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1、第三章 导数与微分1. 判断题（对的打“”，错的打“”）(1) 是在点可导的充分条件. ( )答：打“”.这是因为函数在点处连续是在点处可导的必要条件，非充分条件. (2) 若在点可导，则必有. ( )答：打“”.这是因为在点可导，则必有.(3) 若，则必有. ( )答：打“”.这是因为 (4) 若，则必有. ( )答：打“”.这是因为(5) 若在点可导，则必有. ( )答：打“”.这是因为在点可导的必要条件是在点处连续，即.(6) 若，则有. ( )答：打“”.这是因为，如果令，则有，又因，所以，即. (7) 若，则有. ( )答：打“”.这是因为，由复合函数求导法则可知.(8) 若对任意的
2、，恒有，且，则. ( )答：打“”.这是因为由已知条件，对任意的，即为偶函数，则，有.(9) 若是以为周期的可导函数，则有. ( )答：打“”.这是因为，如果，则求导得到.(10) 若可微，则必有. ( )答：打“”.这是因为，且，所以.(11) 若在点可导，则当很小时，. ( )答：打“”.这是因为，根据极限与无穷小量的关系有，因此.2. 选择题：(1) 设可导，则( ). A. B. C. D. 答：C. 因为 (2) 下列函数中，在点可导的是( ).A. B. C. D. 答：A. 因为在点处连续，且，所以在处可导. 而B在处连续，但不可导，C、D在处不连续，因此不可导.(3) 函数在点
3、处是( ). A连续且可导 B. 不连续也不可导 C. 不连续但可导 D. 连续但不可导答：D. 因为，在处有，且，所以函数在处连续. 但，因此，函数在不可导.(4) 设在点的某邻域内有定义，则在点可导的一个充分条件是( ).A存在 B存在C. 存在 D. 存在 答：A. 因为(5) 设周期函数在内可导，周期为4，又，则由曲线在点处的切线斜率为( ). A B. C. D. 0答：B. 由题设知，有，因此. 又因为即. 根据导数的几何意义，曲线过点处的切线斜率.(6) 当( )时，曲线与相切(有公共切线). A. B. 2 C. D. 答：C. 两曲线若有公共切线，则应有公共切点及切线斜率相等
4、. 设曲线的切线斜率为，曲线的切线斜率为，用代入法验证.若，则，有. 此时曲线过点，曲线过点，两曲线无公共切点.若，则，有. 此时曲线过点，曲线过点，两曲线无公共切点.若，则，有. 此时曲线过点，曲线过点，两曲线有公共切点，故选C.(7) 下列点( )是曲线上切线平行于轴的点. A. B. C. D. 答：C. 由导数的几何意义知，得. 当时，；当时，. 因此选C.(8) 设函数在处可导，则常数、是( ). A. B. C. D. 答: D. 因为在处可导，必在连续，所以，则.又因为，则，即，选D.注：关于分段函数在分段点处的导数，可用两种方法计算：i) 用导数定义，且，则.ii) 用导函数在
5、处的左(右)极限代替左(右)导数，即，.(9) 设，则( ).A. B. C. D. 答：D. 因为，令，则，即，故. (10) 设，则( ).A. B. C. D. 答：B. 因为是自变量为的复合函数，令，有(11) 设函数对任何满足，且，其中、为非零常数，则在处( ).A. 不可导 B. 可导，且 C. 可导，且 D. 可导，且答：D. 令，则，即. 所以，.(12) 已知为连续可导函数的奇函数，且满足条件，则曲线在点处的切线斜率为( ). A. 2 B. C. 4 D.答：D. 因为，所以，又因为奇函数，所以，即为偶函数. ，在点的法线斜率.(13) 设在处( ). A. 极限不存在 B
6、. 极限存在，但不连续 C. 连续，但不可导 D. 可导答：C. 因为处，且, 所以在处连续. 但不存在. 在处不可导.3 填空题：(1) 若在点可导，则 .解析：由导数定义可知，.(2) 在点连续是在点可导的 必要 条件.解析：利用可导与连续的关系.(3) 若，则 .解析：由，所以.(4) 若，则 1 .解析：.(5) 已知，则 .解析：由，因此.(6) 若，且，则 ， .解析：. .(7) 设由曲线在点处的切线与轴的交点为，则 .解析：因为在点处的斜率为，所以过点的切线方程为又因为切线与轴的交点为，即解得，所以，. (8) 若，则 ， .解析：.(9) 若，则 .解析：令，则，所以，即.(
7、10) 曲线在点处的法线方程是 .解析：利用隐函数求导法得，所以过点 切线斜率，相应点的法线斜率，因此法线方程为，即.(11) 若函数在处的改变量，则 .解析：有微分定义，等于的线性主部.(12) 方程确定了是的函数，则 .解析：方程的右端为幂指函数，两边取自然对数得：，两边对求导，则，.(13) 若，则 .解析：方程两边对求导， (1) (2)(1) 式两边再对求导， ，将(2)式代入得，. (14) 若，其中二阶可导，则 .解析：，.4. 用导数定义求导数(1) ，求.解：.(2) 已知()，求.解： .(3) ，求.解：.(4) ，求.解： .(5) ，求.解： .(6) ，求.解：法一
8、，用导数定义.，所以，.法二：当时，则.当时，则.因此，.5. 分别求出满足下列条件的的取值(1) 曲线与的切线平行.解：由导数的几何意义知，或.(2) 曲线的切线平行于轴.解：由导数几何意义及平行于轴的直线斜率为零得，故.(3) 曲线的切线平行于直线.解：曲线的切线与直线平行，斜率相等，故.6. 设曲线与在点相切，求、的值.解：由题意可知曲线与有公共切线，且、均过点，则，求得.7. 确定常数、，使函数处处可导.解：因为在处可导，所以，即，.又因为处处可导，所以在处一定连续，即，有，.8. 用求导公式和法则求下列函数的导数.(1) 解：先化简再求导，原式，.(2) .解：.(3) .解：.(4
9、) .解：，.(5) .解：.(6) .解：.(7) .解：.(8) .解： .(9) .解：.(10) .解：.(11) .解：，.(12) .解：先化简，因此.9. 求下列函数的导数.(1) .解：.(2) .解： .(3) .解：.(4) .解： .(5) .解：先化简再求导，.(6) .解：.(7) .解：.(8) .解：.(9) .解：.(10) .解： .(11) .解：.(12) .解：.(13) .解：.(14) .解：.(15) .解：.(16) .解：先化简再求导，.10. 求下列函数的导数.(1) .解：两边对求导，.(2) .解：两边对求导，.(3) .解：两边对求导，
10、.(4) .解：两边对求导，得.(5) .解：两边取自然对数，两边对求导，即，.(6) .解：两边对求导，即.(7) .解：两边取自然对数得，两边对求导，即.(8) .解：两边取自然对数得，两边对求导，.(9) .解：两边取自然对数得，两边对求导，.(10) .解：两边取自然对数得，两边对求导， ，.(11) .解：两边取自然对数得，两边对求导，即 .(12) .解：两边取自然对数得，两边对求导， (13) .解：.(14) .解：设、，则，两边取自然对数，两边对求导，.同理，、.所以， 11. 设是由方程在点附近所确定的隐函数，求在点处的法线方程.解：方程两边对求导，有导数几何意义知，所以法
11、线方程为.12. 求下列函数的导数.(1) .解： .(2) .解：.(3) .解：.(4) 已知，.解：由，令，则，所以.(5) ，其中可导.解：.(6) 已知，.解：由已知可得，对求导， .13. 讨论函数在点处是否连续？是否可导？解：因为，且. 所以在处连续.又因为，所以在处可导.14. 分别求出函数在点处：(1) (2) (3) 时的改变量和微分对上述结果加以比较，能得出什么结论？解：(1) 在，时， (2) 在，时，(3) 当，时，. 由以上可看出越小，二者之差越小.15. 求下列函数的微分.(1) .解：.(2) .解：.(3) .解：两边微分，.(4) .解：两边微分，.(5)
12、.解：两边微分，.(6) .解：两边微分，.(7) ，其中可微.解：=. 16. 利用微分作近似计算. (1) .解：，令，则.(2) .解：，令，则.(3) .解： (利用)(4) .解：，令，则.(5) .解：，令，则. 17. 证明：当很小时，下列各近似公式成立.(1) 证明：令，则.(2) 证明：令，则 .(3) .证明：令，则 .(4) .证明： (很小时)，令，则 .18. 求下列函数的高阶导数.(1) ，求.解：，.(2) ，求.解：，.(3) ，求.解：两边对求导，再对求导，.(4) ，求.解：， .(5) ，求.解：，.(6) ，求.解：，.(7) ，求.解：，.(8) ，求.解：，.(9) ，求.解：，.(10) .解： . 1
