《【世纪金榜】高三文科数学总复习专项强化训练(三)数列的综合应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【世纪金榜】高三文科数学总复习专项强化训练(三)数列的综合应用（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。专项强化训练(三)数列的综合应用一、选择题1.设an,bn分别为等差数列与等比数列,a1=b1=4,a4=b4=1,则下列结论正确的是()A.a2b2B.a3b5D.a6b6【解析】选A.设an的公差为d,bn的公比为q,由题可得d=-1,q=,于是a2=3b2=2,故选A.【加固训练】若数列x,a1,a2,y成等差数列,x,b1,b2,y成等比数列,则的取值范围是.【解析】由等差数列与等比数列的性质得所以=2+.当x,y同号时,+2;当x,y异号时,+-2.所以的取值范
2、围为(-,04,+).答案:(-,04,+)2.已知数列an,bn满足a1=1,且an,an+1是函数f(x)=x2-bnx+2n的两个零点,则b10等于()A.24B.32C.48D.64【解析】选D.依题意有anan+1=2n,所以an+1an+2=2n+1.两式相除得=2,所以a1,a3,a5,成等比数列,a2,a4,a6,也成等比数列.而a1=1,a2=2,所以a10=224=32,a11=125=32.又因为an+an+1=bn,所以b10=a10+a11=64.3.设an(nN*)是等差数列,Sn是其前n项的和,且S5S8,则下列结论错误的是()A.dS5D.S6与S7均为Sn的最
3、大值【解析】选C.因为an是等差数列,所以Sn=n2+n.因为S5S8,所以Sn关于n的二次函数开口向下,对称轴为n=6.5,所以d0,S6与S7均为Sn的最大值,S90时,若x=n,nN*,则f(n)=f(n-1)+1=f(0)+n=n;若x不是整数,则f(x)=f(x-1)+1=f(x-x-1)+x+1,其中x代表x的整数部分,由f(x)=x得f(x-x-1)=x-x-1,其中-1x-x-10,y0),已知数列an满足:an=(nN*),若对任意正整数n,都有anak(kN*)成立,则ak的值为()A.B.2C.1D.4【解析】选A.an=,=,2n2-(n+1)2=n2-2n-1,只有当
4、n=1,2时,2n2(n+1)2,即当n3时,an+1an,故数列an中的最小项是a1,a2,a3中的较小者,a1=2,a2=1,a3=,故ak的值为.5.气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪,已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用,第n天的维修保养费为(nN*)元,使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指使用的这台仪器的平均耗资最少),一共使用了()A.600天B.800天C.1000天D.1200天【解析】选B.由第n天的维修保养费为(nN*)元,可以得出观测仪的整个耗资费用,由平均费用最少而求得最小值成立时的相应n的值.设一共使用了n天,则使用n天的平均耗资为=+,当且仅当=时取得最小
5、值,此时n=800,故选B.【方法技巧】建模解数列问题(1)分析题意,将文字语言转化为数学语言,找出相关量之间的关系.(2)构建数学模型,将实际问题抽象成数学问题,明确是等差数列问题、等比数列问题,是求和还是求项,还是其他数学问题.(3)通过建立的关系求出相关量.【加固训练】植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树,每人植一棵,相邻两棵树相距10米,开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边,现将树坑从1到20依次编号,为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小,树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为()A.1和20B.9和10C.9和11D.10和11【解析】选D.设树苗放在第i个树坑旁边
6、(如图所示)则各个树坑到第i个树坑的距离的和是S=10(i-1)+10(i-2)+10(i-i)+10(i+1)-i+10(20-i)=10+=10(i2-21i+210).所以当i=10或11时,S有最小值.二、填空题6.(2015镇江模拟)设曲线y=xn+1(nN*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,令an=lg xn,则a1+a2+a99的值为.【解析】因为y=xn+1(nN*),所以y=(n+1)xn(nN*),所以y|x=1=n+1,所以在点(1,1)处的切线方程为y-1=(n+1)(x-1),即(n+1)x-y-n=0,当y=0时,x=,所以xn=,所以an=lgx
7、n=lg=lg n-lg(n+1),所以a1+a2+a99=(lg1-lg2)+(lg2-lg3)+(lg3-lg4)+(lg99-lg100)=lg1-lg100=-2.答案:-27.某厂生产微机,原计划第一季度每月增产台数相同,在生产过程中,实际二月份比原计划多生产10台,三月份比原计划多生产25台,这样三个月产量成等比数列,而第三个月的产量比原计划第一季度总产量的一半少10台,则该厂第一季度实际生产微机台.【解析】原计划第一季度三个月分别生产a1,a1+d,a1+2d台微机,现在实际上生产了a1,a1+d+10,a1+2d+25台.由题意得解得故第一季度实际生产微机台数是3a1+3d+3
8、5=305.答案:3058.数列an的前n项和为Sn,若数列an的各项按如下规律排列:,有如下运算和结论:a24=;数列a1,a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9+a10,是等比数列;数列a1,a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9+a10,的前n项和为Tn=;若存在正整数k,使Sk10,Sk+110,则ak=.其中正确的结论有.(将你认为正确的结论的序号都填上)【解析】依题意,将数列an中的项依次按分母相同的项分成一组,第n组中的数的规律是:第n组中的数共有n个,并且每个数的分母均是n+1,分子由1依次增大到n,第n组中的各数和等于=,对于,注意到21=24=28,因此数列
9、an中的第24项应是第7组中的第3个数,即a24=,因此正确.对于,设bn为中的数列的通项,则bn=,显然该数列是等差数列,而不是等比数列,其前n项和等于=,因此不正确,正确.对于,注意到数列的前6组的所有项的和等于=10,因此满足条件的ak应是第6组中的第5个数,即ak=,因此正确.综上所述,其中正确的结论有.答案:三、解答题9.(2014天津高考)已知q和n均为给定的大于1的自然数.设集合M=0,1,2,q-1,集合A=x|x=x1+x2q+xnqn-1,xiM,i=1,2,n.(1)当q=2,n=3时,用列举法表示集合A.(2)设s,tA,s=a1+a2q+anqn-1,t=b1+b2q
10、+bnqn-1,其中ai,biM,i=1,2,n,证明:若anbn,则st.【解析】(1)当q=2,n=3时,M=0,1,A=x|x=x1+2x2+4x3,xiM,i=1,2,3.可得,A=0,1,2,3,4,5,6,7.(2)由s,tA,s=a1+a2q+anqn-1,t=b1+b2q+bnqn-1,ai,biM,i=1,2,n及anbn,可得s-t=（a1-b1）+（a2-b2）q+（an-1-bn-1）qn-2+（an-bn）qn-1（q-1）+（q-1）q+（q-1）qn-2-qn-1所以,s2时,|an|=an=3n-7,此时这个数列从第三项起是一个公差为3的等差数列,故Sn=|a1|+|a2|+a3+a4+an=(4+1)+2+5+(3n-7)=5+=-+10.所以Sn=这个式子中n=2时两段函数值相等,故可以写为Sn=方法二:设数列an的前n项和为Tn,则Tn=-.由于n2时,|an|=-an,所以此时Sn=-Tn=-+;当n2时,Sn=(-a1-a2)+(a3+a4+an)=-T2+(Tn-T2)=Tn-2T2=-+10.所以Sn=这个式子中n=2时两段函数值相等,故可以写为Sn=11.已知an是由正数组成的数列,a1=1且点(,an+1)(nN*)在函数y=x2+1的图象上.(1)求数列an的通项公式.(2)若数列b
