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1、 毕业论文 题目: 克莱姆法则的推广及其应用 院(部)名 称: 信息与计算科学学院 专 业: 应数 摘 要 行列式的概念是线性代数中的基本概念之一，行列式的计算式是线性代数中最基本的计算。行列式不仅是线性代数，数学各个领域的一个重要工具，而且也是其他自然科学，工程技术各个领域中的重要工具。 通过增加方程组的未知数个数和所含方程的个数，由此引出问题：个未知数个方程的线性方程组能否象二元线性方程组一样有公式解？何时有解？ 主要内容是以阶行列式的定义为基础，讨论阶行列式的性质及其简单算法，并据此把求解二元，三元线性方程组的Cramer(克莱姆)公式推广到元线性方程组的情形。克莱姆法则正好解答了这个问
2、题，然后给出其证明.关键词：行列式，线性方程组，克莱姆法则目 录第1章 前 言5第2章 行列式的定义及性质8行列式的定义182.2 行列式的性质10第3章 克莱姆法则推广123.1 克莱姆法则的推广123.2 克莱姆法则的再推广14第4章 介绍克莱姆法则的各种应用164.1 用克莱姆法则讨论一元二次线性方程组的公共根上的问题164.2 借助克莱姆法则证明一类特殊不等式194.3克莱姆法则在求矩阵A的逆矩阵的应用214.4用克莱姆法则解决微分几何问题的应用2427致谢30参考文献31第1章 前 言初等代数从最简单的一元一次方程开始,在中学所学的初等代数中,字母仅用来表示数,初等代数一方面讨论二元
3、及三元的一次方程组,另一方面研究二次以上并且可以转化为二次的方程组的问题.沿着这两个方向继续发展,代数学在讨论任意多个未知数的一次方程组（也叫线性方程组的）的同时,还研究次数更高的一元方程及多元方程组,代数学发展到这个阶段高等代数.然而，线性代数是高等代数的一大分支.我们很清楚一次方程叫做线性方程.显然，讨论线性方程及线性运算的代数就叫做线性代数.线性代数有三个基本计算单元：向量(组)、矩阵、行列式,研究它们的性质和相关定理,能够求解线性放程组,实现行列式与矩阵计算和线性变换,构建向量空间和欧式空间.线性代数的两个基本方法是构造（分解）法和代数法,基本思想是化简（降解）和同构变换.行列式的概念
4、最早是由十七世纪日本数学家关孝和提出来的,他在1683年写了一部叫做解伏题之法的著作,意思是“解行列式问题的方法”,书里对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述.矩阵代数的丰富发展,人们需要有合适的符号和合适的矩阵乘法定义.二者大约要在同一时间和同一地点相遇.1848 年英格兰的 J.J Sylvester 首先提出了矩阵（来源于拉丁语）这个词,它代表一排数.1855年矩阵代数得到了Arthur Cayley 的一定培育发展.Cayley 研究了线性变换的组成并提出了矩阵乘法的定义,他还进一步研究了那些包括逆矩阵在内的代数问题.行列式和矩阵如导数一样（虽然在数学上不过是一个符号,表示包括的极
5、限的式子,但导数本身是一个强有力的概念能使我们直接而创造性地想象物理上发生的事情）.因此，虽然表面上看,行列式和矩阵不过是明这两个概念是数学物穷,使得线性代数得到了一定的发展.其中,行列式出现于线性方程组的求解,它最早是一种速记的表达式,现在已经是数学中一种非常有用的工具.行列式是由莱布尼茨和日本数学家关孝和发明的.1693 年4月,莱布尼茨在写给洛比达的一封信中使用并给出了行列式,并给出方程组的系数行列式为零的条件.1750年,瑞士数学家克莱姆 (G.Cramer,1704-1752) 在其著作线性代数分析导引中,对行列式的定义和展开法则给出了比较完整、明确的阐述,并给出了现在我们所称的解线
6、性方程组的克莱姆法则.稍后,数学家贝祖 (E.Bezout,1730-1783) 将确定行列式每一项符号的方法进行了系统化，利用系数行列式概念指出了如何判断一个齐次线性方程组有非零解.总之,在很长一段时间内,行列式只是作为解线性方程组的一种工具使用,并没有人意识到它可以独立于线性方程组之外,单独形成一门理论加以研究.在行列式的发展史上,第一个对行列式理论做出连贯的逻辑阐述(即把行列式理论与线性方程组求解相分离)的人是法国数学家范德蒙(A-T.Vandermonde,1735-1796).特别地,他给出了用二阶子式和它们的余子式来展开行列式的法则.但就对行列式本身这一点来说,他是这门理论的奠基人
7、.1772年,拉普拉斯在一篇论文中证明了范德蒙提出的一些理论,推广了展开行列式的方法.继范德蒙之后,又一位对行列式发展做出突出贡献的就是另一位法国大数学家柯西.1815年,柯西在一篇论文中给出了行列式的第一个几乎近代的系统.其中主要结果之一是行列式的乘法定理.另外，他第一个把行列式的元素排成方阵,并且采用双足标记法;引进了行列式特征方程的术语;给出了相似行列式的概念;改进了拉普拉斯的行列式展开定理并给出了证明及相应的结论. 19世纪的半个多世纪中,对行列式理论研究始终不渝的作者之一是詹姆士西尔维斯特 (J.Sylvester,1814-1894).西尔维斯特用火一般的热情介绍他的学术思想,他的
8、重要成就之一是改进了多项式中消去的方法,他称之为配析法,并给出形成的行列式为零时这两个多项式方程有公共根充分必要条件雅可比 (J.Jacobi,1804-1851),他引进了函数行列式,即“雅可比行列式”;指出函数行列式在多重积分的变量替换中的作用,给出了函数行列式的导数公式.雅可比的著名论文论行列式的形成和性质标志着行列式系统理论的建成.由于行列式在数学分析、几何学、线性方程组理论、二次型理论等多方面的应用，促使行列式理论自身在19世纪也得到了很大发展.整个19 世纪都贯穿着行列式新结果的诞生.除了一般行列式的大量定理之外,还有许多有关特殊行列式的其他定理都相继得出.另外,近现代数学分析与几
9、何学等数学分支的要求也促使了线性代数的进一步发展.另一方面,线性代数的不断发展使其应用贯穿到多个学科.第2章 行列式的定义及性质行列式的定义1 在引入克莱姆法则之前，先介绍一下元线性方程组的概念。含有个未知数的线性方程组 () 称为元线性方程组。当其右端的常数项不全为零的时候方程组（2.1.1）称为非齐次线性方程组，当全为零时，线性方程组（2.1.1）称为齐次线性方程组。线性方程组（2.1.1）的系数构成的行列式称为方程组的系数行列式 克莱姆法则 若线性方程组(2.1.1)的系数行列式, 则线性方程组(2.1.1)有唯一解,其解为 其中是把中第列元素对应地换成常数项而其余各列保持不变所得到的行
10、列式.定义 行列式是由位于不同行和不同的列的元素构成的，并且展开式恰恰就是由所有这种可能的组成，其中级行列式表示为： 等于所有取自不同行不同列的个元素的乘积 （2.1.2）的代数和，这里是的一个排列，每一项（2.1.2）都按下列规则带有符号：当是偶排列时，（2.1.2）带有正号；当是奇排列时， （2.1.2）带有负号。这一定义又可以写成 其中， 表示对所有级排列求和.另外，由于行列式的行指标与列指标的地位是对等的，因而为了决定每一项的符号，同样可以把每一项的列指标排列起来，于是定义还可以写成 同样，根据以上两种定义行列式的定义还可以写成下面的形式 其中，是取自不同行不同列的个元素的乘积的代数和
11、，是的一个排列，偶排列时符号为正，相反如果奇排列则符号为负.2.2 行列式的性质性质1 将行列式的行与列互换后得到的行列式,称为的转置行列式,记为或即 则 行列式行列互换,行列式不变，即注1 由性质1知道，行列式中的行与列具有相同的地位，行列式的行具有的性质,同理它的列也同样具有相应的性质.性质2 交换行列式的两行(列),行列式反号.性质3 数k乘以行列式的某一行，等于这个数乘以行列式. = = 注2 令k=0，如果行列式中一行为零，那么行列式为零.注3 行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式的外面.性质4 若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和,则这个行列式等于这两个元素对应
12、行列式的和 则 . 性质5 如果行列式中有两行相同，那么行列式为零. 注4 所谓两行相同就说两行的对应元素都相等. 性质6 如果行列式中两行成比例，那么行列式为零. 性质7 把一行的倍数加到另一行，行列式不变. . 第3章 克莱姆法则推广 克莱姆法则是高等代数中很重要的内容，论文对克莱姆法则进行了推广并且介绍了几种应用。3.1 克莱姆法则的推广 定义 设是数域上的一个阶行列式，又为上的矩阵，若将中的某一行或某一列中的元素依次换为后所得到的行列式称为广义行列式。（广义行列式是上一个确定的矩阵）。根据广义行列式的定义，利用矩阵的加法以及数乘运算的法则可知，普通行列式的性质及展开定理，对广义行列式也
13、同样成立。广义Cramer（克莱姆）法则：设是上的数，均为上的矩阵，又为未知的矩阵，则当矩阵方程组 (1)的系数行列式是，方程组（1）有唯一解；其中为将的第列元素换成矩阵后所得到的广义行列式证明：（1）唯一性设方程组（1）有解，且为其任意解，于是（1）式就变为个矩阵等式，根据广义行列式性质，有 由于,故（2） 存在性：考虑要两行相同的阶广义行列式 由于，故同理可验算：也满足其余方程。3.2 克莱姆法则的再推广 定理 1 ，是的阶子式阵，考虑方程组 （2）式中，换句话说，就是每次取个值的乘积，而且前后次序是按字典排列法排列的。 如果行列式，则方程组（2）有唯一解：其中而依次为阶子式在中的代数与子式。 为了推广定理1需要下列的预备知识 引理1 设是阶行列式，在中任取行（列），则位于这行（列）中所
