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1、第 3 讲圆锥曲线中的综合问题圆锥曲线中的定点、定值问题(5 年 3 考) 高考解读 定点、定值问题是解析几何中的常见问题，此类试题多考查圆锥曲线的基本知识、解析几何的基本方法，难度不高，不同层次的同学均能顺利解决 .此类考题注重考查通性通法的应用，考查考生的逻辑推理和数学运算的核心素养.角度一：定点问题x221(2017 全国卷 )设 O 为坐标原点，动点M 在椭圆 C： 2 y 1 上，过 M作 x 轴的垂线，垂足为N，点 P 满足 NP2NM.(1)求点 P 的轨迹方程；(2)设点 Q 在直线 x 3 上，且OPPQ 1.证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F.
2、切入点： 点 M 在椭圆 C 上，且 MNx 轴； NP2NM.关键点：将 OPPQ1 转化为向量的坐标运算， 进而证明直线 l 过 C 的左焦点F. 解(1)设 P(x，y)， M(x0，y0)，则 N(x0,0)，NP(xx0， y)，NM(0， y0)2由 NP 2NM得 x0x，y02 y.x2y2因为 M(x0 ，y0)在 C 上，所以2 2 1.因此点 P 的轨迹方程为 x2y2 2.(2)证明：由题意知 F(1,0)设 Q( 3， t)， P(m，n)，则 OQ (3，t)，PF(1m， n)，OQ 33mtn，PF(m，n)， PQ (3m， tn)OP由 OPPQ1 得 3m
3、m2 tnn21.又由 (1)知 m2 n22，故 33m tn0. 所以 OQ0，即 OQ PF.PF又过点 P 存在唯一直线垂直于 OQ，所以过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F.角度二：定值问题2(2019 全国卷 )已知点 A，B 关于坐标原点 O 对称， |AB|4，M 过点 A，B 且与直线 x20 相切(1)若 A 在直线 x y 0 上，求 M 的半径；(2)是否存在定点 P，使得当 A 运动时， |MA| |MP|为定值？并说明理由切入点： M 过点 A， B； M 与直线 x20 相切关键点： 确定圆心 M 的坐标；选用合适的参数表示|MA|MP|的值
4、 解 (1)因为 M 过点 A， B，所以圆心 M 在 AB 的垂直平分线上 由已知 A 在直线 xy 0 上，且 A，B 关于坐标原点 O 对称，所以 M 在直线 yx 上，故可设 M(a，a)因为 M 与直线 x20 相切，所以 M 的半径为 r |a 2|.22由已知得 |AO|2，又 MOAO，故可得 2a 4(a2) ，解得 a 0 或 a4.(2)存在定点 P(1,0)，使得 |MA|MP|为定值 理由如下：设 M(x，y)，由已知得 M 的半径为 r |x2|， |AO|2.由于 MO AO，故可得 x2y2 4 (x2)2，化简得 M 的轨迹方程为 y24x.因为曲线 C：y2
5、4x 是以点 P(1,0)为焦点，以直线 x 1 为准线的抛物线 ，所以 |MP|x1.因为 |MA| |MP|r |MP|x2(x1) 1，所以存在满足条件的定点P. 教师备选题 x2y21(2017 全国卷 )已知椭圆 C：a2 b21(ab0)，四点 P1(1,1)， P2(0,1)，P3 1，3 ，P4，3 中恰有三点在椭圆 C 上212(1)求 C 的方程；(2)设直线 l 不经过 P2 点且与 C 相交于 A，B 两点若直线 P2A 与直线 P2 B 的斜率的和为 1，证明： l 过定点 解(1)由于 P3，P4 两点关于 y 轴对称，故由题设知椭圆 C 经过 P3，P4 两点 又
6、由11132222知，椭圆 C 不经过点 P1，aba4b所以点 P2 在椭圆 C 上1b21，a2 4，x22因此132解得2 1.故椭圆 C 的方程为 4 y1.2ba 4b1，(2)证明：设直线221， k2.P A 与直线 P B 的斜率分别为 k如果 l 与 x 轴垂直，设 l ：xt，由题设知 t 0，且|t|2，可得 A，B 的坐标分别为 t，4 t222 22 2， t， 4 t，则 k1k2 4 t4 t 1，得 t222t2t2，不符合题设 从而可设 l： y kxm(m 1)2将 ykxm 代入 x4 y21 得(4k2 1)x28kmx4m2 40.由题设可知16(4k
7、2m2 1)0.设 A(x1， y1)，2 ，y2 ，则x1 x28km，x1 24m2422B(x)4k 1x4k 1 .而 k1k2y1 1y211x2xkx1 m1kx2 m1x1x2 2kx1x2 m1 x1x2 .x1x2由题设 k1k2 1，故 (2k 1)x1x2(m 1)(x1 x2)0.2 48km4mm 1即 (2k 1) 4k21 (m1) 4k2 1 0，解得 k 2 .当且仅当 m 1 时，0，m1于是 l ：y2xm，m1即 y12(x2)，所以 l 过定点 (2， 1)2(2018 北京高考 )已知抛物线 C：y2 2px 经过点 P(1,2)，过点 Q(0,1)
8、的直线l 与抛物线 C 有两个不同的交点A，B，且直线 PA 交 y 轴于 M，直线 PB 交 y 轴于N.(1)求直线 l 的斜率的取值范围； 11为定值(2)设 O 为原点， QMQO，QNQO，求证： 解(1)因为抛物线 y2 2px 过点 (1,2)，所以 2p4，即 p 2.故抛物线 C 的方程为 y24x.由题意知 ，直线 l 的斜率存在且不为 0.设直线 l 的方程为 ykx1(k0)，y2 4x，由得 k2x2 (2k 4)x 1 0.ykx 1，22依题意 (2k 4) 4k 10，又 PA， PB 与 y 轴相交，故直线 l 不过点 (1， 2)从而 k 3.所以直线 l
9、斜率的取值范围是 (， 3)(3,0)(0,1)(2)证明：设 A(x1 ，y1)，B(x2，y2)由 (1)知 x1 x22k41k2，x1x2k2 .y12直线 PA 的方程为 y 2 x11(x 1)y12 kx1 1令 x0，得点 M 的纵坐标为 yM x1 1 2x1 1 2. kx2 1同理得点 N 的纵坐标为 yN x2 1 2. 由 QMQO，QN QO，得 1yM， 1yN.所以 1111 1yM1yNx1 1x21k1 x1k 1 x21 2 x1x22x x1 1 2k 1x x22k 41 k2 k2 k 11k2 2.11所以 为定值1证明直线过定点的基本思想是使用一
10、个参数表示直线方程，根据直线所过的定点与参数值无关得出x，y 的方程组，以方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点2定值问题就是证明一个量或表达式的值与其中的变化因素无关，这些变化的因素可能是直线的斜率、截距，也可能是动点的坐标等，这类问题的一般解法是使用变化的量表示求证目标，通过运算得知求证目标的取值与变化的量无关，当使用直线的斜率和截距表示直线方程时，在解题过程中要注意建立斜率和截距之间的关系，把双参数问题化为单参数问题解决1(定点问题 )已知抛物线 C： y22px(p0)的焦点为 F，点 P(1， a)在此抛物线上， |PF|2，不过原点的直线l 与抛物线 C 交于 A，B 两点，以 AB 为直径的圆M 过坐标原点(1)求抛物线 C 的方
