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1、思想二 分类讨论思想 分类讨论思想是一种重要的数学思想方法其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度分类讨论的常见类型(1)由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等(3)由数学运算
2、要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等(4)由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置需要分类：如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等(5)由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法(6)由实际意义引起的讨论：此类问题在应用题中，特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用 分类讨论的原则(1)不重不漏(2)标准要统一，层次要分明 (3)能不分类的要尽量避免或
3、尽量推迟，决不无原则地讨论解分类问题的步骤(1)确定分类讨论的对象：即对哪个变量或参数进行分类讨论(2)对所讨论的对象进行合理的分类(3)逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决(4)归纳总结：将各类情况总结归纳.【热点分类突破】类型一：分类讨论思想在集合与简易逻辑中的运用例1. 【2017届黑龙江虎林一中高三上期中】已知，其中，如果，求实数的取值范围.试题分析：化简得，由得时，时时，解出并验证即可得出结果.综上所述， 实数的取值范围是或者 .点评：本题考查了集合的运算性质、方程的实数根与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.解本题时，通过深刻理解集合表示法的转化及集合之间的关系
4、，把求参数问题转化为解方程之类的常见数学问题，集合、均是关于的一元二次方程的解集，特别容易出现的错误是遗漏了的情形，当时，则有或，避免出现出错的方法是培养分类讨论的数学思想方法和经验的积累. 例2.【2017届辽宁鞍山一中高三上一模】已知命题指数函数的定义域为；命题不等式，对上恒成立.（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；（2）若命题“”为真命题，命题“”为假命题，求实数的取值范围.试题分析：（1） 命题为真命题等价于在上恒成立，分与由二次函数的性质讨论即可；（2） 命题“”为真命题，命题“”为假命题等价于命题与命题一真一假，先分别求出命题为真命题、命题为真命题时的范围，再求“真假”与“假真
5、”时的范围，再求的并集即可.试题解析：（1）由题意：当时，的定义域不为，不合题意. 当时，且，故 ；（2）若为真，则，对上恒成立，为增函数且，故. “”为真命题，命题“”为假命题，等价于一真一假，故. 点评：本题考查对数函数的图象与性质、逻辑联结词与命题、全称命题与特称命题，属容易题；当两个命题均为真命题时，“”为真命题，其余为假命题，当两个命题均为假命题时，“”为假命题，其余为真命题，由此可得“”为真命题，命题“”为假命题，等价于一真一假，是解本题的关键.规律总结：已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Ve
6、nn图帮助分析，而且经常要对参数进行讨论 举一反三1.【2017届黑龙江宝清县高级中学高三上期中】设集合，（1）若，求；（2）若，求实数的取值集合2. 【2017届山东寿光现代中学高三实验班10月月考】已知命题函数的定义域为，命题关于的方程的两个实根均大于3，若“或”为真，“且”为假，求实数的取值范围试题解析：若真，则， 若真，令，则应满足，又由题意可得真假或假真，若真假，则，无解，若假真，则，综上可得，的取值范围是。类型二：分类讨论思想在导数中的运用例3. 【山西运城2017届高三上学期期中】已知函数（）（1）若，求函数的极值；（2）当时，判断函数在区间上零点的个数试题分析：（1）求得，当时
7、，利用列表法可求得函数的单调区间和极值，极小值为，极大值为；（2），当时，在上单调递增，在上递减利用二分法可求得在上有两个零点；当时，在上有两个零点；当时, 利用二分法可求得在上有两个零点；当时，利用二分法可求得在上有一个零点；当时，,得在上有一个零点.综上当时有个零点，当时，有两个零点.试题解析：（1），递减极小值递增极大值递减所以的极小值为，极大值为当时，所以在上单调递增，在上递减，在上递增又因为，所以在上有且仅有一个零点，在上没有零点，所以在上有且仅有一个零点；当时，恒成立，在单调递增，所以在上有且仅有一个零点，综上可知，当时，在上有且仅有一个零点；当时，在上有两个零点点评：本题主要考查
8、考查导数与极值、最值的问题，考查分类讨论的数学思想方法，考查零点与二分法等知识.第一问求函数的单调区间与极值，只需利用导数，因式分解后利用列表法求得函数的单调区间与极值.第二问在第一问的基础上，的范围放大，同第一问的方法，根据导数的零点是否在区间上，利用导数和二分法讨论函数的零点个数.规律总结：函数是具体的，其单调性和最值都很明确，定义域是变化的，这类问题分类讨论的标准就是看最值点是否在定义域内【举一反三】【广东2017届高三上学期阶段性测评】已知函数，其中.（）当时，讨论的单调性；（）当时，恒成立，求的取值范围.【解析】（）函数的定义域为，设，（1）当时，成立，故成立，在上为增函数；（2）当
9、时，令，得.显然，当时，为增函数，当时， 为减函数，当时，为增函数，综上，当时，在上为增函数，当时，在，上为增函数，在上为减函数. 类型三：分类讨论思想在解析几何中的运用例4. 【四川省凉山州2017届高中毕业班第一次诊断性检测】设椭圆：的离心率为，上一点到右焦点距离的最小值为1（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线交椭圆于不同的两点，求的取值范围试题分析：(1)由题意，解出 及的值即可；(2)先讨论当不存在时，的值，当当存在时，可设直线方程为，联立方程组，由求出 的范围，由根与系数关系用表示，由向量的坐标运算用表示，即可求出的取值范围.试题解析： （1）由题意得，且，故，椭圆的方程为（2）当不
10、存在时，；当存在时，设直线方程为，则有整理得，（i） 又，（ii），从而，（iii） （iii）代入（ii）中，点评：本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与椭圆的位置关系及向量的坐标运算，属中档题.求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法：根据条件确定关于a，b，c的方程组，解出a2，b2，从而写出椭圆的标准方程解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单规律总结：求解有关几何问题中，由于几何元素的形状、位置变化的不确定性，所以需要根据图形的特征进行分类讨论一般由图形的位置或形状变化引发的讨论包括：二次函数对称轴位置的变化；函数问题中区间的变化；函数图象形状的变化；直线由斜率引起的位置变化；圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化【举一反三】【广东佛山2017届高三教学质量检测（一）】已知椭圆过点，且离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）若过原点的直线与椭圆交于两点，且在直线上存在点，使得为等边三角形，求直线的方程.【解析】（1）依题意得：，又，解得，所以椭圆的方程为. （2）显然，直线的斜率存在，设，则，当时，的垂直平分线为轴，轴与直线的交点为，因为，所以，则为等边三角形.此时直线的方程为.
