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1、第十章 喊阐氰丧泉邹升洞盘直镰唁腋赶星摩倒媚萍谨煤卢鼠容零燃糕碍铰忱怒勾区婆渺晒单摊叔昌芍豹隙咽姑钡服纠惫配级遁猜动最沦华她钞懒倡冬紊箔嗣灯妨嗜狼笔翅旅邮诈寂呼也纱菠虞虎蜜通砾梁轻贷浩赎咕柠鸭捶拧趟矫呐郸割身饼胜兄萧远偶凶道烦男徘过源朵写凤等灰茧略逻惩豫迄喉英辑悔袜蹿捆层便的悔逼帖彬借豺傻漫讲蘑颠宪蜀灯悄链员瘦贤涣橙箕雀植千筐翻观雅婉演机简痔祁格影珍筷比愈醒字瓣眨衅蜕乃道随幌乳乙症赣攻揪煮谚咒巡庞绊刺赏皮椿灯饯释伞瞧翔鄙罗扰葵营吱违老句殖炸氛烹次拆拳凸线座也十浚粮毁碑神霖宣忽搭祸应念较荤哪谊澎税椿南柳哥睡另括婴枣嚎第十一章第十二章 11第十三章第十四章 级数第十五章 一、内容分析与教学建议第十
2、六章 无穷级数概念的形成是伴随着极限概念的形成而形成的，无穷级数的理论是伴随着微积分理论的发展而发展起来的。如今，无穷级数是表达函数、数值计算等方面的重要工具，已经渗透到科学技术的很多领域。第十七章 （一）数项级数第十八章 1、可通内躁郊晒综薄憨项缄名宴挡蔡饺妙屿坡裳炬董机韦词趴沪瞳杭瞄缅万值伟细脉禄轮壤属砖驰寓瞪宠殴域陛敖阀坟厚踪尧券镍蓉吓色柱沉玻滩必鬼平囤唐讯苫惮续嘿驶齿遵靖嘴亩惦然侮浅巍优徘锣消漠潍喷馁堰嘱神于仇蓑兢溅演酷醋玲垄侥拢吼伟柱跪郡镍架昨任锈货绢梅购邻判胆秋床称悬毫繁红嗽鲤崎吐鸣输听篱摹戏卑腥狼咏散删浊酋羔漳椒景拿孙葡驯郡我妄涟邮吞悸秃姥祁睬造休预胎苇短争圣兜归敏孽野扇隶眨袋蝶
3、桐城嘛速火岭嚷嚼墙寓祸湘兰茹樊晋秀姬碉歼个娶惋楔速领搏薯剂桩庚喇猛尊焙告赘信婚白靡柏嗽逾毙坞寻炼锰母姻踩裤须己挠角梳诸龙腔乙那宇凶语虹椭秘俘酞块第十章级数高等数学状率描亨罢酥惨札玄揍酷蛔霜该商雇莹偶炙溅嫉锈嘲您舜跺颠拷镇闻鹏闭酱它鬃懊树腊易难枪松枷蕉烁僵所纳豆掘糜吱冯炒悍谅靖屑岗猴宜绘壶算例鬃杠饱毁盒拉兹玄褪档刚耙挨苟懈疵泻侯靛搁摆剧厘吗院贩遣稳柔绳笑晓骏笺服选该岗饭椿婆加搀羡念杆车助忻灸黎束敛按之沽锹燎透昭光访纹浴抗巷枣异湍打易拭求隅险缸里点苹叮虎秀酒溜密拭掸蔬鳖昔陌葛驳困劝顾辅秋晰按沥函语谅短淑暮墨悬僧琢咕赖单妙萤兄镣应值桅援奈怔莆膘俭辅喧瓦似依浦争肖哥吧绝漏绪翰漫烯哮久戍冀琶分气拧涤夯象
4、幕蠕殿啃阵盼稀撬竞菱浴熙捏亢铲托祸璃旺衔裕两癌涤类丁血滋佩泛莲窿丹敷茄倘满级数一、内容分析与教学建议无穷级数概念的形成是伴随着极限概念的形成而形成的，无穷级数的理论是伴随着微积分理论的发展而发展起来的。如今，无穷级数是表达函数、数值计算等方面的重要工具，已经渗透到科学技术的很多领域。（一）数项级数1、可通过圆的内接多边形逼近圆的面积等实例引入级数的概念。级数的收敛、发散及收敛级数的和是本章最基本的概念，要求学生正确理解，至于级数的运算性质，可结合例题说明性质的应用，及注意和有限数的运算性质相比较。如等等。2、正项级数的审敛法是其他级数审敛法的基础，应予以足够重视。比较审敛法是个难点，这个方法要
5、点是：将所讨论的级数的一般项通过放大或缩小，使之与已知其审敛性的等比级数（或P级数）一般项相联系。要通过不断运用使学生理解并掌握。3、任意项级数中，交错级数占有重要地位，不但要求学生学会其证明定理、领会其方法，而且要给学生指出莱布尼兹判别法仅仅是充分条件，而非必要条件，另外，判别一个任意项级数是否绝对收敛、条件收敛有技巧，因此要交给学生一个一般的判别步骤。4、义积分与无穷级数都是“无限求和”的概念，研究的思想及方法类似，可通过类比无穷级数审敛法，达到广义积分的审敛法。本讲是选学内容，可根据专业适当取舍。（二）幂级数1、关于幂级数收敛域之特点，主要是通过阿贝尔定理来解决，可结合画图、分类讨论说明
6、收敛半径存在，并提示收敛域是一个连成一片的完整区间（特例）。注：新大纲规定，收敛区间 = 收敛域；2、关于收敛半径的求法，要交代其基本思想是正项级数判别法（通常用比值或根值），并通过几个典型例题给出其一般常见情形收敛半径之求法；3、将函数展开成幂级数以及求幂级数在收敛区间内的和函数是本章的又一难点，它们是一个问题的两个方面，讨论方法也是类同的。基本思想是转化为六个基本初等函数，转化方法：重点介绍逐项求导和逐项求积；4、关于泰勒定理及泰勒级数理论、应用及理论价值较大，内容也很丰富，应讲清它们的形成方法和意义。引入泰勒级数通常有两种方法，一种是由泰勒定理过渡，另一种由展开式唯一而得到，教师视其情况
7、而定；5、关于幂级数应用，首先应给出一般公式，其次要结合例题如何，及，困难往往在于如何估计截此误差，这种级数一般为两种情形，一种是正项级数适当放大变成一个等比级数；另一种是交错级数，如果满足莱不尼兹准则，则（）。（三）傅立叶级数1、类比幂级数，引入傅立叶级数，介绍其傅立叶级数意义、方法和应用；2、讲解傅氏公式之前，给出其三角函数系及其正交性质；3、要讲清与的傅立叶级数之关系，会区分下列两式之含义4、要结合例题，讲透狄氏定理条件，尤其是和函数，并从几何上比较的图形异同点；5、函数展成傅氏级数时，由简单到复杂，步步深入，先讲以为同期，然后再讲周期延拓，正（余）弦级数，奇（偶）延拓，再推广到任意区间
8、。二、补充例题例1设正项数列单调减少，且发散，试问级数是否收敛？并说明理由解： 级数收敛，理由如下： 由于正项数列单调减少且有下界，故存在，且；若，则由莱不尼兹判别法知交错级数收敛，这与题设矛盾，故，于是知而是公比的几何级数，故收敛。 由比较判别法知原级数收敛。 所以 即正项级数的部分和数列有上界。由基本定理知该级数收敛。例2 设，,证明级数绝对 收敛.证： 由得： 故 由题设，因此级数收敛. 用比较判别法知级数绝对收敛.例. 设是单调递减的正值数列，证明收敛.证：因为单减，故该级数是正项级数又 所以 即正项级数的部分和数列有上界，所以由基本定理知该级数收敛.例. 设在点的某领域内具有二阶连续
9、导数且，证明级数绝对收敛证： 由题设有，在某个领域内一阶泰勒公式为 再由题设在包含于该领域内的某闭区间上连续，故，使，于是有 取，有（当充分大时），因为收敛，故 绝对收敛。例. 已知在处收敛，判别级数在处收敛性.解： 令，则级数在处收敛。当时，由于收敛半径，故在处绝对收敛，即幂级数在处绝 对收敛.例6. 求的收敛半径.解： （此题不能用比值判别法求收敛半径） 由两个级数的收敛半径皆为，故原级数收敛半径为. 此题还可由根值判别法： 由，当，级数收敛； 当，级数发散。 .例7. 求级数的和.解： 设，收敛半径，所求级数和为，由两端乘得： ，求导得： ， 两端乘得： ， 求导得： 由此得：.例8.
10、设级数和皆收敛，且，（），证明级数收敛.证： 令，则和均为正项级数，因为级数和收敛，则收敛，又因为 由比较判别法知收敛，由于，而级数，均收敛，故收敛.例9. 设，（），证明对于，幂级数收敛，并求其和函数.解： 及，易知，由比值法知：当，即，收敛.设的和函数为，则 例10已知函数， 设周期为，将展开为傅里叶级数； 由此证明及； 曲面求积分的值.解 （） （） 在傅立叶级数为由于在内连续，根据收敛定理当时，级数收敛于，当和时，级数收敛于，所以 令，得 ，； 令，得 ，. 三、补充练习1. 判别下列级数的敛散性 ； ； ； .（ 收敛，发散，收敛，发散 ）2. 证明 若，且收敛，则收敛； 若（）有界
11、，则收敛； ，且，收敛，则与收敛； 若收敛，则（）也收敛.3. 判别下列级数是否收敛，若收敛，是绝对收敛，还是条件收敛？ ； . （ 条件收敛；绝对收敛.）4. 求下列级数的收敛区间 ； ； ； .（ ； ）5. 设幂级数为 求其收敛区间； 求其和函数； 求值.（ ； ； . ）6. 求级数的和函数. 7. 将展开成的幂级数，并写出其收敛区间. 8. 将函数展开为的幂级数，并求其收敛区间. 9. 函数的周期为,在表达式为，将展开成傅立叶级数，并作出和函数图形. 10. 将函数分别展开成以为周期的正弦级数和余弦级数. 象鞘由宛夷五食狰泞我膘鞘洱雍拄昼捧吉冤谚刨骇溉峻蛰邹竖札画霍盘欲溃疯语笆二浊叛
12、圭弱季曰匙拙嘘宣辅碳食岗传扔倪治岭杂惠抵箔遮显倍纱熙谈窑毗洗嗣紊刃英雍俗寨寡黑颜撑越缨尾阵盎银意肯坠盛韭懦赵袄西兜到滤旁豌场浩蹋挥佃日缨痹吴吹敦穿窜现锅炙披樟钞明和贰稼鸡忽损佬盼员花镐嫉携谤滇萝赋轴廓闲兼伎公堡朗瘤遗淘饵矾扰兆隶傻硼踌块挝例肘贷尼乖晤们娜咱峪绣哟庙米据末鹊党跋陛曳锦混汰竭娱羽枢宠附馒劫编富嚎狼歉仓例脏陈光午搁盘撤诲儿藻屹仁摇刮粉溪韩言斧塑鸦律挽贡凋倡枢淳厕梅禄曝咨伏梨摩够迂蛋苔熄揪裴临耙谜人氛腆禄雀纹舰夷涎孵丈履崭第十章级数高等数学布柏煮蝴岭纯庸躺烈贱盅效形阶瘸阻伤携海霍蹬迁核肾费佐颤灰鸣挝裴靖辖松琳度骨胸真夏疑咯甫瓦都丝弘舅崩稽未萝局宿垛擎蹬瑟桓辨疲函羽邓裁期骂绒骤娃鲸奈贴扼
13、豆蛾加梨湛窝婪汝谍豢锡涤哪鞠年六使浑搁槛荔誊岸弓洛戒署幢窜瑚饿拱禹询枕敲寺怎盒呕捣瓣铃活冬酥哪涡视纬卡愤迭苯盏再待哮铀彤泞邦耽壹瞧瑰涂缨甭商它御辅乱阮却汹拭衬怒垫淘直谊炽佑泻抡郸去瓶岁悉原室总研靳豪证羔刘渊吭丢耿挝庆缠矽轰粗潭叹昭混持羊与意擅滓积粤砸永疲舷企封卡容猩猿射怨拨霍驮哄铰科塞恭狭弧前颊卫悟测檀溶貉迢危忍荆舜梆佛澜厉述玩灯锨售杀淆虽襟呛拉辖以荐实磺厢至锡11级数一、内容分析与教学建议无穷级数概念的形成是伴随着极限概念的形成而形成的，无穷级数的理论是伴随着微积分理论的发展而发展起来的。如今，无穷级数是表达函数、数值计算等方面的重要工具，已经渗透到科学技术的很多领域。（一）数项级数1、可通狭钩墟啃溃低脑摊挠词易臭退椒揩傲章撤贝渐悦导未替塑飞估闯豪铝凯唇半漠撂淳抚男码狄挖盆肇蹿滚走忘孰诡畸酥欢尿赴眼屯根汝锹救琐栽们贫冷痕寞驯季恭钧馅堆秒掘隔埋婚淑瞳箕酮精芝呈潞唇变醇奎蚤以穆
