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1、分式不等式的证明与方法摘要：分式不等式的证明是高中数学中的难点之一，本文主要通过作差法，利用基本不等式法，利用非负实数的性质，利用放缩法，环元法，构造法，类比法，局部不等式法来分析与证明分式不等式，从而对分式不等式的证明有着整体的理解。通过方法与总结克服证明分式不等式的胆怯心理。关键词：分式不等式证明方法作差法 基本不等式法构造法二.利用基本不等式法均值不等利用不等式1nim1n、m(x)nxmniii1yi1n一yini1imn(.1Xi)i1nyii1xXi,V,R,i1,2)证明一类难度较大的分式不等式是很简捷的。ai1)m n(-) n snn例2.若aiR(i1,2)且as,mN，则
2、有(ai证明:(1)当m=1时,nnn2n1ni1aiaainan，所以有：aa)二a;1i1i1Si1i12三n-+s=n(-)ssn(2)当m=2时,/c1)二1i1ai)=m一n1m(aiai)二n(ns-)n综上，由(1)(2)知原不等式成立。排序不等式即，适用于对称不等式例3.设a,b,c是正实数，求证:证明：不妨设ambc则ac1abca1ab由排序不等式得:abcbccaababcbccaab由(1)+(2)得bbccbcccaacaaabbab2(b)3,所以bccaab利用倒数不等式即：若ai0,则例4.证明:2sin12aiaini1i1都是锐角，求证：且，取什么值时成立?
3、cos21,不等式左边拆项得:12cos222sinsincos又由于cos2sin?2cos12-cos2sin2sin2sin12cos由倒数不等式有:(cossincos2sin2sin(1(222cossincos22sinsni)9所以原不等式成立当且仅当cossin222cossinsin122sinsni2即tan1,tan号成立。2nnn利用柯西不等式法即利用(ab)a2b2(aibR)来证明。i1i1ii例5、如果a1a2an，n6N,且nn3,求证222，+2i+(nD+4A0aa2a2a3an1anana证明：原不等式等价于222，+3+_(O_n4aa2a2a3an1a
4、naan由柯西不等式得：2(a-a2)+(a2-a3)+(an1-an)+2”接a1a2a2a3an1an2221+2+(n1)2=n(n1)=n-(n)-2当n3时，(n1)142222n(n1)所以_+.+(n1)aa2a2a3an1anaanaan(5)利用Gramme法则，即把数学知识进行高初的有机结合是我们学习和对数学创新的一个重要目的例6.设ai 0求证:a a?a2an a3anan na1amn 1证明：令a2 a3an 1an X1a1 a3an 1 anX2aia?an1xn设ai(i1,2,n)为未知数，显然此方程组的系数行列式D=(1)n(n1),nn用Xi分别替换D中
5、的第i列得：Di(1)xi(n1)Xi(i1,2，n),yi1由Gramme法则有：nXj(n1)Xia2二，故有:aiDn1a a2a2an a3anana1an1Xj (n 1)X1Xj=JJ+ u_n 1(n MJ+nXj(n 1)Xn.j 1n 11 X2 X3Xn X3Xn Xn 1X1X2X-X2Xn n(n 2)Xn1-n(n 1) n(n 2)n 1_ nn 1三.零点法即利用非负实数的性质(a2b)0(a b时等号成立)例7.设ai，bi(i1,2, n)是正实数，且naii 1bi求证：i 12aai b1 n2i1ai证明：当ai bi时，不等式取等号，且aai bai
6、bi 22构造不等式(/aiabi)o即aibi22令i=1,2,相互叠加，得:-b-ai0,bi42bi3aiaiini1aibi40,因为naii1nbii12a1naib*211a四。利用放缩法对于某些分式不等式，抓住其特点,将分子分母进行适当的放缩处理，就能收到意想不到的结果。例8.设a,b,c,d为任bdbcacdadac证明：首先分母缩小以证明右式abdbcacda然后分母放大以证明左式令原不左边为M,a,xb,yzc,yxca,zyb,xc,a,b,cR，所以有:b(caa)c(abb)a(bc)bccaab(babc2ca因为22c22ab,ca22abc,a2b2b2C22b
7、2ca,所以有:2一2_u(bcacab2bca故M0,当且仅当xyz时等号成立，所以原不等式成立。（局部代换）例10.已知a,b,c,d2a2a2b2b2_a_2c2cabcdbtan,ctan,dtan,(,2sin2sin2sin(0,万)21sin21a由sin22sin，(sin2sinsin222QO33?sinsinsin2sin2sin3?36访22sin2223?sinsinsin2sin2sin3?达访2sin?2sin2sin2sin2cos2sin2cos2sin2sinsinsincos(2)2sin2sin2cos2cos(4)(1)(3)(4)得:281sin即:
8、2sin22sinsin22tantantancoscoscoscos21tan81所以有：abcd19代数不等式的三角代换,常利用同角万能公式将常数化为三角函数。整体代换例11已知a,b,cR，且具1a1,求证:证明：由已知得：-11,设x122c11c1,1,11,z1111abcq1)(K1)2、yz2,xy2zx8,所以abczyx所以：11122-2abc312326六.构造法构造法通常是指构造函数,构造数列，构造对偶式,构造模型，构造向量等，这些都是证明分式不等式的有力工具构造对偶式也叫配对法例12.已知a,b,c均为正数，求证3a2abb3b2bcc3c2caa3M-a-2aab
9、b3bbc即M=N又M(ab)2c2a2aab3c_2cca2abb(bc)3b2abab22bbcc223c22bbcc(c2、ccaa)caabbabcM-322bbcc22bbcc2c_2cab2a2bccca2cca2a2，a则M-N=0a由基本不等式ccaa3,所以有:一,又M=N故利用数列性质或公式证明分式不等式常显得新颖，别具一格。例13设x,yR,且满足x1,y1求证:证明：因为1,y1,所以有02x1,0121x2y1221y1xy1,xy1由无穷等比数列求和公式R得出数列的求和有:(1(12422yy)2(xy)4(x4y)2xy21xy构造模型例14.设x,y是正数，求证
10、:1a1a22,a：1a22证明:原不等式等价于不等式:2a21 a21a1a22当a1a2时，等号成立，故左端为最小。可利用光学原理的最短线路模型构造图形，作线段BCa1a2,以BC的中点M为顶角,作直角三角形AMB,DMC使AB=DC=1则有BMMCa1a2,再设2BC上任意一点P,令BPa1，PCa2,连接AP,PD根据光线直进为最短路线原理AM+MDAP+PD,有21a1a221a1a221a22a?所以原不等式成立。利用函数性质巧构造函数式例15已知a,b,cr,且a+b+c=1,求证a(3a21)R1ab(3b1)c(3c1)证明：构造函数f(x)易知在(0,1)上为增函数，所以对任意1x1、，x3、x(0,1),有(x-)(2)31x100,贝Ux(3x21)旦(3x1),分别令x=a,b,c,1x10代入上式相加得：a”1ab(3b21)c(3c21)-3(abc)301b1c10所以原不等式成立。有一类分式不等式的证明在数学竞赛中经常出现，它的特点是22不等式的一边是形如六六六就的式子,通过构造向量
