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1、高中数学选修2-3 独立重复试验与 二项分布 教案设计课题独立重复试验与二项分布课时安排一课时教材人教版数学选修2-3 2.3.2 【课时内容与内容解析】本节内容是在学生已掌握二项式定理与两点分布、事件的独立性的基础上，学习中学数学离散概型中的一种常见概型_二项分布概型。它是独立等可能事件的重复次数从一次向有限多次的延伸。本课在教学内容上起着承前启后的作用。教材的这一安排对学生全面系统地掌握离散型随机变量的分布以及对概率统计思想的感悟具有明显的促进作用。【课时目标与目标解析】知识与技能（1）理解n次独立重复试验的概念及二项分布模型。（2）会判断一个具体概率问题是否服从二项分布，并能据此解决相关
2、问题。过程与方法（1）通过具体、易于操作的游戏活动，激发学生自主探究、积极合作、相互交流，在主动参与数学活动的过程中归纳出数学概念、建构出二项分布概率模型。（2）在学生经历知识发生、发展的过程中渗透由特殊到一般、由具体到抽象的数学思想方法。情感态度与价值观让学生体会数学的理性精神与严谨性，了解数学来源于实际、应用于实际的唯物主义思想，学会勇于探索、敢于创新、善于应对新知识的科学态度。【本课重点与难点解析】重点 ：n次独立重复试验的概念、二项分布概率模型以及应用二项分布模型解决一些简单的实际问题。难点 ：二项分布概率模型的理解与应用。【教学方式与流程】本课教学采取引导探究模式和归纳概括模式。上好
3、一节课，教学的指导思想很重要。为了达到理想的教学效果，教师需要有好的教学指导思想。根据本节课教学内容的特点，确立如下的教学指导思想：学生为主体，问题为主轴，训练为主线，思维为主攻 为了促成学生有效的探索发现，本节课将注重以下三个方面的引领： 结构引领：从创设情境、提出猜想，到探究计算、建立模型，再到归纳概括，回顾历史，最后小试牛刀、巩固新知。完成 “情境引入问题探究归纳建构发展延拓”的结构引领。 方法引领：通过设置游戏活动、问题探究和归纳建构等环节，完成科学探究中“发现问题分析问题解决问题”的一般方法的引领；通过对本节知识的探究学习，让学生感知和自主构建概率分布模型以及体会应用该模型求解实际问
4、题的方法。思想引领：通过引导学生思考“如何计算小球落到第n层的每个小孔的概率如何建立此类问题的求解模型 该模型有何特点所得模型还适用于求解何种类型问题”系列问题，自然渗透了随机统计、类比归纳、数学建模等思想。【模拟授课教案】教学环节教 学 内 容教师活动学生活动设 计意 图（一）创设情景提出猜想（一）创设情景提出猜想以街头赌博游戏中的中奖概率问题为背景引入课题，激发学生学习本节课内容的求知欲。【生活片段】以钉板作为赌博工具，大家是否曾经见过？在某地街头常有如下游戏：庄家在钉板底部放置若干奖品，在钉板顶处投掷小球，小球最终下落处所在的物品即为奖品。由于有的奖品比较丰厚，因此常有客人被吸引后想碰碰
5、运气，有偿玩此游戏。同学们，你们想尝试一下这种游戏吗？【动手实践】器材：钉板、乒乓球、可乐、矿泉水、面纸、糖果。在钉板底部中间放可乐，从两边分别往左右对称地放置矿泉水、面纸和糖果。请三位学生投球，得到的奖品归学生。思考：怎样才能使庄家获利的可能性尽量大？这里面蕴含着什么道理？【提出猜想】小球下落到底层各孔的可能性中间大，两边小。【演示验证】这个游戏的数学背景就是历史上有名的高尔顿“钉板试验”，它是由英国生物统计学家高尔顿所设计的。下面我们用高尔顿钉板模拟器来做大量小球下落的试验，看看模拟器显示的结果是否与同学们的猜想一致。教师在此强调：仅由少数几次试验，不能完全反映出小球下落后其分布的趋势。“
6、多次重复，大量试验”是处理概率问题的重要方法。呈现生活中的实际问题情境，导入本节课的学习内容。教师用准备好的教具，组织学生参与活动，并引导学生大胆猜想，提出问题。教师讲述游戏的数学背景，介绍高尔顿及其钉板试验，并用模拟器做大量重复试验。学生动手操作，讨论、思考后提出猜想。学生观看演示结果，体会“多次重复、大量试验”对于概率问题的重要性。以生活片段引出问题，让学生明白数学问题来源于生活，为学生的知识结构合理搭建“脚手架”。创设问题情境，动手操作游戏，激发学生主动参与数学活动的积极性。揭示问题的数学背景，让学生体会概率知识在生活中的重要应用，感悟“多次重复，大量试验”对于概率问题的重要性。（二）探
7、究计算 建立模型（二）探究计算建立模型大家知道，数学是一门严谨的科学。我们研究数学问题不仅需要观察、试验、猜想等合情推理，还需要进行逻辑分析、推演、论证等演绎推理。【探究论证】回顾上课伊始呈现的游戏中小球下落的过程：小球共下落了6层，下落过程中小球碰到钉子后向左孔或右孔掉落的概率均等，最终到达第7层的某个小孔，并掉落到钉板底部。我们来分析一下这一过程的特点：（1）小球每次下落只有往左或往右两个对立结果；（2）小球下落到每一层时往左或往右不受前面结果的影响，即每次下落的条件相同；（3）试验在相同条件下进行6次。在我们的生活中，还存在着与之类似的一系列试验，你还能举出类似的例子吗？例如：某人抛50
8、次硬币，其中每次只有正面朝上或反面朝上两种；某射击手射击10次，每次只有击中靶心或不击中靶心两种情况定义：一般地，在相同条件下做的n次试验称为n次独立重复试验 。P（A1 A2. An）=P（A1）.P（A2）.P（An）其中Ai(i=1，2n)是第i次试验结果。试结合上述分析过程探究如下问题：问题一：小球经过第7层最右边孔的概率是多少？如果变为第n层的最右边孔呢？首先我们记小球下落过程中向右掉落的事件为X，本题中X=6。，基于上述分析，易得小球下落到第7层最右边的概率为：P（X=6）= 0.56 一般地，P（X=n）= 0.5n。接下来我们再来尝试探究一个稍微复杂的问题。问题二：小球经过第7
9、层中间孔的概率是多少？分析：小球掉落到第7层中间孔，即小球连续掉落6层过程中恰有3次往右边掉落。分解问题：（1）连续下落6层，其中有3次往右边掉落，有几种可能路线？ （2）经过每条路线的概率分别是多少？ （3）下落6层，恰有3次往右边掉落的概率是多少？ 基于上述探究，下面开始建立二项分布模型，分小组讨论下面问题：问题三：小球在实际下落过程中由于摩擦等因素往左右两边掉落的概率不同，假定向右掉的概率为p，那么小球下落到7层，其中有k次是向右掉落的概率是多少？如果下落到第n层，那么这一过程中恰有k次向右掉落的概率又是多少？强调“合情推理”与“演绎推理”对于数学研究的重要性，以及注意适时地将两者结合。
10、引导学生归纳试验特点，得出独立重复试验的定义。引导学生将问题分解为几个小部分，体现出做事要有层次性。引导学生探究出这些问题的结论，总结出一般方法，二项分布的概念自然而然就建构起来了。学生体会数学探究的方法，并展开下面几个问题的探究。学生动手解决问题，总结特点，归纳定义。让学生体会到“合情推理” 与“演绎推理”的有效结合是数学问题探究的一般方法。将问题分解，易于学生上手，同时能够与之前所做相呼应，促进学生对问题的理解。层层递进，并结合之前所学的数学知识，自然类比归纳出二项分布模型。（三）归纳总结定义：在n次独立重复试验中,设事件A发生的次数为X ，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立
11、重复试验中，事件A恰好发生k 次的概率为：其中（k=0,1,2n），则称随机变量X服从二项分布，记作 XB(n，p)。也叫Bernolli分布。教师引导学生思考归纳，加深他们对于新知识的理解。感悟思考，归纳总结。根据布鲁纳的认知结构理论，教师引导学生回顾和整理相关内容，能帮助学生建立对本节知识的长期记忆，构建和完善他们的知识框架。（四）走进历史雅各布伯努利 （Jakob Bernoulli，1654年12月27日1705年8月16日），伯努利家族代表人物之一。伯努利在概率论方面作出了巨大的贡献，因此二项分布又称伯努利分布。伯努利家族：伯努利家族（1718世纪）是数学发展史上一个声名显赫的数学家
12、族，这个家族代代相传，人才辈出，祖孙三代连续出现了8位一流数学家，堪称是数学史上的一个奇迹和神话。其中以雅各布伯努利、约翰伯努利、丹尼尔伯努利这三人的成就最大。他们的一些研究成果甚至开创了一个学科，例如，丹尼尔伯努利是数学物理学科的奠基人。可见，良好的家族氛围对人的成长帮助很大。教师讲述伯努利与二项分布的关系，并讲述伯努利家族的故事，激发学生对数学的兴趣。学生感悟数学家研究数学的精神。数学课程中渗透数学史，有利于对学生情感态度价值观的培养。（五）小试牛刀例题：某射手每次射击击中目标的概率为0.8 ，求这名射手在10次射击中，（1）恰有8次击中目标的概率；（2）至少有8次击中目标的概率；（3）要保证击中目标概率大于0.99，至少应射击多少次？（结果保留两个有效数字）课后思考：（1）二项分布与两点分布有什么关系？（2）二项分布与超几何分布的异同是什么？ 教师予以适当引导和提
