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1、眼科医院病床的合理安排高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如
2、果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 年 月 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：摘 要本文针对造成眼科医院资源利用率低的原因进行分析，对医院病床安排模型进行了改进，应用计算机仿真技术，给出了合理的病床安排，解决了医院病床紧张的问题，提高了
3、病床资源利用率。首先，文章从医院和患者两个角度考虑，分别提出了一套评价指标体系，选取了病床浪费因子和排队等待人数两个指标，分析了医院的FCFS规则病床安排模型，发现FCFS规则存在较大的缺陷：病床利用率低，排队等待人数越来越多（图1），模型需要进一步改进。然后我们对造成病床利用率低和排队人数增多的原因分析，建立了加权排队模型，利用该模型得到各类病人在周一到周日的优先权值，然后根据权值大小，得到合理的病床分配模型，并用指标体系进行评价，得出病床浪费因子减少了62.69%，排队人数呈递减趋势（图4），提高了病床利用率，减少了病人等待时间。经过验证病人到达数目服从泊松分布后，对住院病人观察时间用蒙特
4、卡洛方法模拟，最后利用计算机仿真模拟了眼科病人门诊、等待、入住、出院的过程，在医院周六、周日不安排手术的情况下，我们利用加权排队模型重新计算了各队列的优先权值，得到新的病床分配方案，并通过比较医院不同的手术时间安排方案，发现周三、周五安排做白内障手术最合理，所以对于手术时间安排做出合理调整。通过灵敏度分析，得出了增加外伤病人和青光眼病人看病人数，队列等待人数会趋于一个稳定值，说明目前医院的规模能够满足病人看病的要求，且可以增加外伤病人和青光眼病人的看病人数，以增加效益。最后，我们对医院提出了几点建议，以提高医院资源利用率，达到医院和病人的双赢。1. 问题概述医院就医排队是大家都非常熟悉的现象，
5、例如，患者到门诊就诊、到收费处划价、到药房取药、到注射室打针、等待住院等，往往都需要排队等待接受某种服务。我们考虑某医院眼科病床的合理安排的数学建模问题。该医院眼科门诊每天开放，住院部共有病床79张。该医院眼科手术主要分四大类：白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤。白内障手术较简单，而且没有急症。目前该院是每周一、三做白内障手术，此类病人的术前准备时间只需1、2天。做两只眼的病人比做一只眼的要多一些，大约占到60%。如果要做双眼是周一先做一只，周三再做另一只。外伤疾病通常属于急症，病床有空时立即安排住院，住院后第二天便会安排手术。其他眼科疾病比较复杂，有各种不同情况，但大致住院以后2-3天内就可以
6、接受手术，主要是术后的观察时间较长。这类疾病手术时间可根据需要安排，一般不安排在周一、周三，并不考虑在急症范围内。该医院考虑病床安排时可不考虑手术条件的限制，但在通常情况下白内障手术与其他眼科手术（急症除外）不安排在同一天做。当前该住院部对全体非急症病人是按照FCFS（First come, First serve）规则安排住院，但等待住院病人队列却越来越长，通过数学建模的方法来合理安排住院部的病床，完成下列问题，以提高对医院资源的有效利用。问题一：试分析确定合理的评价指标体系，用以评价该问题的病床安排模型的优劣。问题二：试就该住院部当前的情况，建立合理的病床安排模型，以根据已知的第二天拟出院
7、病人数来确定第二天应该安排哪些病人住院。并对你们的模型利用问题一中的指标体系作出评价。问题三：作为病人，自然希望尽早知道自己大约何时能住院。能否根据当时住院病人及等待住院病人的统计情况，在病人门诊时即告知其大致入住时间区间。 问题四：若该住院部周六、周日不安排手术，请你们重新回答问题二，医院的手术时间安排是否应作出相应调整?问题五：有人从便于管理的角度提出建议，在一般情形下，医院病床安排可采取使各类病人占用病床的比例大致固定的方案，试就此方案，建立使得所有病人在系统内的平均逗留时间（含等待入院及住院时间）最短的病床比例分配模型。2. 问题分析：2.1问题背景分析病床是医院医疗设备的重要组成部分
8、，随着我国医疗制度的深化改革和医疗市场的持续发展，大部分医院已经进入市场经济的运行模式。各医院之间的竞争日益激烈，医院想在新的市场条件下保持竞争优势且兼顾社会效益，就必须提高病床使用效率并对其进行科学有效的管理。1目前我国各医院的病床使用率普遍偏低，资源浪费严重，因此，如何最大能力提高医院资源的有效利用及减少病床的浪费是各个医院普遍关心的话题。医院规模往往是由上级决定的，在医院规模一定的情况下，如何提高资源的有效利用是至关重要的。而资源的浪费往往是由医院的管理制度造成的，好的管理制度将大大减少资源的浪费，提高医院的效率，对病人而言也能更快更好的看病，从而摆脱“看病难”的问题。2.2 对FCFS
9、排队模型的分析FCFS，即先到先服务的排队规则。病人享受医疗服务的先后顺序，完全取决于病人到达的医院的先后次序。这个规则为大多数人接受，因此在当今社会应用十分广泛，在医院中也随处可见。但是，这个模型有几个的缺点。不考虑医院资源有效利用的问题。我们来看下面的一个简单的分析。现在，有一个患白内障（双）的病人被安排于星期三来住院，进行一天的术前准备后，到了星期四。而白内障的手术要星期一才做，那么这个白内障病人将在这个床上空等四天。这就相当于占着病床，但是没有进行手术，影响了等待队列中病人的入住，从而使得资源有效使用率降低。第二，没有因人而异。就是说无论有多么紧急的病情，病人必须按照先到先服务的规则，
10、排队等待。这样势必会对这些病人造成很大的健康伤害。因此，在实际生活中往往会有一些特殊情况需要开辟一条特殊通道，获得较高的优先权。比如说医院急诊。本题的FCFS模型考虑了某些特殊病人的特殊需要，比如说急诊患者享受最高的优先权，无论等待住院的队列有多长，这类病人都享受者即到即服务的权利。这说明医院的FCFS模型考虑了上文提到的第二个缺点，但是忽略了第一个不足。我们在问题分析中发现，造成病床有效利用率不高，以及等待住院病人队列越来越长的主要原因就是对白内障病人的病床安排出现了问题。2.3对到达人数服从分布的分析6设表示在时间区间内到达的顾客数（）令 显然符合下列三个条件：(1) 在不重叠的时间区间内
11、顾客到达数是相互独立的，我们称这性质为无后效性。(2) 对充分小的，在时间内有一个顾客到达的概率与无关，而约与区间长成正比，即其中表示当时，是关于的高阶无穷小。是常数，它表示单位时间有一个顾客到达的概率，称为概率强度。(3) 对于充分小的，在时间区间内有2个或2个以上顾客到达的概率极小，以至于可以忽略，即在上述条件下，我们研究顾客到达数的概率分布。由条件（2）我们总可以取时间由0算起，并简记由条件（2）和（3）容易推出在区间内没有顾客到达的概率为在求时，用通常建立未知函数的微分方程的方法，先求未知函数由时刻到的改变量，从而建立时刻的概率分布与时刻概率分布的关系方程。对于区间，可分成两个互不重叠
12、的区间和。现在到达总数是，分别出现在这两个区间上，不外下列三种情况：三种情况互不相容，故应是上述三种情况的概率之和：令，得下列方程，并注意到初始条件，则有当时，没有B、C两种情况，所以得解上述两式，得到表示长为的时间区间内到达个顾客的概率，即服从泊松分布。2.4对病床安排合理性的理解目前的病床安排合理性评价体系一般是病床工作效率指标体系，包括病床使用率、病床周转次数、出院者平均住院日这三个指标3，但是这个体系一般适用于医院与医院之间，科室与科室之间的横向评价，不适合单一模型的评价，详细分析见结果分析6.1，所以，我们引入一个新的指标体系。判断一个病床安排是否合理，不能单纯地从一个角度进行分析，
13、而应从医院与患者两方面考虑，只有令两者均满意的安排方式才是合理的安排方式。对医院而言，要追求最大的经济效益和资源的有效利用。在本题中，我们只考虑医院资源是否有效利用，而经济效益将在模型的进一步讨论中讨论。我们认为病人在医院中住院时间只有术前准备时间与术后观察时间时是“有效”的，其它天数为“空等”天数。要达到资源的有效利用，就是使病床能最大限度地容纳病人，使病人在医院的每天都是“有效”的，尽量减少浪费病床的现象。例如，25号白内障(双) 病人，其7.28号入院，8.4号做手术，准备时间为7天，而白内障患者的标准准备时间为1、2天，故浪费时间为7-1=6天，这6天就是“空等”的，“空等”天数越多，
14、病床浪费越严重。因此，建立模型时应尽量减少“空等”天数。对病人而言，要考虑看病花费和看病的时间，在本题中，不考虑病人治疗的费用，只考虑住院费用，住院费用与住院天数有关，因此，也归结到“空等”天数的问题，“空等”天数越少，病人住院费用越少。另外，病人还十分关注看病时间，每一位病人都希望早日治病，因此，门诊后等待手术时间的长短是非常重要的，等待时间越长，病人的心里承受力越差，不合理的安排模型会使等待时间越来越长，就会产生“看病难”的问题，因此，建立安排模型时应尽量减少排队等待时间和等待人数。2.5对按比例安排病床的理解平均逗留时间，和当前队列长度和病人康复时间有关。病人康复能力是一个有限的，在一定区间内的随机值，与病人身体素质有关。当前队列长度与医院的服务能力有关，当病人数目超过医院服务能力时，其长度的值会趋于无穷大。所以要使平均逗留时间最短，首先满足当时间趋于无穷大时，队列长度的极限存在这个条件。
