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1、 2013中考综合题（七季-圆的问题）（共七季）1.如图，直线y=x+2分别与x、y轴交于点B、C，点A（2，0），P是直线BC上的动点（1）求ABC的大小；（2）求点P的坐标，使APO=30；（3）在坐标平面内，平移直线BC，试探索：当BC在不同位置时，使APO=30的点P的个数是否保持不变？若不变，指出点P的个数有几个？若改变，指出点P的个数情况，并简要说明理由考点：一次函数综合题分析：（1）求得B、C的坐标，在直角BOC中，利用三角函数即可求解；（2）取AC中点Q，以点Q为圆心，2为半径长画圆Q，Q与直线BC的两个交点，即为所求；（3）当BC在不同位置时，点P的个数会发生改变，使APO=
2、30的点P的个数情况有四种：1个、2个、3个、4个如答图2所示解答：解：（1）在y=x+2中，令x=0，得y=2；令y=0，得x=2，C（0，2），B（2，0），OC=2，OB=2tanABC=，ABC=60（2）如答图1所示，连接AC由（1）知ABC=60，BC=2OB=4又AB=4，AB=BC，ABC为等边三角形，AB=BC=AC=4取AC中点Q，以点Q为圆心，2为半径长画圆，与直线BC交于点P1，P2QP1=2，QO=2，点P1与点C重合，且Q经过点OP1（0，2）QA=QO，CAB=60，AOQ为等边三角形在Q中，AO所对的圆心角OQA=60，由圆周角定理可知，AO所对的圆周角APO=
3、30，故点P1、P2符合条件QC=QP2，ACB=60，P2QC为等边三角形P2C=QP=2，点P2为BC的中点B（2，0），C（0，2），P2（1，）综上所述，符合条件的点P坐标为（0，2），（1，）（3）当BC在不同位置时，点P的个数会发生改变，使APO=30的点P的个数情况有四种：1个、2个、3个、4个如答图2所示，以AO为弦，AO所对的圆心角等于60的圆共有2个，记为Q，Q，点Q，Q关于x轴对称直线BC与Q，Q的公共点P都满足APO=AQO=AQO=30，点P的个数情况如下：有1个：直线BC与Q（或Q）相切；有2个：直线BC与Q（或Q）相交；有3个：直线BC与Q（或Q）相切，同时与Q（
4、或Q）相交；直线BC过Q与Q的一个交点，同时与两圆都相交；有4个：直线BC同时与两圆都相交，且不过两圆的交点2.如图12，在平面直角坐标系中，圆D与轴相切于点C(0,4)，与轴相交于A、B两点，且AB=6.（1）则D点的坐标是（ ， ），圆的半径为 ；（2）sinACB= ；经过C、A、B三点的抛物线的解析式 ；（3）设抛物线的顶点为F,证明直线FA与圆D相切；图12（4）在轴下方的抛物线上，是否存在一点N，使面积最大，最大值是多少，并求出点坐标.解：（1）（5，4）-1分 5-2分（2）sinACB=， -4分PN（3）证明：因为D为圆心，A在圆周上，DA=r=5,故只需证明，抛物线顶点坐标
5、：F,， （5分）N所以所以AF切于圆D。 （6分）（4） 存在点N，使面积最小。设N点坐标（a,）,过点N作NP与y轴平行，交BC于点P。可得P点坐标为（a,） -7分NP=-（）=SBCN =SBPN +SPCN =BOPN=8（）=16-(a-4)2 -8分当a=4时，SBCN最大，最大值为16。此时，N（4，-2）-9分部分小题方法不一，不同做法可酌情给分，参考如下：（4）、存在点N，做一条与BC平行的直线，平移，当它与抛物线有一个交点时，此时以BC为底的三角形高度最大。抛物线与该直线的交点，就是所求的N点。易求BC的K值为，所以设动直线为：，与抛物线联立： （1分）所以 （1分）过N
6、做y轴的平行线，交BC于一点，求此点坐标BC：,令x=4,解得y=2,三角形BCN面积的最大值= （1分）若（3）问用高中点到直线距离公式也给分。3.如图6-1，过点A（0，4）的圆的圆心坐标为C（2，0），B是第一象限圆弧上的一点，且BCAC，抛物线经过C、B两点，与轴的另一交点为D。（1）点B的坐标为（ ， ），抛物线的表达式为 （2）如图6-2，求证：BD/AC（3）如图6-3，点Q为线段BC上一点，且AQ=5，直线AQ交C于点P，求AP的长。解析：4.已知抛物线的顶点为且与轴交于，.（1）直接写出抛物线解析式；（2）如图，将抛物线向右平移个单位，设平移后抛物线的顶点为D，与轴的交点为A
7、、B，与原抛物线的交点为P 当直线OD与以AB为直径的圆相切于E时，求此时的值；是否存在这样的值，使得点O、P、D三点恰好在同一条直线上？若存在，求出值；若不存在，请说明理由.P 解：（1） 2分（2）连接CE, CD， OD是C的切线，CEOD 3分在RtCDE中，CED=，CE=AC=2，DC=4，EDC=分在RtCDO中，OCD=，CD=4，ODC= 6分当直线OD与以AB为直径的圆相切时， 7分(3) 设平移个单位后的抛物线的解析式是它与交于点P，可得点P的坐标是 8分（也可以根据对称性，直接写出点P的横坐标是，再求出纵坐标）方法1：设直线OD的解析式为，把D代入，得9分 若点P在直线
8、上,得，解得， 11分当时，O、P、D三点在同一条直线上 12分方法2：假设O、P、D在同一直线上时；过点D、P分别作DF轴于F、PG轴于G,则DFPG 9分OPGODF ， 10分， ， 11分当，点O、P、D在同一条直线上 12分5. 28（10分）（2013衡阳）如图，在平面直角坐标系中，已知A（8，0），B（0，6），M经过原点O及点A、B（1）求M的半径及圆心M的坐标；（2）过点B作M的切线l，求直线l的解析式；（3）BOA的平分线交AB于点N，交M于点E，求点N的坐标和线段OE的长解答：解：（1）AOB=90，AB为M的直径，A（8，0），B（0，6），OA=8，OB=6，AB=1
9、0，M的半径为5；圆心M的坐标为（4，3）；（2）点B作M的切线l交x轴于C，如图，BC与M相切，AB为直径，ABBC，ABC=90，CBO+ABO=90，而BAO=ABO=90，BAO=CBO，RtABORtBCO，=，即=，解得OC=，C点坐标为（，0），设直线BC的解析式为y=kx+b，把B（0，6）、C点（，0）分别代入，解得，直线l的解析式为y=x+6；（3）作NDx轴，连结AE，如图，BOA的平分线交AB于点N，NOD为等腰直角三角形，ND=OD，NDOB，ADNAOB，ND：OB=AD：AO，ND：6=（8ND）：8，解得ND=，OD=，ON=ND=，N点坐标为（，）；ADNAO
10、B，ND：OB=AN：AB，即：6=AN：10，解得AN=，BN=10=，OBA=OEA，BOE=BAE，BONEAN，BN：NE=ON：AN，即：NE=：，解得NE=，OE=ON+NE=+=76.如图，在坐标系中，已知D(5，4)，B(3，0)，过D点分别作DA、DC垂直于轴，轴，垂足分别为A、C两点，动点P从O点出发，沿轴以每秒1个单位长度的速度向右运动，运动时间为t秒。（1）当t为何值时，PCDB；（3分）（2）当t为何值时，PCBC；（4分）ABOPCDyYx（3）以点P为圆心，PO的长为半径的P随点P的运动而变化，当P与BCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值。（3分）解答：解：
11、（1）D（5，4），B（3，0），过D点分别作DA、DC垂直于x轴，y轴，垂足分别为A、C两点，DC=5，OC=4，OB=3，DCy轴，x轴y轴，DCBP，PCDC，四边形DBPC是平行四边形，DC=BP=5，OP=53=2，21=2，即当t为2秒时，PCBD；（2）PCBC，x轴y轴，COP=COB=BCP=90，PCO+BCO=90，CPO+PCO=90，CPO=BCO，PCOCBO，=，=，OP=，1=，即当t为秒时，PCBC；（3）设P的半径是R，分为三种情况：当P与直线DC相切时，如图1，过P作PMDC交DC延长线于M，则PM=OC=4=OP，41=4，即t=4；如图2，当P与BC相切时，BOC=90，BO=3，OC=4，由勾股定理得：BC=5，PMB=COB=90，CBO=PBM，COBPBM，=，=，R=12，121=12，即t=12秒；根据勾股定理得：BD=2，如图3，当P与DB相切时，PMB=DAB=90，ABD=PBM，ADBMPB，=，=，R=6+12；（6+12）1=6+12，即t=（6+12）秒7在平面直角坐标系xOy中，已知点A（6，0），点B（0，6），动点C在以半径为3的O上，连接OC，过O点作ODOC，OD与O相交于点D（其中点C、O、D按逆时针方向排列），连接AB（1）当
