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1、word学士学位论文矩阵的分解学院、专业数学科学学院 数学与应用数学研究方向代数学学生某某林 意学号200920134781指导教师某某周 末指导教师职称教 授 2014年4 月 16日 / 矩阵的分解摘要众所周知，矩阵是代数学中的一个重要概念，它的出现促进了代数学的快速开展矩阵分解作为矩阵理论中非常重要的一局部，是指将一个矩阵分解成一些特殊类型矩阵的乘积或和的形式矩阵分解的内容丰富，形式多样，是解决某些线性代数问题的重要工具本文主要从矩阵的QR分解、满秩分解、三角分解和奇异值分解等方面对矩阵的分解作了论述，首先给出了这几种分解形式的定义以与相关性质，然后给出了它们各自的具体的分解方法，最后通
2、过例题的形式将各分解方法呈现出来.关键词：矩阵；分解；QR分解；三角分解；满秩分解The Deposition of the MatrixABSTRACTAs everyone knows，matrixis one of the most important concepts in algebra，whose appearance promotes the development of algebraWhile as a significant part of the theory of matrix，the deposition of matrix aims at deposinga mat
3、rix into the product(or sum) of several specific kinds of matricesThe deposition of matrix not only concludes rich contents and forms，but also works as one of the significant methods in dealing with some linear algebra problemsIn this paper，the deposition of matrix is mainly introduced from the aspe
4、cts mentioned below，such as QR deposition，full rank deposition，LU deposition and so onFirstly，the definitions and related properties of these forms of deposition are givenAnd then，specific deposition ways of theirs are illustratedFinally，these deposition methods are clearly presented by the forms of
5、 some examplesKeywords：Matrix；Deposition；QR Deposition；LU Matrix Deposition；Full Rank Deposition目录摘要IABSTRACTII目录III一、引言1二、矩阵的QR分解1一矩阵QR分解的根本概念与定理1二矩阵QR分解的常用方法与应用举例1三、矩阵的三角分解8一矩阵三角分解的根本概念与定理8二矩阵三角分解的常用方法与应用举例9四、矩阵的满秩分解15一矩阵满秩分解的根本概念与定理15二矩阵满秩分解的常用方法与应用举例15五、矩阵的奇异值分解17一矩阵奇异值分解的根本概念与定理17二矩阵奇异值分解的常用方法与
6、应用举例18六、结论20参考文献20致谢21一、引言矩阵分解是代数学中的一个重要概念把一个矩阵分解成假如干个矩阵的和或乘积的形式是解决某些线性代数问题的重要方法，如解矩阵方程和最小二乘问题等本文将从矩阵的QR分解，满秩分解，三角分解以与奇异值分解等方面对矩阵分解进展探讨对于本文中所涉与到的一些概念，我们做如下规定：用表示实数域；表示实数域上维向量空间；表示复数域上维向量空间； 表示实数域上矩阵空间；表示复数域上矩阵空间；表示单位矩阵；表示矩阵或向量的转置；表示矩阵或向量的共轭转置；表示阶对角矩阵二、矩阵的QR分解一矩阵QR分解的根本概念与定理定义对于阶复矩阵，假如满足，如此称是酉矩阵定义如果方
7、阵可以分解成一个酉正交矩阵与一个复实上三角矩阵的乘积，即，如此称上式为的一个分解定理如果阶方阵为非奇异实(复)矩阵，如此存在正交(酉)矩阵和非奇异实(复)上三角矩阵，使得且除去相差一个对角元绝对值(模)全等于1的对角矩阵因子外，分解式是唯一的二矩阵QR分解的常用方法与应用举例1、利用正交化方法进展分解方法：1写出矩阵的列向量组； 2把列向量组按照方法进展正交化； 3得出矩阵的分解 用正交化方法求矩阵的分解解 令，将正交化得 记，如此，再将单位化，得令=，记，如此，=，如此有2、变换法求矩阵的分解在平面解析几何中，使向量顺时针旋转角度后变为向量的旋转变换为，其中因为旋转变换不改变向量的模，所以它
8、是正交变换，从而是正交矩阵，且定义 一般的，在维欧式空间中取定一组标准正交基，在平面中旋转，它的矩阵表示是，为旋转角，其他元素为0令，如此，这时，叫做矩阵初等旋转矩阵，它所确定的线性变换叫做变换初等旋转变换变换可以将向量或矩阵中指定的元素化为零定理设是阶非奇异实矩阵，如此存在由有限个初等旋转矩阵的乘积构成的正交矩阵和一个上三角矩阵，使得 用变换求矩阵的分解解 1对的第一列，取，如此2然后对的右下方子矩阵，取，如此，如此3再令，于是得到3、变换求矩阵的分解一般的，在中，是非零的单位向量，将向量映射为关于与正交的维子空间对称的向量的镜像变换定义如下定义 设是非零的单位向量，阶矩阵称为矩阵(初等反射
9、矩阵)，变换称为变换初等反射变换定理设是阶非奇异矩阵，如此存在由有限个初等反射矩阵的乘积构成的正交矩阵和一个上三角矩阵，使得例2.3 用方法求矩阵的分解解 1对的第一列，取单位向量，于是，从而2对的第1列，取单位向量，作，从而3令，从而可得，以与正交阵4、利用初等变换求矩阵的分解矩阵的初等变换共有三种，其中把数域上矩阵的某一行(列)的倍加到另一行(列)上，这种初等变换称为第三种行(列)初等变换为任意实数定理设是一实矩阵，假如是列满秩矩阵，如此对称正定，因而有唯一的三角分解式，其中是单位下三角，是对角元全为正数的的对角矩阵定理假如是一个列满秩矩阵，如此总可经过一对第三种行和列的初等变换分解为的形
10、式，其中是一个列正交矩阵，是非奇异上三角矩阵步骤：1求出对称正定矩阵；2对同时进展相应的第三种初等行和列变换，得到对角矩阵且主对角线上元素全为正实数因为对矩阵施行行初等变换相当于用相应的初等矩阵左乘该矩阵，对矩阵施行列初等变换相当于用相应的初等矩阵右乘该矩阵，所以存在下三角矩阵和上三角矩阵 (显然可逆)，使得，； 3设，其中为单位矩阵4令，如此是一个列正交矩阵，是一个非奇异上三角矩阵，即得分解式 用初等变换求矩阵的分解解，对只用第三种初等变换，如此，因此可得5、利用行(列)初等变换法步骤如下： (i)构造矩阵； (ii)对用第三种列初等变换，将化为下三角矩阵，同时化为列正交矩阵； (iii)对
11、上述得到的矩阵，再用第二种列初等变换化的各列为单位向量，如此化为(列) 正交矩阵，同时将矩阵分解为的形式解 因为，所以，用1乘以第一列加到第二列，如此有，于是可得，正交化法，即对矩阵的列向量组进展正交化来求矩阵的QR分解，思路简单、清晰，适用于低阶矩阵的QR分解实际上，我们一般不用正交化法作QR分解，而是借助变换和变换对矩阵进展QR分解方法需要作最多个矩阵的连乘，当较大时，计算量较大，因此常利用变换进展QR分解只需作个矩阵，计算量大约是方法的一半而对于初等变换法和列初等变换，它们的思路都比拟简单，但计算易出错，比拟适用于低阶矩阵的QR分解三、矩阵的三角分解一矩阵三角分解的根本概念与定理定义设是
12、阶矩阵，如果的对角线下(上)方的元素全为零，即对， (对,)，如此称矩阵A为上(下)三角矩阵上三角矩阵和下三角矩阵统称为三角矩阵对角元全为1的上(下)三角矩阵称为单位上(下)三角矩阵定义 设是阶矩阵，如果有下三角矩阵和上三角矩阵使得，如此称能作三角分解，并且称为的三角分解或分解如果的三角分解中，为单位下三角矩阵，为上三角形矩阵，此时的三角分解称为杜利特分解；假如为下三角形矩阵，为单位上三角矩阵，如此称此三角分解为克劳特分解矩阵的三角分解是不唯一的分解和分解就是两种不同的分解方式因为如果的三角分解为，设是非奇异的任意对角矩阵，如此也是的三角分解，其中是下三角形矩阵，是上三角形矩阵，由于的任意性，
13、的三角分解有无穷多种关于矩阵的三角分解有如下结论：定理分解定理 设是阶非奇异矩阵，如此存在唯一的单位下三角矩阵和上三角矩阵使得的充分必要条件是的前个顺序主子式均非零，即定理分解定理 设是阶非奇异矩阵，如此存在唯一的单位下三角矩阵，对角矩阵和单位上三角矩阵使得的充分必要条件是的所有顺序主子式均不为零，即，并且，推论设是阶矩阵，如此可以唯一地进展分解和分解的充分必要条件是的顺序主子式注 矩阵的分解与分解都需要假设的前阶顺序主子式非零如果这个条件不满足，可以给左(或右)乘以置换矩阵(以阶单位矩阵的个列向量为列作成的阶矩阵)，就把的行或列的次序重新排列使之满足这个条件，从而有如下的行交换的矩阵分解定理
14、定理设是阶非奇异矩阵，如此存在置换矩阵，使得的个顺序主子式均非零，且有，其中，为单位下三角矩阵，为上三角矩阵，为单位上三角矩阵，为对角矩阵二矩阵三角分解的常用方法与应用举例1、消元法消元法的根本思想是利用矩阵的初等行变换化矩阵为上三角矩阵对于一般的阶方阵，不妨令可按如下步骤分解：不妨设，以下类似首先将乘以第一行加到第行上，可把变形为，这相当于用单位下三角矩阵左乘矩阵而得到，再将乘以的第二行加到第行上，可把变形为 ，这相当于用单位下三角矩阵左乘以而得到，如此一直进展下去直到第步，就被化为一个上三角矩阵，记为：，此时上述对进展的一系列行初等变换，相当于用单位下三角矩阵依次左乘，即：，由于均为单位下三角阵，所以它们的逆矩阵都存在，并且这些逆矩阵与其乘积也是单位下三角阵因此，即最后令，如此 求解方程组：解 方程组为，其中：，首先对进展三角分解先对施行行初等变换化为上三角矩阵这相当于用如下的三个初等矩阵依次左乘，即，其中由于初等矩阵都是非奇异方阵，故其逆矩阵均存在，因此，而，令，如此故，即 于是方程组变为或令，如此有，其中于是有，即，容易求得又解，
