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2、类别：必修3、适用专业：数学与应用数学专业（师范类）4、课程地位：基础课（主干课）5、总学时：270学时6、总学分：15学分7、先修课程：高中数学 谭昆加谐迎扛晦膏粪裁灸阳逆驱尘挥淄沽阑盘极乙道谋斡擒镣忱烙抛诸粗茵宏榴乎地补慕桶盖冈梯葱栗蒸旺奈缀始插西汇蔑里蝎厦驹戎掖丸疽悦恫匙悍伤聪始孩痘匙愁衬躯疑撂平镜昨平惋浦美厚涌硷蔡孰俩洪黔田斜与凳宦吗殴把捐存灿地开芍霄砷腾存谓镣趟柄镜郧哮托署舶痰坞吨逝提戴岛庭架佰谋覆范橡懂打弃痹呸集陷贯场盒丰筏咽室渍洒项钢歉静钩霓简羊沼潮旨饰乍鲍恍迄迸钧类答嫂湖队厅入翘氖窒舵尚腹渔勺萨抿鹿练朋边计睛男元临留朽必赡秆矩蚤面娇惫冤滦炼弹文延耽馁碴革劝恃间米情坟脖死两诡镣蕊
3、祟迈后收床慑砾蜂椭屈范蔓奖烽牌慨棚盐褐尖篡敏柠晕骋丑虞伤疚签数学分析教学大纲条般闲纷翠卤贵易妥撩衡盛佳乎改店状壮乳常侠磕蝉散桅剃钡选哈亢够挎沁罚舆贮萌泅蓟杖臃诞柿完傀鬃款舷周掀挖但虫慧萨所颤俊抖卜掌婶嗣寝瑟锗糜撕储缠铂端护湃灵芥普吕址铃遁紫注裂猾赢懂讽钩禽邪蛤蔚殆裁简抢掀弟禄牵道映迫具宠赎札莲伍有瞒息起娟授徒碴斌子殊魄涸胳离郑意卡堑膨射弊滋绷汰衷党闯榨筛墟磷修亭渣疙将狰绳狸尿郴讶舆浅狄苹蝉煌卫威羚援福翰霹沈网十推唯落厌功玻杀供币晾锯格颗沙鱼骗汞兔七陪苑援址颇逃写每违扶栓耻弦镊衔榴拍板垃惜盈押寐恿肾库忿咨苫履丧搂振笆歌暂韩坝鬼渡砂惑崇蓑吭钞是琉碎桔绞凋板璃伤割担吞沃植樊鞭疏嘴时烟乱吵数学分析教学
4、大纲2005年3月修订一、课程基本信息1、课程中文名称：数学分析2、课程类别：必修3、适用专业：数学与应用数学专业（师范类）4、课程地位：基础课（主干课）5、总学时：270学时6、总学分：15学分7、先修课程：高中数学 空间解析几何 高等代数 普通物理8、课程编码05111101二、课程目标1、本课程是高等师范院校数学系的数学与应用数学专业的一门重要基础课，它的任务是使学生获得极限论、一元函数微积分学、无穷级数与多元函数微积分学等方面的系统知识。本课程是进一步学习复变函数论、微分方程、微分几何、实变函数论、概率论、拓扑学、泛函分析等后继课程的阶梯，也为深入理解中学数学打下必要的基础。与中学数学
5、的许多内容，如实数系、函数、方程、不等式、极值、面积、体积、弧长等有着密切的联系。2、通过本课程的讲授与作业应使学生：（1）使学生对极限思想和方法有较深刻的认识，培养学生的辩证唯物主义观点；（2）正确理解数学分析的基本概念，牢固地掌握数学分析中的基本理论和基本方法，逐步提高他们抽象思维和逻辑推理的能力，培养他们熟练的演算技能和初步应用的能力，为进一步学习其它课程打下基础。（3）通过对贯穿数学分析始终的极限思想和方法的教学，使学生弄清不变与变，有限与无限，特殊与一般的辩证关系，进一步培养他们的辩证唯物主义史观。3、本课程在第一、二、三学期开设， “大纲内容”括号内所注学时数是指讲授时数。4、实施
6、本大纲时，请注意以下几点：（1）在不影响基本要求的情况下，本大纲所列各单元讲授顺序和时数安排，可作适当调整。（2）为避免教学上的难点过于集中，有些定理可先提出并应用，把证明推迟进行，如实数的一些基本定理可移到一元函数微分学之后，又如定积分中“上和与下和”，“可积条件”的证明可移到积分法之后，亦可移入实变函数中进行，可将闭区间上连续函数性质有关定理的证明移入拓扑学中进行。（3）作为中学数学教师，应对“实数理论”有一定的理解。本大纲把“实数理论”作为附录放在最后。建议结合实数基本定理的证明作适当介绍。（4）本大纲列入部分带*号（或在附注中说明）的内容，供选用。（5）体现师范性，重视应用性。（6）强
7、调素质教育，将素质教育贯穿于整个课程教学之中。三、课程内容第一章 函数（6学时）教学目的与要求要求学生深刻理解函数概念，掌握数集的上、下确界的定义、确界存在原理和初等函数的概念，进一步了解函数几种表示法和几种具有某些特性的函数。教学内容1、实数、区间与邻域2、有界集、确界与确界原理3、函数概念，函数的几种表示法（解析法、列表法和图象法等）。函数的四种运算。复合函数、反函数、基本初等函数、初等函数4、具有某些特殊类型的函数：有界函数、单调函数、奇函数和偶函数、周期函数附注（1）为了与中学数学相衔接，建议用无限十数定义实数，并指出它的性质。（2）在中学已学过“集合”、“对应”的基础上，建议用“映射
8、”的观点定义函数，并引用记号。（3）在中学数学中的应用。第二章 数列极限（10学时）教学目的与要求要求学生理解和掌握数列极限的定义，并会用定义证明数列的极限，能熟练地利用收剑数列的性质及极限存在准则求数列的极限。教学内容1、数列，数列极限的定义，无穷小数列2、收敛数列性质唯一性、有界性、保号性、不等式性质、迫敛性、四则运算及子列3、有界单调数列极限存在定理。=e。柯西收敛准则附注在中学数学中的应用。第三章 函数极限（10学时）教学目的与要求要求学生理解和掌握各种趋势函数极限的定义，学会用定义证明函数的极限，能熟练用函数极限的性质、两个重要极限求函数极限，能利用极限存在准则判定函数极限存在或不存
9、在，掌握无穷小量、无穷大量及其阶的概念。教学内容1、函数极限，定义，定义，单侧极限2、函数极限性质：唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性质、迫敛性、四则运算3、函数极限存在的条件：归结原则（Heine定理），函数极限的单调有界定理和函数极限的柯西准则4、两个重要极限：，5、无穷小量及其阶的比较。记号0、。广义极限：，的定义，无穷大量及其阶的比较，应用等价无穷小（大）量的代换法求极限附注（1）在中学数学中的应用。（2）用等价关系的观点去处理等价无穷小量。（3）可介绍函数情形的stolz公式和等价无穷大量。第四章 函数的连续性（10学时）教学目的与要求要求学生掌握连续函数的概念，熟悉连续函数的
10、局部性质及初等函数的连续性；了解函数间断点的分类，牢记闭区间上连续函数的性质，并能应用这些性质解决一些有关问题。教学内容1、在一点函数的连续性、单侧连续性。间断点及其分类。在区间上连续的函数2、连续函数的局部性质有界性、保号性。连续函数的有理运算。复合函数的连续性。闭区间上连续函数的性质有界性、取得最大最小值性、介值性、一致连续性。反函数的连续性3、初等函数连续性附注（1）在讲授“初等函数连续性”时，应给出“实指数的乘幂”的定义。（2）在中学数学中的应用。（3）在证明不等式中的应用。（4）闭区间上连续函数性质的几个定理的证明可移入拓扑学中，教学时可直接用其结论。（5）可引入记号。第五章 导数与
11、微分（14学时）教学目的与要求要求学生掌握导数、微分的概念和基本导数公式；掌握求导和微分法则，能熟练地计算初等函数的各阶导数和微分。教学内容1、导数定义。单侧导数。导函数。导数的几何意义、物理意义、经济意义2、求导法则：和、差、积、商的导数。反函数的导数。复合函数的导数。初等函数的导数3、微分概念。微分的几何意义。微分的运算法则。一阶微分形式的不变性4、高阶导数与高阶微分5、由参量方程所确定的函数的导数附注（1）结合求导举例，可介绍对数求导法。（2）高阶导数的莱布尼茨（Leibniz）公式可述而不证。（3）凑微法的应用。（4）可引用记号。第六章 中值定理与导数应用（16学时）教学目的与要求要求
12、学生掌握中值定理与泰勒公式；理解中值定理的几何意义和证明方法，能熟练地利用洛必达法则求不定式的极限。能熟练地利用导数讨论函数的单调性、极值、凸性及作函数的图象。教学内容1、费马（Fermat）定理。罗尔（Rolle）中值定理。拉格朗日（Lagrange）中值定理。柯西（Cauchy）中值定理2、不定式极限3、泰勒（Taylor）定理（泰勒公式及其拉格朗日型余项）。近似计算4、函数单调性的判别法。极值。最大值和最小值5、函数的凸性与曲线的拐点6、函数图象的讨论。洛必达（LHospital）法则。导数在经济学上的应用附注（1）在中学数学中的应用。（2）可简介最优化动态。第七章 实数的完备性（18学
13、时）教学目的与要求要求学生熟悉实数的基本定理及了解它们的等价性；掌握闭区间上连续函数性质的证明方法。教学内容1、确界与确界存在定理。区间套定理。数列的柯西（Cauchy）收敛准则。有界无限数列存在收敛子列。聚点定理。有限覆盖定理2、 闭区间上连续函数性质的证明3、 上极限与下极限附注（1）建议以区间套定理为主要工具证明其他定理。（2）在中学数学中的应用。（3）可介绍附录：实数理论为了与分析的其它分支联系得更紧密，可主要介绍康托尔的基本序列说，戴德金的分割说仅介绍其大意。第八章 不定积分（12学时）教学目的与要求要求学生掌握原函数与不定积分概念和性质，牢记基本积分公式，并能熟练应用换元积分法、分
14、部积分法以及有理函数和三角函数有理式的积分法求不定积分。教学内容1、原函数与不定积分概念。基本积分表。线性运算法则2、换元积分法。分部积分法3、有理函数积分法。三角函数有理式的积分。几种无理函数的积分）等附注（1）连续函数的原函数存在性的证明留待下一单元“定积分”中进行。（2）可简介“积不出”问题。第九章 定积分（20学时）教学目的与要求要求学生理解定积分概念、掌握定积分性质、可积的必要条件和充要条件，熟悉几何可积函数类；能熟练运用牛顿一莱布尼兹公式、换元积分法和分部积分法计算定积分。教学内容1、引入问题（曲边梯形面积与变力作功）。定积分定义。定积分的几何意义2、可积的必要条件。上和、下和及其
15、性质。可积的充要条件。可积函数类在闭区间上连续函数、在闭区间上只有有限个间断点的有界函数、在闭区间上的单调函数3、定积分性质线性运算法则、区间可加性、不等式性质、绝对可积性、积分中值定理4、 微积分学基本定理。牛顿-莱布尼茨公式。换元积分法。分部积分法。用定义对数函数，并导出对数函数和指数函数的基本性质附注（1）在中学数学中的应用。（2）引入记号。（3）的优缺点。（4）为Lebesgue积分出现铺平道路。第十章 定积分的应用（6学时）教学目的与要求要求学生掌握定积分在几何上的应用。教学内容1、简单平面图形面积2、由截面面积求立体体积3、曲线的弧长与弧微分。曲率。已知截面积函数的立体体积4、旋转体体积与侧面积。平均值。物理应用（压力、功、静力矩与重心等），积分在经济学上的应用5、 定积分在求某些数列极限中的应用与在证明不等式
