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1、课时素养评价 八指数函数与对数函数的关系 (25分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分,多选题全部选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)1.函数y=的反函数是()A.y=(xR且x-4)B.y=(xR且x3)C.y=(xR且x)D.y=(xR且x-)【解析】选B.由y=,得x=.故所求反函数为y=(xR且x3).2.(多选题)函数y=2|x|在下面的区间上,不存在反函数的是()A.-1,1 B.(-,0C.-2,4 D.2,4【解析】选A,C.函数若在区间上单调,则存在反函数,易知函数y=2|x|在-1,1, -2,4上不单调.3.设y=+m和y=nx-9互为反函数,那么m,
2、n的值分别是()A.-6,3B.2,1C.2,3D.3,3【解析】选D.求出y=+m的反函数y=3x-3m,再与y=nx-9对比系数,得m=3,n=3.4.函数f(x)是增函数,它的反函数是f-1(x),若a=f(2)+f-1(2),b=f(3)+f-1(3),则下面结论中正确的是()A.abD.无法确定【解析】选A.因为f(x)是增函数,故其反函数f-1(x)也是增函数,所以f(3) f(2),f-1(3)f-1(2),即ba.二、填空题(每小题4分,共8分)5.函数f(x)=的反函数是_.【解析】函数的值域为0,+),令y=,将其中的x,y对调得x=,解得y=4-x2,所以反函数f-1(x
3、)=4-x2(x0).答案:f-1(x)=4-x2(x0)6.若函数y=f(x)的反函数是y=- (-1x0),则原函数的定义域是_,f(-1)=_.【解析】因为原函数的定义域为反函数的值域,又-1x0,所以12-x22,即y-,-1.令-=-1,解得x=1,因为原函数的定义域为-,-1,所以x=-1.答案:-,-1-1【加练固】函数f(x)=log2x+1(x4)的反函数f-1(x)的定义域是_.【解析】函数f(x)的值域为3,+),所以f-1(x)的定义域是3,+).答案:3,+)三、解答题(共26分)7.(12分)求出下列函数的反函数,并画出原函数和其反函数的图像.(1)y=-1.(2)
4、y=-3x2-2(x0).【解析】 (1)因为原函数的定义域是x1,所以值域为y-1,由y=-1,得反函数y=(x+1)2+1(x-1).函数y=-1与它的反函数y=(x+1)2+1的图像如图所示.(2)由y=-3x2-2(x0)得值域y-2,反函数y=-(x-2).它们的图像如图所示.8.(14分)已知函数f(x)=ax(a0且a1).(1)若f(x0)=2,求f(3x0).(2)若f(x)的图像过点(2,4),记g(x)是f(x)的反函数,求g(x)在区间上的值域.【解析】(1)因为f(x0)=2,所以f(3x0)=()3=23=8.(2)因为f(x)的图像过点(2,4),所以f(2)=4
5、,即a2=4,解之得a=2(舍负) ,因此,f(x)的解析式为y=2x,因为g(x)是f(x)的反函数,所以g(x)=log2x, 因为g(x)在区间上是增函数,g=log2=-1,g(2)=log22=1,所以g(x)在区间上的值域为-1,1. (15分钟30分)1.(4分)若f(x)为y=2-x的反函数,则f(x-1)的图像大致是()【解析】选C.由题意,f(x)的图像与y=2-x的图像关于y=x对称,即f(x)=lox,所以f(x-1)的图像就是将f(x)=lox右移一个单位得到.2.(4分)函数f(x)与g(x)=互为反函数,则函数f(4-x2)的单调增区间是()A.(-,0B.0,+
6、)C.(-2,0D.0,2)【解析】选D.因为f(x)与g(x)=互为反函数,所以f(x)=lox,所以f(4-x2)=lo(4-x2),x0,由4-x20,所以-2x2,所以0x0,a1)的图像上,则f(x)的反函数f-1(x)=_.【解析】因为点(9,3)在函数f(x)=loga(x-1)(a0,a1)的图像上,所以loga(9-1)=3,可得a=2,则令函数f(x)=y=log2(x-1),那么x=2y+1.把x与y互换可得y=2x+1,所以f(x)的反函数f-1(x)=2x+1.答案:2x+14.(4分)设a0且a1,若函数f(x)=+2的反函数的图像经过定点P,则点P的坐标是_.【解
7、析】因为函数f(x)=+2经过定点(1,3),所以函数f(x)的反函数的图像经过定点P(3,1).答案:(3,1)【加练固】若函数f(x)=log2(x+1)+a的反函数的图像经过点(4,1),则实数a=_.【解析】函数f(x)=log2(x+1)+a的反函数的图像经过点(4,1),即函数f(x)=log2(x+1)+a的图像经过点(1,4),所以4=log2(1+1)+a,所以4=1+a,a=3.答案:35.(7分)已知函数f(x)=lg(x+1).(1)当x1,9时,求函数f(x)的反函数.(2)若0f(1-2x)-f(x)1,求x的取值范围.【解析】(1)令y=f(x)=lg(x+1),
8、所以当x1,9时,ylg2,1,且x+1=10y,即x=10y-1,互换x,y得,y=10x-1,所以,f-1(x)=10x-1,xlg2,1.(2)不等式0f(1-2x)-f(x)1可化为:0lg1,等价为10,解得x,所以,原不等式中x的取值范围为:.6.(7分)已知奇函数f(x)=的反函数f-1(x)的图像过点A(-3,1).(1)求实数a,b的值.(2)解关于x的不等式f-1(x)-1.【解析】(1)因为奇函数f(x)=的反函数f-1(x)过点A(-3,1),所以解得a=b=-1.(2)由(1)知,f(x)=,则f-1(x)=log2(x1或x-1x3或x-1.1.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x0,则-x0.因为当x0时,f(x)=,所以f(-x)=3x.因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(x)=-f(-x)=-3x.所以-3x=-9,故x=2.2.已知函数y=f(x)=中,a,b,c,d均不为零,试求a,b,c,d满足什么条件时,它的反函数仍是自身.【解析】f(x)=+,因为常数函数没有反函数,所以bc-ad0,又f-1(x)=,要使=,对定义域内一切x值恒成立,令x=0,得-a=d,即a+d=0.当a+d=0时,必有f-1(x)=f(x),因此所求的条件是bc-ad0,且a+d=0.- 7 -