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1、动点的轨迹方程江苏省海州高级中学 数学组 王宗慧背景和主题：高三第一轮复习要求学生能通过对以前所学知识的回忆、课堂教师对典型例题的讲解和课后进行相关习题的训练，达到对基本概念有进一步的理解和应用。在整个过程中，课堂的时间是有限的，课前的预习又因学生的习惯而产生参差不齐的效果，教师很难把握学生个人的掌握情况，同时，对概念的理解又直接影响了学生对此知识点的应用。因此，在每节复习课的前几分钟，对知识的回顾显得尤为重要。对于基本概念的回顾，每个教师有各自不同的见解，通过我自己对课堂教学的实践，对于一些概念较少，应用性较强的复习课，我并没有采用传统的列举概念的方法在黑板的一边板书，为学生的下一步解题提供
2、依据，而是让学生通过做一组简单习题，刺激他们回忆概念的方法来达到目的的。处理和过程以“怎样求动点的轨迹方程”一课为例。本节课的主要目标是：在一轮复习的基础上，进一步掌握和熟练运用求轨迹方程的常用方法；培养思维的灵活性和严密性；进一步渗透“数形结合”的思想。带着这个目标，掌握几种求轨迹的方法，以及对所求轨迹方程是否完全满足题目要求的判断将是整堂课的重点。怎样帮助学生回忆几种求动点轨迹方程的方法呢？片段一：师：请同学们来做以下一组简单求动点轨迹方程的小题目，并说出各题所用方法的异同。题组：1、已知向量与是关于y轴对称,且，则点P（x，y）的轨迹方程是_。2、设Q是圆C:(x+1)2+y2=16上的
3、动点，另有A(1,0)，线段AQ的垂直平分线交直线CQ于点P，当点Q在圆上运动时，点P的轨迹方程为_。3、点P是以F1，F2为焦点的椭圆上的动点，则F1F2P的重心轨迹方程为：_4、已知点满足,则点的轨迹方程为：_。这一组习题，每题都代表了一种常用的求动点轨迹方程的方法，而且题目的求解方法比较简单，各题难度差异不大，对于课前预习充分的学生，这是个很好的实践机会；对于还没能把常用求法进行归纳的学生，可通过这几个题目对求解方法加以归纳。片段二：师：请几位同学来为我们分析一下这几道题目的思路和方法，不一定按照顺序，你觉得你的方法可行的都可以尝试。生甲：第1题可以用直接法来求解，根据P点坐标表示Q点坐
4、标，根据条件中的两个向量所满足的等式，即可得到结果。我的答案是。师：很好，直接法即是根据已知条件探求动点所满足的等量关系，且把这个等量关系中各个变量用动点坐标表示出来，一般有五个步骤（略）。生乙：第2题我发现题目表述的动点轨迹其实就是一个椭圆，可利用待定系数法直接求出方程，我的答案是。师：好的，这类题目，是在熟知各种曲线（如：圆，椭圆，双曲线，抛物线）定义的基础上，分析动点运动规律符合某已知曲线的定义，然后设其方程求出方程中的待定系数。生丙：第3题中，当动点M随着已知方程的曲线上另一个动点运动时，找出点M与点C之间的坐标关系式，用（x，y）表示再将代入已知曲线方程，即可得到点M的轨迹方程。 第
5、4题在求曲线方程时，动点坐标x，y关系不易表达，根据题设条件引进一个（或多个）中间变量来分别表示动点坐标x，y，间接地把x，y的关系找出来，然后消去参数即可。两题答案分别为和。师：生丙回答得很不错，有没有同学要补充？生丁：生丙回答得还不全面，3、4两题最后求解出来的方程并不都能满足题目要求，第3题中y是不能等于0的，第4题中x的范围是-2，2。师：很好！我们在求出了方程后，一定要注意所求方程上的点要满足题意，不多也不少。因此，我们可以总结出常用的求动点轨迹的方法。总结：轨迹方程常用的方法有：1、直接法； 2、定义法（和几何法联系）；3、相关点法；4、参数法。求动点的轨迹方程中的注意点：1、注意方程的纯粹性和完备性即不多不少。2、注意平面几何知识的运用。3、注意要求是求轨迹方程还是轨迹。这样的练习已经可以充分调动学生的思维，做题的同时回忆方法，既不让课前已经预习的学生在课堂列举概念时无事可干，又能避免没有做好准备的学生还没来得及反应，题目就已经讲完。几个小题目只需要几分钟的时间，目的在于找到方法，具体计算可留到课后，这样，对后面的例题讲解也能起到热身作用。相信这样会为后面例题的讲解节约更多的时间，提高课堂效率。当然，这样的方法也要根据复习内容而进行选择，在锻炼学生应用能力的课堂上应用效果较好！
