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1、例析运用平面向量求轨迹湖南省武陵源一中 高飞 (高级教师) 邮编：427400 电话：13170446290向量是数学中的重要概念之一，由于向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”,从而使它成为联系相关数学知识的紐带，是数性结合思想的重要载体，在高考数学试题中占有十分重要的地位。事实上，向量在解析几何有关问题中，也有着广泛的应用，作为一种新的思路，它在解题的道路上又增添了一种新，简的求解之法。本文就运用向量共线，向量数量积，向量模，向量运算的几何意义等向量知识求曲线的轨迹方程谈一下求解方法，通过实例加以说明供参考。一，利用向量三点共线的充要条件例1，平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点M（
2、1，-3）,N（5，1），若点C满足求点C的轨迹方程解析:因为由向量三点共线的充要条件知点C的轨迹是M，N两点所在的直线，故点C的轨迹方程是即评注:对于平面上三点A,B,P(O不在直线AB上)，A,B,P三点共线且，本题也可利用参数方程求解，不如上述方法简捷。二，利用向量数量积的几何运算例2，不等式所表示平面区域内一动点P，它在区域边界所在直线上的投影分别为M,N且满足。求动点P的轨迹方程解析: 不等式表示的区域边界所在的直线为和，易知，又点P在不等式表示的区域内故，整理得。又点P在不等式表示的区域内故所以轨迹方程是以(2,0),(-2,0)为焦点的双曲线的右支。三，利用向量的几何意义例3 设
3、,i,j为直角坐标平面内x,y轴正方向上的单位向量，若向量a=x i+(y+2) j,b= x i+(y-2) j,且|a|+|b|=8（1），求点M（x,y）的轨迹C的方程（2）过点（0，3）作直线交上述轨迹于A，B两点设，是否存在这样的直线，使得四边形OAPB为矩形，若存在求出直线的方程；若不存在，说明理由。解，（1）由题设知a=(x,y+2), b=(x,y-2), |a|+|b|=8即点M（x,y）到F1（0，-2）, F2（0，2）距离之和为8，由椭圆定义是以知M的轨迹F1, F2为焦点的椭圆轨迹C的方程为（2）当直线的斜率不存在时，与y轴重合，0，不合题意设的方程为，设A，B联立与
4、C的方程消去y得，显然，=，四边形OAPB为平行四边形，又若存在直线使四边形OAPB为矩形，则必有即，解得存在满足条件的直线，方程为评注:本题主要考查了以下几个方面:平面向量的几何意义；向量的坐标运算；椭圆的定义及其方程；直线与曲线的位置关系；探索问题的解题技能。练习 过点M（-2，0）作直线L交双曲线与A，B两点已知（1），求点P的轨迹方程（2）是否存在这样的直线L使OAPB为矩形？例4 的顶点A（-1，0），B（1，0），M，G满足，且求点C的轨迹E的方程解:设C（x,y），由0知G为的重心其坐标为，则GM|AB，再由可得M，由得化简得又A,BC三点不共线，所以点C的轨迹E的方程为四，利用
5、向量数量积的坐标运算例5 已知两点M（-1，0），N（1，0），且点P使成公差小于零的等差数列，求点P的轨迹方程解:设P（x,y），。，于是成公差小于零的等差数列。所以点P的轨迹是以原点为圆心，为半径的右半圆评注:解题中要注意题中的限制条件(公差d0)。五，利用垂直向量例6 在中，B（-1，0），C（1，0）,若BC边上的高长为2，求的垂心H的轨迹方程解:当点A在x轴上方时，设H（x,y）则A(x,2),即，即。当点A在x轴下方时A(x,-2)同理可得垂心H的轨迹方程， 故的垂心H的轨迹方程为: 或评注:运用向量垂直的充要条件解题，可以避免A点的横坐标为，即AC,AB的斜率不存在时的讨论，不易出错。练习(山东卷)已知a=(mx,y+1), b=(x,y-1), ab求动点M(x,y) 的轨迹方程.六，利用共线向量已知椭圆:,直线:，O为坐标原点，P是上一点，射线OP交椭圆于点R，点Q在OP上且满足当点P在上运动时，求点Q的轨迹方程分析:抓住O,Q,P,R四点共线，故可利用共线向量解决解，由已知共线，设，则，。又点R在椭圆上，点P在上，即化简得评注:本题若用解析几何法，由于动点多，消参复杂，解答起来较繁琐。显然利用共线向量解答简捷，快速，体现了向量“工具”的优越性。
