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1、函数对称性、周期性和奇偶性规律总结精选文档函数对称性、周期性和奇偶性关岭民中数学组(一)、同一函数的函数的奇偶性与对称性：（奇偶性是一种特别的对称性）1、奇偶性:（1）奇函数对于（0，0）对称，奇函数相关系式f(x)f(x)0（2）偶函数对于y（即x=0）轴对称，偶函数相关系式f(x)f(x)2、奇偶性的拓展:同一函数的对称性（1）函数的轴对称：函数yf(x)对于xa对称f(ax)f(ax)f(ax)f(ax)也能够写成f(x)f(2ax)或f(x)f(2ax)若写成：f(ax)f(bx)，则函数yf(x)对于直线x(ax)(bx)ab对称22证明：设点(x1,y1)在yf(x)上，通过f(x
2、)f(2ax)可知，y1f(x1)f(2ax1)，即点(2ax1,y1)也在yf(x)上，而点(x1,y1)与点(2ax1,y1)对于x=a对称。得证。说明：对于xa对称要求横坐标之和为2a，纵坐标相等。(ax1,y1)与(ax1,y1)对于xa对称，函数yf(x)对于xa对称f(ax)f(ax)(x1,y1)与(2ax1,y1)对于xa对称，函数yf(x)对于xa对称f(x)f(2ax)(x1,y1)与(2ax1,y1)对于xa对称，函数yf(x)对于xa对称f(x)f(2ax)（2）函数的点对称：函数yf(x)对于点(a,b)对称f(ax)f(ax)2b上述关系也能够写成f(2ax)f(x
3、)2b或f(2ax)f(x)2b若写成：f(ax)f(bx)c，函数yf(x)对于点(ab,c)对称22.精选文档证明：设点(x1,y1)在yf(x)上，即y1f(x1)，经过f(2ax)f(x)2b可知，f(2ax1)f(x1)2b，因此f(2ax1)2bf(x1)2by1，因此点(2ax1,2by1)也在yf(x)上，而点(2ax1,2by1)与(x1,y1)对于(a,b)对称得证。说明:对于点(a,b)对称要求横坐标之和为2a,纵坐标之和为2b,如(ax)与（ax)之和为2a。（3）函数yf(x)对于点yb对称:假定函数对于yb对称，即对于任一个x值，都有两个y值与其对应，明显这不切合函
4、数的定义，故函数自己不行能对于yb对称。但在曲线c(x,y)=0，则有可能会出现对于yb对称，比方圆c(x,y)x2y240它会对于y=0对称。（4）复合函数的奇偶性的性质定理：性质1、复数函数yfg(x)为偶函数，则复合函数yfg(x)为奇函数，则fg(性质2、复合函数yf(xa)为偶函数，则fg(x)fg(x)。x)fg(x)。f(xa)f(xa)；复合函数yf(xa)为奇函数，则f(xa)f(ax)。性质3、复合函数yf(xa)为偶函数，则yf(x)对于直线xa轴对称。复合函数yf(xa)为奇函数，则yf(x)对于点(a,0)中心对称。总结：x的系数一个为1，一个为-1，相加除以2，可得
5、对称轴方程总结：x的系数一个为1，一个为-1，f(x)整理成两边，此中一个的系数是为1，另一个为-1，存在对称中心。总结：x的系数同为为1，拥有周期性。(二)、两个函数的图象对称性1、yf(x)与yf(x)对于X轴对称。证明：设yf(x)上任一点为(x1,y1)则y1f(x1)，因此yf(x)经过点(x1,y1)(x1,y1)与(x1,y1)对于X轴对称，y1f(x1)与yf(x)对于X轴对称.注：换种说法：yf(x)与yg(x)f(x)若知足f(x)g(x)，即它们对于.精选文档y 0对称。2、yf(x)与yf(x)对于Y轴对称。证明：设yf(x)上任一点为(x1,y1)则y1f(x1)，因
6、此yf(x)经过点(x1,y1)(x1,y1)与(x1,y1)对于Y轴对称，yf(x)与yf(x)对于Y轴对称。注：由于(x1,y1)代入yf(x)得y1f(x1)f(x1)因此yf(x)经过点(x1,y1)换种说法：yf(x)与yg(x)f(x)若知足f(x)g(x)，即它们对于x 0对称。g(x)f(x)f(x)3、yf(x)与yf(2ax)对于直线xa对称。证明：设yf(x)上任一点为(x1,y1)则y1f(x1)，因此yf(2ax)经过点(2ax1,y1)(x1,y1)与(2ax1,y1)对于xa轴对称，yf(x)与yf(2ax)关于直线xa对称。注：换种说法：yf(x)与yg(x)f
7、(2ax)若知足f(x)g(2ax)，即它们对于xa对称。4、yf(x)与y2af(x)对于直线ya对称。证明：设yf(x)上任一点为(x1,y1)则y1f(x1)，因此y2af(x)经过点(x1,2ay1)(x1,y1)与(x1,2ay1)对于ya轴对称，yf(x)与y2af(x)对于直线ya对称.注：换种说法：yf(x)与yg(x)2af(x)若知足f(x)g(x)2a，即它们对于ya对称。5、yf(x)与y2bf(2ax)对于点(a,b)对称。证明：设yf(x)上任一点为(x1,y1)则y1f(x1)，因此y2bf(2ax)经过点(2ax1,2by1)(x1,y1)与(2ax1,2by1
8、)对于点(a,b)对称，yf(x)与y2bf(2ax)关.精选文档于点(a,b)对称.注：换种说法：yf(x)与yg(x)2bf(2ax)若知足f(x)g(2ax)2b，即它们对于点(a,b)对称。g(2ax)2bf(2a(2ax)2bf(x)6、yf(ax)与yf(xb)对于直线xab对称。2证明：设yf(x)上任一点为(x1,y1)则y1f(x1)，因此yf(ax)经过点(ax1,y1),yf(bx)经过点(bx1,y1),(ax1,y1)与(bx1,y1)对于直线xab对称，2yf(ax)与yf(xb)对于直线xab对称。2三、总规律：定义在上的函数yfx，在对称性、周期性和奇偶性这三条
9、性质中，只需有两条存在，则第三条必定存在。一、同一函数的周期性、对称性问题(即函数自己)(一)、函数的周期性：对于函数yf(x)，假如存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(xT)f(x)都建立，那么就把函数y f(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。假如全部的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。1、周期性：（1）函数yf(x)知足以下关系式，则f(x)的周期为2TA、f(xT)f(x)B、f(xT)11或f(xT)f(x)f(x)C、f(xT)1f(x)或f(xT)1f(x)（等式右侧加负号亦建立）21f(x)21f(x)D
10、、其余情况（2）函数yf(x)知足f(ax)f(ax)且f(bx)f(bx)，则可推出f(x)f(2ax)fb(2axb)fb(2axb)fx2(ba)即能够获得yf(x)的周期为2(b-a)，即能够获得“假如函数在定义域内对于垂直于x轴两条直线对称，则函数必定是周期函数”.精选文档（3）假如奇函数知足f(xT)f(x)则能够推出其周期是2T，且能够推出对称轴为T2kT，依据f(x)f(x2T)能够找出其对称中心为x(kz)2(kT，0)(kz)（以上T0）假如偶函数知足f(xT)f(x)则亦能够推出周期是2T，且能够推出对称中心为T2kT,0)(kz)，根据f(x)f(x2T)能够推出对称轴
11、为(2xT2kT(kz)（以上T0）（4）假如奇函数yf(x)知足f(Tx)f(Tx)（T0），则函数yf(x)是以4T为周期的周期性函数。假如偶函数yf(x)知足f(Tx)f(Tx)（T0），则函数yf(x)是以2T为周期的周期性函数。定理1：若函数fx在R上知足f(ax)fax，且f(bx)fbx（其中ab），则函数yfx以2ab为周期.定理2：若函数fx在R上知足f(ax)fax，且f(bx)fbx（此中ab），则函数yfx以2ab为周期.定理3：若函数fx在R上知足f(ax)fax，且f(bx)fbx（其中ab），则函数yfx以4ab为周期.定理4：若函数f(x)的图像对于直线x=a和x=b都对称，则f(x)是周期函数，2（b-a）是它的一个周期（未必是最小正周期）。定理5：若函数f(x)的图像对于点（a,c）和(b,c)都成中心对称，则f(x)是周期函数，2（b-a）是它的一个周期（未必是最小正周期）。定理6：若函数f(x)对于点（a,c）和
