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1、 第1课时 勾股定理及拼图验证教学设计：课题第1课时勾股定理及拼图验证授课人教学目标知识技能了解勾股定理的文化背景，体验勾股定理的探索过程.数学思考在勾股定理的探索过程中，发展合情推理能力，体会数形结合思想在探究活动中，体验解决问题方法的多样性.问题解决通过拼图活动，体验数学思维的严谨性，发展形象思维.情感态度通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，激发学习热情.教学重点探索和证明勾股定理.教学难点用拼图的方法证明勾股定理.授课类型新授课课时教具直尺、三角板，多媒体：PPT课件、电子白板教学活动教学步骤师生活动设计意图回顾前面我们学习了有关三角形的知识，我们知道，三角形有三个角和三条边问题：三
2、个角的数量关系明确吗？三条边的数量关系明确吗？师生活动：教师引导，学生回答我们学习过等腰三角形，知道等腰三角形是两边相等的特殊的三角形，它有许多特殊的性质研究特例是数学研究的一个方向，直角三角形是有一个角为直角的特殊三角形，中国古代人把直角三角形中较短的直角边叫做“勾”，较长的直角边叫做“股”，斜边叫做“弦”(在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”)直角三角形中最长的边是哪条边？为什么？它们除了大小关系，有没有更具体的数量关系呢？这就是我们要研究的问题图171151.学生回忆并回答，为突破本节难点做准备2回顾三角形的内角和是180以及三角形任何两边的和大于第
3、三边，由三角形三边的不等关系引导学生思考，三角形三边之间是否存在等量关系.活动一：创设情境导入新课【课堂引入】创设情境激发兴趣2002年在北京召开了第24届国际数学家大会，它是最高水平的全球性数学科学学术会议，被誉为数学界的“奥运会”这就是本届大会的会徽的图案(1)你见过这个图案吗？ 图17116(2)你听说过“勾股定理”吗？教师出示照片及图片，学生观察图片发表见解教师补充说明：这个图案是我国汉代数学家赵爽用来证明勾股定理的“赵爽弦图”加工而来，展现了我国古代对勾股定理的研究成果，是我国古代数学的骄傲在本次活动中，教师应关注：(1)学生对“赵爽弦图”及勾股定理的历史是否感兴趣；(2)学生对勾股
4、定理的了解程度从现实生活中提出“赵爽弦图”，为学生能够积极主动地投入到探索活动创设情境，激发学生的学习热情，同时为探索勾股定理提供背景材料，自然地引出本节课的研究内容，同时渗透了爱国主义教育.活动二：实践探究交流新知【探究1】 观察特例发现新知毕达哥拉斯是古希腊著名的数学家相传在2500多年前，他在朋友家作客时，发现朋友家用地砖铺成的地面反映了直角三角形的三边的某种数量关系(1)现在请你也观察一下，你能有什么发现吗？(2)你能找出图17117中正方形A、B、C的面积之间的关系吗？(3)正方形A、B、C所围等腰直角三角形的三边之间有什么特殊关系？ 教师展示图片并提出问题学生观察图片，分组交流讨论
5、 图17117学生通过直接数等腰直角三角形的个数，或者用割补的方法将正方形A、B中小等腰直角三角形补成一个大正方形得到：正方形A、B的面积之和等于大正方形C的面积教师引导学生，由正方形的面积等于边长的平方归纳出：等腰直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方【探究2】 深入探究交流归纳(1)等腰直角三角形是特殊的直角三角形，一般的直角三角形是否也具有“两直角边的平方和等于斜边的平方”呢？1问题是思维的起点，通过问题激发学生好奇、探究和主动学习的欲望2渗透从特殊到一般的数学思想为学生提供参与数学活动的时间和空间，发挥学生的主体作用；培养学生的类比迁移能力及探索问题的能力，使学生在相互欣赏、争辩、
6、互助中得到提高.活动二：实践探究交流新知如图17118，每个小方格的面积均为1，以格点为顶点，中分别有一个直角边分别是3，4和2，3的直角三角形仿照上一活动，我们以这两个直角三角形的三边为边向外作正方形图17118(2)想一想，怎样利用小方格计算正方形A、B、C面积？A的面积(单位面积)B的面积(单位面积)C的面积(单位面积)图16925图4913A、B、C面积关系ABC直角三角形三边关系两直角边的平方和等于斜边的平方(3)正方形A、B、C面积之间的关系是什么？(4)直角三角形三边之间的关系用命题形式怎样表述？学生独立观察并计算各图中正方形A，B，C的面积并完成填表.教师参与小组活动，指导、倾
7、听学生交流针对不同认识水平的学生，引导其用不同的方法得出大正方形的面积.学生分组交流，展示求面积的不同方法，如：在正方形C周围补出四个全等的直角三角形而得到一个大正方形，通过图形面积的和差，得到正方形C的面积或者，将正方形C分割成四个全等的直角三角形和一个小正方形，求得正方形C的面积.学生利用表格有条理地呈现数据，归纳得到：正方形A，B的面积之和等于正方形C的面积.在上一活动“探究等腰直角三角形三边关系”的基础上，学生类比迁移，得到：两直角边的平方和等于斜边的平方.师生共同讨论、交流、逐步完善，得到命题1：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2b2c2.3.鼓励学生勇于面
8、对数学活动中的困难，尝试从不同角度寻求解决问题的有效方法，并通过对方法的反思，获得解决问题的经验.4.让学生在轻松的氛围中积极参与对数学问题的讨论，敢于发表自己的观点，并尊重与理解他人的见解，能从交流中获益.活动二：实践探究交流新知教师应重点关注：学生能否主动参与探究活动，在讨论中发表自己的见解，倾听他人的意见，对不同的观点进行质疑，从中获益.【探究3】 拼图验证加深理解(1)观察赵爽弦图，思考：如何利用此图的面积表示式验证命题1？图17119(2)仿照课本中赵爽的思路，只剪两刀，将边长为a、b的两个连体长方形，拼成一个新的正方形？(3)怎样根据拼图活动的结果证明勾股定理呢？图17120教师展
9、示图片，提出问题学生观察图形可得：大正方形面积四个全等直角三角形面积中间小正方形面积再由代数恒等变形能得到a2b2c2，即验证了命题1.教师指导学生阅读教材24页，了解赵爽是如何利用拼图的方法来证明命题1的学生在弦图验证的基础上，参照教材开展拼图活动，以小组为单位，合作探究有的学生会盲目动手，如沿正方形对角线分割等让学生自己思考、总结、更正，在不断的摸索中找到解决问题的正确方法引导学生拼图的关键是：构造以a，b为直角边的直角三角形结合纸片，即在线段MN上确定一点P，使分得的新线段与已有边长a，b构成需要的直角三角形鼓励学生代表作示范演示，展示分割、拼接的过程再利用多媒体动画演示5.通过探究活动
10、，调动学生的积极性，激发学生探求新知的欲望给学生充分的时间与空间讨论、交流，鼓励学生敢于发表自己的见解，感受合作的重要性.活动二：实践探究交流新知学生容易想到：未剪之前，图形面积是a2b2，在拼图过程中，构造了以a、b为直角边的直角三角形，得到斜边为c.拼接之后新的正方形边长是c，面积为c2.从而得到直角三角形三边的关系：a2b2c2，再次验证命题1.教师应重点关注：(1)学生能否进行合理的分割，对不同层次的学生有针对性地给予分析、帮助；(2)学生能否用语言准确地表达自己的观点小结：勾股定理从边的角度刻画了直角三角形的又一特征总结定理内容：如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么
11、a2b2c2.教师做简要阐述：人类对勾股定理的研究已有近3000年的历史，结合本节内容给出定理的概念向学生对比介绍古今中外对勾股定理的研究成果，指出我国是最早发现勾股定理的国家之一在西方，勾股定理又称“毕达哥拉斯定理”“驴桥定理”等学生谈体会，教师进行补充、总结，为下节课做好铺垫在此次活动中教师应重点关注：(1)不同层次的学生对知识的理解程度；(2)学生能否从不同方面谈感受；(3)倾听他人的意见，体会合作学习的必要性6.让学生模拟数学家的思维方式和思维过程，亲身体验勾股定理的探索与验证，使学生对定理的理解更加深刻，体会数形结合思想，发展创造性思维能力由传统的数学课堂向实验的数学课堂转变.活动三
12、：开放训练体现应用【应用举例】例在直角三角形中，各边的长如图17121，求出未知边的长度图17121师生总结：通过对等式变形，可以得出直角三角形三边之间的关系：c，b，a.在直角三角形中，已知两边，求第三边，应用勾股定理求解，也可建立方程解决问题，渗透方程思想1.应用举例，让学生对本节课的知识进行最基本的运用，为下节课勾股定理的应用做好铺垫2培养学生规范解题的能力.活动三：开放训练体现应用【拓展提升】 勾股定理的其他证法1利用下面的两个图形证明定理图171222.根据如图171所示，利用面积法证明勾股定理(总统证法)图17123教师提出问题：上图就是伽菲尔德总统的拼法，你知道他是如何验证的吗？
13、你能用两种方法表示图中的面积吗？伽菲尔德总统是这样分析的：S梯形ABCD(ab)2，S梯形ABCDSABESECDSAEDababc2.则有(ab)2ababc2，化简可得a2b2c2.1.通过拼图活动，使学生对定理的理解更加深刻，体会数学中的数形结合思想2发散思维，学会举一反三3与前面的弦图验证相呼应，让学生体会数形结合思想，了解勾股定理证法的多样性.活动四：课堂总结反思【当堂训练】1求下面图形中未知正方形的面积图171242.求出下列各直角三角形中未知边x的长度图17125图171261.当堂检测，及时反馈学习效果2针对学生认知的差异设计了有层次的练习题，既使学生巩固知识，形成技能，又使学
14、有余力的学生获得最佳发展活动四：课堂总结反思3.如图17126所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面15米处折断倒下，树顶落在离树根12米处大树在折断之前高多少？4已知：等边三角形ABC的边长是6 cm，AD为BC边上的高，求AD的长小结与作业：小结：今天我们学了哪些内容：图17127如图17127，直角三角形ABC的主要性质是：C90，(用几何语言表示)(1)两锐角之间的关系：_AB90_；(2)若B30，则B的对边和斜边的关系：_AB2AC_；(3)三边之间的关系：_AC2BC2AB2_(4)阅读教材，总结教材提供的勾股定理的其他证明方法了解中国人的伟大和外国人的智慧作业：教材第28页习题17.1第1，2，3，7题.3让学生学会思考，培养学生的归纳能力和语言表达能力4学生通过对学习过程的小结，领会其中的数学思想方法；通过梳理所学内容，
