，每个小立方体的质量为，边长为，绕棱边的转动惯量为8个立方体绕棱边的转动惯量之和应等于大立方体绕中心轴的转动惯量，即比拟系数，得于是，求得所以，下面介绍利用定积分法计算质量均匀分布、图形具有对称性的刚体对于一些特殊的转轴的转动惯量.匀质细杆例题3 质量为、长为的匀质细杆，绕其质心且垂直于杆的轴旋转，杆的转动惯量是多少解 设杆的线密度为，则. 选择如以下图的坐标轴，杆的质心位于原点，取一个长度为、与质心的距
8、离为的微元，则图7.55 匀质细杆对质心轴的转动惯量根据平行轴定理，杆对通过其一端且垂直于杆的轴的转动惯量为当然用定积分也可得一样的结果.匀质正方形薄板例题4 求质量为、边长为的匀质正方形薄板对其边为轴的转动惯量.解 匀质薄板可视为细长条的组合. 根据叠加原理可得对一边的转动惯量.图7.56 匀质正方形薄板对一边为轴的转动惯量同理，可得或利用定积分，其中，为面密度.对轴的转动惯量对质心轴的转动惯量对以对角线为轴的转动惯量当然，对轴的转动惯量也可用二重积分计算得到.匀质矩形薄板例题5 求质量为、长和宽分别为和的匀质矩形薄板对其边为轴的转动惯量.解 方法同上，不难得到图7.57 匀质矩形薄板对一边
9、为轴的转动惯量由垂直轴定理，可以进一步求得矩形薄板对通过顶点且垂直于板平面的轴的转动惯量如图7.57为当然，对轴的转动惯量也可用二重积分计算得到.矩形薄板对通过质心且垂直于板平面的轴的转动惯量为图7.58 匀质矩形薄板对过中心且垂直于板面的轴的转动惯量另解：从量纲上考虑，所求的转动惯量可表示为其中，为待定系数.将和转置后，但不会因为和转置而发生变化，比拟系数，有则利用匀质矩形板可等分为两个小匀质矩形板的特点，如图7.54所示，有比拟系数，有得，因而，匀质长方体例题6 求质量为、长、宽和高分别为、和的匀质长方体对其棱边为轴的转动惯量.图7.59 匀质长方体对其棱边为轴的转动惯量解 由叠加原理，不
10、难得到以棱边为轴的转动惯量同理可得，以棱边为轴的转动惯量以棱边为轴的转动惯量当然，对轴的转动惯量也可用三重积分计算得到.对轴的转动惯量也可用三重积分计算得到.对轴的转动惯量也可用三重积分计算得到.根据平行轴定理，对通过长方体面心为轴的转动惯量如果将上述长方体换成边长为的立方体，则绕其棱边的转动惯量均相等，且对通过正方体面心为轴的转动惯量余此类推.对于特殊刚体，线线段面矩形 体长方体匀质细圆环例题7 求质量为、半径为的匀质细圆环对通过中心并与环面垂直的轴的转动惯量.图7.60 匀质细圆环对通过中心并与环面垂直的轴的转动惯量解 细圆环的质量可以认为全局部布在半径为的圆周上，即在距离中心小于或大于的
11、各处，质量均为零，所以转动惯量为或又由垂直轴定理，可以得到其对直径为转轴的转动惯量为再利用平行轴定理，可得细圆环对其任意切线为转轴的转动惯量为.图7.61 匀质细圆环对任意切线为轴的转动惯量其中，为细圆环的线密度，则细圆环对切线的转动惯量匀质中空薄圆盘例题8 求质量为、内半径为、外半径为的匀质中空薄圆盘对通过中心并与盘面垂直的轴的转动惯量.图7.62 匀质中空薄圆盘对通过中心并与盘面垂直的轴的转动惯量解 匀质中空薄圆盘可视为无限多个同心的细圆环的组合，所以，根据叠加原理可以得到该中空薄圆盘对通过中心且垂直于盘面的转轴的转动惯量. 中空薄圆盘的质量为其中，为中空薄圆盘的面密度，则中空薄圆盘对通过
12、中心且垂直于盘面的转轴的转动惯量当然，中空薄圆盘对通过中心且垂直于盘面的转轴的转动惯量也可用二重积分计算得到.匀质薄圆盘例题9 求质量为、半径为的匀质薄圆盘对通过中心并与环面垂直的轴的转动惯量.图7.63 匀质薄圆盘对通过中心并与环面垂直的轴的转动惯量解 匀质薄圆盘可视为无限多个同心的细圆环的组合，所以，根据叠加原理可以得到该厚圆环对通过中心且垂直于环面的转轴的转动惯量. 薄圆盘的质量为其中，为薄圆盘的面密度，则薄圆盘对通过中心且垂直于盘面的转轴的转动惯量当然，薄圆盘对通过中心且垂直于盘面的转轴的转动惯量也可用二重积分计算得到.可见，薄圆盘是中空圆盘的特例. 同样，根据垂直轴定理，得其对直径为
13、转轴的转动惯量为再利用平行轴定理，可得其对切线为转轴的转动惯量为匀质薄壁圆筒例题10 求质量为、半径为的匀质薄壁圆筒对中心轴线的转动惯量.解 匀质薄壁圆筒可视为半径一样，圆心在同一条直线上且各个环面均垂直于该直线的一系列细圆环的组合. 根据叠加原理，由圆环对该直线的转动惯量较易求出此圆筒对该直线为转轴的转动惯量图7.64 匀质薄壁圆筒对中心轴线的转动惯量当然，也可定积分法求解.匀质中空圆柱体例题11 求质量为、内半径为、外半径为的匀质中空圆柱体对中心轴线的转动惯量.图7.65 匀质中空圆柱体对中心轴线的转动惯量解 匀质中空圆柱体可视圆心在同一条直线上且环面均垂直于该直线的一系列中空圆盘的组合.
14、 根据叠加原理，由中空圆盘对该直线的转动惯量较易求出此中空圆柱体对该直线为转轴的转动惯量当然，也可定积分法求解.其中，为体密度.匀质实心圆柱体例题12 求质量为、半径为的匀质实心圆柱体对中心轴线的转动惯量.图7.66 匀质实心圆柱体对中心轴线的转动惯量解 匀质实心圆柱体可视圆心在同一条直线上且圆面均垂直于该直线的一系列薄圆盘的组合. 根据叠加原理，由薄圆盘对该直线的转动惯量较易求出此圆柱体对该直线为转轴的转动惯量当然，也可定积分法求解.其中，为体密度.当然，实心圆柱体对中心轴线的转动惯量可用三重积分计算得到.可见，厚圆筒是实心圆柱体的特例.同样，根据垂直轴定理，得其对直径为转轴的转动惯量为匀质实心圆柱体例题12 求质量为、半径为的匀质实心圆柱体对中心直径为轴的转动惯量.图7.67 匀质实心圆柱体对中心直径的转动惯量解 设匀质实心圆柱体由与、围成.其中，为体密度.绕轴的转动惯量为同理可得，绕轴的转动惯量为匀质实心圆柱体例题13 求质量为、半径为的匀质实心圆柱体对端面直径为轴的转动惯量.图7.68 匀质实心圆柱体对端面直径的转动惯量解 设匀质实
