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1、2014全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网 上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的 资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参 考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规 则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）
2、：所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员（打印并签名）：1.2. 3. 指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）：日期：2014年7月 17日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2014全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：机器人避障问题摘要本文主要以机器人在有12个障碍物的区域中如何避开障碍物及制定行径路 径为研究对象，在研究过程中，运用近似求解的思路，建立简单模型，并有效利 用MATLAB. Lingo等软件
3、进行程序的编辑，最终得出了较为准确的结论。首先在本文中，由题目分析可得，机器人的路径是由圆弧和直线段组成，由 于直线路径的长度一般来说远大于圆弧路径，所以可以先将经过障碍物顶点时的 转弯圆弧看做点，及以折线为路径，运用MATLAB编程，确定出最短距离时所 要经过的障碍物的大致路径，再精确求解路径。最后求解得到的结论：O-A、 O-B、O-C和O-A-B-C-O的最短路径分别依次为:467.26、853.8890、 1086.45、2715.24。由于此问题涉及到最短时间，所以在解题时应考虑到距离和速度。通过观察 发现，机器人在圆弧上行走时速度随圆弧半径的增大而不断增大。因此，在。一 A的路径尽
4、量短的前提下，应尽量增大圆弧的半径长度。由问题1可知，机器人 从O-A的最短路径由两条直线段和一条圆弧组成，故建立最短时间路径优化模 型，通过Lingo编程求解得到结论：O-A的最短时间路径总距离为471.1290个单 位，总时间为94.22825秒，圆弧的起点坐标为(69.80454,211.9779)，终点坐标 为(77.74918,220.1387)，圆心坐标为(82.1414,207.9153 )最后利用 MATLAB 绘制图形，将各坐标代入图形中，验证结果正确。关键词：最短路径线圆结构MATLAB LINGO一、问题重述1.1问题背景：如图1所示，有一800X800的平面场景图，在原
5、点0(0, 0)点处有一个机器人， 它只能在该平面场景范围内活动。图中有12个不同形状的区域是机器人不能与之 发生碰撞的障碍物，障碍物的数学描述如表1所示。在图1的平面场景中，障碍物 外指定一点为机器人要到达的目标点(要求目标点与障碍物的距离至少超过10 个单位)。规定机器人的行走路径由直线段和圆弧组成，其中圆弧是机器人转弯 路径。机器人不能折线转弯，转弯路径由与直线路径相切的一段圆弧组成，也可 以由两个或多个相切的圆弧路径组成，但每个圆弧的半径最小为10个单位。为了 不与障碍物发生碰撞，同时要求机器人行走线路与障碍物间的最近距离为10个单 位，否则将发生碰撞，若碰撞发生，则机器人无法完成行走
6、。机器人直线行走的最大速度为 = 5个单位/秒。机器人转弯时，最大转弯速 度为：u = v(p)= ，其中P是转弯半径。如果超过该速度，机器人将发 1 + eio - 0.1 p2 生侧翻，无法完成行走。1.2问题提出：请建立机器人从区域中一点到达另一点的避障最短路径和最短时间路径的 数学模型。对场景图中4个点0(0, 0)，A(300, 300)，B(100, 700)，C(700, 640)， 具体计算：(1) 机器人从0(0, 0)出发，Of 0-B、0-C和0 fABfCf 0的最短路径。(2) 机器人从0 (0, 0)出发，到达A的最短时间路径。注：要给出路径中每段直线段或圆弧的起点
7、和终点坐标、圆弧的圆心坐标以 及机器人行走的总距离和总时间。二、问题分析2.1问题一通过对题目的分析，在处理问题一时，先将经过障碍物顶点时的转弯圆弧看 做点，及以折线为路径，运用lingo编程，确定出最短距离时所要经过的障碍物 的大致路径，再精确求解路径。题目要求目标点与障碍物的距离至少超过10个 单位，所以将障碍物的尺寸扩大10个单位，并用CAD画出扩大后的障碍物，特 别注意在障碍物顶点处使用的是圆弧。在处理问题一时，先将经过障碍物顶点时 的转弯圆弧看做点，及以折线为路径，运用lingo编程，确定出最短距离时所要 经过的障碍物的大致路径，再精确求解路径2.2问题二对于最短时间路径分析，首先需
8、要分析路径的选取，然后根据路径的大体情 况通过建立一个以所用时间最少为目标的最优化模型。由问题1可知，机器人由 O点到A点的路径需要转弯一次来完成，考虑路径时只需要一次转弯就能完成， 并且转弯时不仅增加路程，同时速度将会减少，所以路径应减少转弯，因此可以 确定路径是由2条支线路径与1条圆弧路径组成的。然后，根据转弯速度公式分 析可知，转弯半径越大，转弯速度越大，因此在转弯时应适当增大转弯半径。所 以在解决时，可根据问题1中路径的距离、切点的坐标以及圆弧圆心坐标的位置 范围作为约束条件进行分析，建立最优化模型，最后利用Lingo软件进行求解。三、模型假设（1）假设机器人在行走时看做质点，本身大小
9、不计。（2）假设机器人开始行走时不需要经过加速，即小车开始行走时就以最大速度为v 5个0单位/秒行走。（3）假设机器人行走过程中，本身不发生故障，即行走顺利。（4）假设机器人行走区域为二维区域。（5）假设机器人有直线行走过渡到曲线路径时无需过度时间。、符号说明v，第/个特征点v机器人转弯行走的速度X，第i个特征点的X坐标v七第i个特征点的V坐标Xi第i个特征点对应的障碍物的顶点的X坐标Yi第I个特征点对应的障碍物的顶点的V坐标d，一j第I个特征点到第j个特征点的距离L起点到目标点的路径长度T机器人的行走时间v0机器人直线行走的速度五、模型建立5.1问题一由题意可知，机器人从起点（如O点）到目标
10、点（A）之间不能以直线路径 直接到达，在行走过程中必然会经过障碍物，且在经过障碍物时要以弧线过渡， 可有几何关系的，机器人的行走路径避开障碍物的顶点才能的到最短路径。由于 题目要求目标点与障碍物的距离至少超过10个单位，因此将障碍物的尺寸扩大 10个单位，并用CAD画出扩大后的障碍物，特别注意在障碍物顶点处使用的是 圆弧。标记处特征点，首先将路径中的圆弧收缩至一个点，以特征点代替，这样 机器人行走路径就可以先看做折线组成，这样问题就简化成了求点之间的最短路 径。先用这样的方法粗略估计出最短路径要经过的特征点，得知路径后再运用几 何关系、勾股定理等来精确求解最短路径。5.1. 1特征点的定义对于
11、特征点的定义，在CAD画图扩大障碍物时，顶点部分使用圆弧，对于角 形、矩形、平行四边行，以其顶点为圆心做坐标系，将 轴向、轴的负方向旋转 4与圆弧的交点定义为特征点。对于圆形障碍物2,过其圆心左两条分别平行 于、轴与 轴的线，将这两条与圆相交的四个点标记为特征点。iil I图2障碍物扩大图5.1.2 u、Vj的取值根据CAD画图，画出新的障碍物边界，将三角形、矩形、平行四边行的个标 记为特征点V,对于圆形障碍物2,过其圆心左两条分别平行于x轴与y轴的线， 将这两条与圆相交的四个点标记为特征点。特征点的取值如下：（1）x = X +10 x cos %y = Y +10 x cos %表2各特征
12、点定点标号及对应x和y值标号X轴Y轴标号X轴Y轴标号X轴Y轴V100V16100700V31727513V27353V17363673V32727607V323753V18437663V33677697V4237217V19293607V34677737V573217V20293393V35700640V6300300V21497390V36393337V7242307V22550370V37353233V853293V23630450V38507233V9150445V24550530V39547337V10227463V25510520V4027393V11227537V26507607V
13、4141793V12143593V27533737V42345217V13247593V28533593V43493133V14277687V29633593V44493207V15173687V306335175.1.3特征点简单的距离根据已知条件，场景图内任意两个特征点之间的距离可有如下公式计算：d =匕:J x ） + G y ）（3）ij i j i j运用MATLAB编程，算出各点间的距离（各个特征点之间的距离和特征点跟目标 点之间的距离）。两点间的距离d ij331.267248.4713228.9498241.6982起点VVVVVi1315终点VVVVVj3656两点间的距离d ij104635.260674.1485254.0492起点VVVVVi143153终点VVVVVj1514167两点间的距离d ij156.719574100.9554115.3170起点VVVVVi7101112终点VVVVVj10111216两点间的距离d ij191.4706297.7549180.313679.0759起点VVVVVi51810终点VVVVVj7899两点间的距离d ij341.7601160.4307227.547891起点VVVVVi5362231终点VVVVVj36223132两点间的距离d
